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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:45 Mi 25.03.2009 | | Autor: | jumape |
| Aufgabe | Der Entwicklungssatz für hermitsche Differentialoperatoren sagt aus das A (das ist der Differentialoperator) abzählbar viele Eigenwerte mit endlicher Vielfachheit hat. Diese lassen sich Ihrer Vielfachheit entsprechend oft gezählt) anordnen:
[mm] |\lambda_1|\le|\lambda_2|\le.....\le|\lambda_k|\le... |\lambda_k|\to\infty [/mm] |
heit dass das der größte eigenwert die größte vielfachheit hat?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:13 Do 26.03.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Der Entwicklungssatz für hermitsche Differentialoperatoren
> sagt aus das A (das ist der Differentialoperator) abzählbar
> viele Eigenwerte mit endlicher Vielfachheit hat. Diese
> lassen sich Ihrer Vielfachheit entsprechend oft gezählt)
> anordnen:
> [mm]|\lambda_1|\le|\lambda_2|\le.....\le|\lambda_{\red{k}}|\le... |\lambda_{\red{k}}|\to\infty[/mm]
zweimal der Index [mm] $k\,$? [/mm] Irgendwas stimmt da formal nicht.
> heit dass das der größte eigenwert die größte vielfachheit
> hat?
Ich kannte diesen Satz noch nicht. Aber zwei Dinge:
[mm] $\bullet$ [/mm] Erstens: Es macht doch keinen Sinn, von einem 'größten' Eigenwert zu sprechen, wenn diese dem Betrage nach unbeschränkt sind.
(Und auch, wenn sie dem Betrage nach nach oben beschränkt wären und diese Schranke auch von mindestens einem Eigenwert dem Betrage nach angenommen werden würde, auch dann dann könnte es mehrere 'betragsgrößte' Eigenwerte geben, denn im Falle [mm] $r\,>0$ [/mm] ist schon [mm] $\{x \in \IR: |x|=r\}=\{-r,\;r\}$ [/mm] zweielementig, und [mm] $\{z \in \IC: |z|=r\}$ [/mm] ist in der komplexen Zahlenebene der Rand des Kreises um $(0,0)=0+i*0$ mit Radius [mm] $r\,,$ [/mm] enthält also sogar überabzählbar viele Elemente.)
Die Eigenwerte oben sind aber schonmal dem Betrage nach nicht nach oben beschränkt (insbesondere hat man also stets abzählbar unendlich viele (paarweise verschiedene) Eigenwerte). Du meinst aber sicher sowas:
Wenn die Eigenwerte wie oben geordnet sind: Gilt dann auch, dass die Vielfachheit von [mm] $\lambda_i$ [/mm] kleinergleich der Vielfachheit von [mm] $\lambda_j$ [/mm] für $i [mm] \le [/mm] j$ ist? Und das ist zu verneinen! Lies' Dir dazu auch das folgende durch:
[mm] \bullet$ [/mm] Zweitens: Oben steht doch nicht, dass die Eigenwerte bzgl. ihrer Vielfachheit geordnet werden, sondern nur, dass sie dem Betrage nach geordnet werden und dann der Vielfachheit entsprechend gezählt werden. Ferner ist zu beachten, da diese dem Betrage nach geordnet werden, dass man nicht auf die Idee kommt, einfach [mm] $\le$ [/mm] durch [mm] $<\,$ [/mm] zu ersetzen, denn:
Z.B. kann ja [mm] $\lambda_1=-1$ [/mm] ein zweifacher Eigenwert, [mm] $\lambda_2=1$ [/mm] ein fünffacher Eigenwert und [mm] $\lambda_3=i$ [/mm] ein 3-facher Eigenwert sein. Hier wären [mm] $\lambda_1$, $\lambda_2$ [/mm] und [mm] $\lambda_3$ [/mm] paarweise verschieden, aber [mm] $|\lambda_1|=|\lambda_2|=|\lambda_3|=1\,,$ [/mm] also dem Betrage nach alle gleich.
Die Anordnung sähe dann z.B. so aus:
[mm] $$\underbrace{|\lambda_1|}_{mit\;\;Vielfachheit\;\;2}=\underbrace{|\lambda_2|}_{mit\;\;Vielfachheit\;\;5}=\underbrace{|\lambda_3|}_{mit\;\;Vielfachheit\;\;3} \le [/mm] ...$$
Gruß,
Marcel
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