Entwicklung einer Taylorreihe < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:49 Mo 25.07.2005 | | Autor: | Diirki |
..der Entwicklung der Funktion f=sin (x²) in eine Taylor-Reihe!
Dank Mathematica weiss ich, was rauskommen soll, doch in der Prüfung
muss ich das ganze vorführen und da weiss ich nicht, wie ich drauf kommen soll! Die Ableitungen werden immer länger und unübersichtlicher. Ich weiss, dass ich cos x² in einer Ableitung brauche und zwar ohne es nochmals mit x (o.Ä.) zu multiplizieren. Woher weiss ich denn jetzt aller wievieler Ableitungen das der Fall ist? Dass es bei der 2ten Ableitung so vorkommt weiss ich: f"(x)=-sin(x²)*4x² + 2 cos(x²)
Doch wie lässt sich hier eine allgemeine Aussage für die weiteren Ableitungen finden, die auch "bewiesen" ist?!?
Ich danke euch mal schon im Voraus für eure Hilfe..
MfG Dirk
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:49 Mo 25.07.2005 | | Autor: | statler |
Hallo Dirk,
geht das nicht ganz einfach, wenn man die Reihenentwicklung von sin(x) kennt (das sollte man) und auch weiß, wo die überall konvergiert? Wenn man da dann für x xQuadrat (oder meinetwegen auch zQuadrat) einsetzt, dann kriegt man doch eine schöne Reihe für sin(xQuadrat). Oder ist das nicht zulässig?
Wenn man sich das Ding so richtig aus dem Vollen schnitzen will, braucht man wahrscheinlich irgendwelche Rekursionsformeln, die man sich erstmal induktiv herleiten und dann streng beweisen muß. Bestimmt Gewürge!
Gruß aus Harburg
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Hallo!
Ungeachtet Statlers Antwort, die natürlich vollkommen richtig ist, kannst Du leicht auch so auf die Taylorreihe kommen, da Du ja wahrscheinlich nur um die 0 herum entwickelst.
Du bekommst dann für die zweite Ableitung, wie schon richtig gesagt:
[mm] $f"(x)=-\sin(x^2)*4x^2 [/mm] + 2 [mm] \cos(x^2)$.
[/mm]
Wenn wir aber um die 0 herum entwickeln und dann scharf hinschauen, sehen wir, daß wir im ersten Term auch in allen folgenden Ableitungen bis in alle Ewigkeit 0 herausbekommen werden, weshalb nur der cos-Term interessant zum Weiterarbeiten ist.
Kommst Du damit weiter?
Gruß,
Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:54 Mo 25.07.2005 | | Autor: | Diirki |
1. Bezüglich Statler:
Danke erstmal für die rasche Antwort! Leider kann ich deinem Gedankengang nicht ganz folgen. Die Reihen-Entwicklung von sinx kennt man:
sin x= [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{k}*x^{2k+1}}{(2k+1)!} [/mm] was da wäre: [mm] x-\bruch{x^{3}}{3!}+\bruch{x^{5}}{5!} \pm...
[/mm]
Wie ist das gemeint mit "wenn man weiss wo diese konvergiert"? Und wie soll das dann mit dem "einfach einsetzen" funktionieren?
Hab grad nen kleinen Black-out, sorry ;D
2. Bzgl. Christian:
Auch dir Danke fürs schnelle Antworten! Woher weisst du denn so genau, dass eine spätere Ableitung von sin (x²)*4x² nicht auch ein "freies" cos x² abwirft. Ich habe gerade mal probiert, und habe dabei rausbekommen, dass, wenn ich -sin (x²)*4x² ableite und mich dann, auf -cos(x²)*2x*4x² konzentriere und immer in richtung cos(x²)*[irgendwas] ableite, sich der Faktor so weit ableiten lässt, dass im endeffekt -48 cos(x²) stehen bleiben! ..was aber ein Widerspruch zu deiner aussage ist!?!?!
Anscheinend gehts dann also doch nicht so einfach, sonst wär ich bestimmt schon drauf gekommen, so lange, wie ich schon grübel ;D
MfG Dirk
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:40 Di 26.07.2005 | | Autor: | statler |
Hallo Dirk,
die Taylor-Reihe für den Sinus um 0 konvergiert für alle x, wenn x also gleich zQuadrat ist, kann ich x auf beiden Seiten durch zQuadrat ersetzen und kriege rechts eine Reihe in der Unbekannten z, die für alle z konvergiert. Das ist dann die Taylor-Reihe von sin(zQuadrat) um Null, weil es nur eine gibt. Jetzt müßte ich mein z noch wieder in x umtaufen, und das isses dann.
Alle Klarheiten beseitigt? Gruß aus Harburg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:57 Fr 29.07.2005 | | Autor: | Diirki |
Danke für die Antworten, ich denke, ich habs "gefressen" ;)
MfG Dirk
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