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Entwickeln einer Potenzreihe: Erläuterung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:22 Sa 23.04.2011
Autor: Dittsche45

Aufgabe
Aufgabe:
Entwickeln Sie [mm] \integral_{0}^{1}{(1-X²/2-cos(x))/x⁴ dx} [/mm] in eine Potenzreihe und bestimmen sie den Wert des Integrals.

Lösung:
Es handelt sich um eine gekürzte und verschobene Kosinusreihe
[mm] (1-X²/2-cos(x))/x⁴=....=-x⁴*[\summe_{n=2}^{\infty} [/mm] ((-1)^(n)*x^(2n))/(2n)!]=
[mm] =[\summe_{n=0}^{\infty} [/mm] ((-1)^(n+1)*x^(2n))/(2n+4)!]=1/(4!)+1/(6!)*x²-1/(8!)*x⁴+.....

1. An welcher Stelle wurde die Potenzreihe entwickelt?
2 Ich habe den Eindruck, dass die Stelle f(0)=0/0 > nicht definiert ist, ist dann eine Potenzreihenentwicklung um diese Stelle herum noch möglich?
3. Die Reihenentwicklung für [mm] cos(x)=[\summe_{n=0}^{\infty} [/mm] ((-1)^(n)*x^(2n))/(2n)!] ist mir bekannt, doch wie hat man hier genau umgestellt?
4. Gibt es alternative Lösungsmöglichkeiten vielleicht durch das direkte erstellen einer Taylorreihe?

Vielen Dank,

Dittsche 45



Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Entwickeln einer Potenzreihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:04 Sa 23.04.2011
Autor: Al-Chwarizmi

Hallo Dittsche 45

es wäre sehr hilfreich, wenn du dir die Mühe geben
würdest, die Eingabehilfen zu verwenden, damit die
Ausdrücke überschaubar und leserlich werden !

LG

Bezug
        
Bezug
Entwickeln einer Potenzreihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:34 So 24.04.2011
Autor: Dittsche45

Ok, hier nochmal die Aufgabenstellung.


Aufgabe:
Entwickeln Sie $ [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{(1-0,5*X²-cos(x))}{x^{4}} dx} [/mm] $ in eine Potenzreihe und bestimmen sie den Wert des Integrals.

Lösung:
Es handelt sich um eine gekürzte und verschobene Kosinusreihe
$ [mm] \bruch{(1-0,5*X²-cos(x))}{x^{4}}=....=-x^{-4}\cdot{}[\summe_{n=2}^{\infty} [/mm] $ [mm] \bruch{((-1)^{n}*x^{2n})}{(2n)!}]= [/mm]
$ [mm] =[\summe_{n=0}^{\infty} [/mm] $ [mm] \bruch{((-1)^{n+1}*x^{2n})}{(2n+4)!}]=1/(4!)+1/(6!)*x²-1/(8!)*x^{4}+..... [/mm]

Viele Grüße,

Dittsche 45

Bezug
        
Bezug
Entwickeln einer Potenzreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:25 So 24.04.2011
Autor: leduart

die Fkt in dem integral ist bei 0 nicht definierrt, aber man kann sie durch den GW stetig ergänzen, also das integral existiert.
2. da du die cos Reihe um x=0 benutzt wird um x=0 entwickelt.
man hat nicht wirklich umgestellt, schreib einfach die ersten paar Glieder  ohne Summenzeichen hin zieh dann von [mm] 1-x^2/2 [/mm] ab und schreib erst dann wieder die Summe. dann siehst du es selbst.
gruss leduart


Bezug
                
Bezug
Entwickeln einer Potenzreihe: hebbare Definitionslücke
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:42 So 24.04.2011
Autor: Dittsche45

Beim plotten ist mir jetzt auch bewusst geworden, dass es sich um eine Definitionslücke handelt. Darüber hinaus muss die Entwicklungsstelle auch bei x=0 liegen, da die Lösung sonst andere Werte angenommen hätte.
Jedoch ist mir noch nicht ganz klar, wie ich diese Stelle ergänzen muss, damit ich weiterrechenen kann?

Vielen Dank,

Dittsche 45

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Entwickeln einer Potenzreihe: Berechnung des Grenzwert
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:57 So 24.04.2011
Autor: Dittsche45

Ich habe jetzt mal versuch den GW zu berechnen und habe für [mm] \limes_{x\rightarrow\0} =\infty [/mm]
kann das simmen? Oder liegt hier schon mein Fehler?

Bezug
                
Bezug
Entwickeln einer Potenzreihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:44 So 24.04.2011
Autor: leduart

Hallo
den GW für x gegen 0 hast du doch mit 1/4! schon irgendwo stehen?
Gruss leduart


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