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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:02 Di 15.01.2013 | | Autor: | Sauri |
| Aufgabe | Ich möchte zeigen, dass die unten genannte Funktion punktweise stetig ist.
[mm] f_{(x)}=\bruch{1}{x^2} [/mm] , x > 0 |
Hallo zusammen,
ich befasse mich gerade mit einer Beispielaufgabe aus einem Buch, dass ich parallel zur Vorlesung lese. Nach dem Errata zu diesem Buch, ist das Beispiel falsch. Da ich in dem Thema selber noch etwas unsicher bin, brauch ich eure Hilfe.
Zur kritischen Stelle:
Nach diversen Umformungen kommt man auf:
[mm] \bruch{\left|x+x_0\right| \left| x_0 - x\right|}{x^2 \cdot x_0^2}
[/mm]
Jetzt habe ich ja [mm] \left| x_0 - x\right| [/mm] < [mm] \delta [/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{\left|x+x_0\right| \left| x_0 - x\right|}{x^2 \cdot x_0^2} [/mm] < [mm] \delta \cdot \bruch{\left|x+x_0\right|}{x^2 \cdot x_0^2}
[/mm]
Und jetzt darf ja per Definition [mm] \delta [/mm] nicht von x abhängen. Wie schätze ich jetzt in diesem Fall x ab, so das es "rausfliegt"? Kann mir das vielleicht jemand erklären?
Vielen vielen Dank für die Hilfe!
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Hallo Sauri,
> Ich möchte zeigen, dass die unten genannte Funktion
> punktweise stetig ist.
>
> [mm]f_{(x)}=\bruch{1}{x^2}[/mm] , x > 0
> Hallo zusammen,
> ich befasse mich gerade mit einer Beispielaufgabe aus
> einem Buch, dass ich parallel zur Vorlesung lese. Nach dem
> Errata zu diesem Buch, ist das Beispiel falsch. Da ich in
> dem Thema selber noch etwas unsicher bin, brauch ich eure
> Hilfe.
>
> Zur kritischen Stelle:
>
> Nach diversen Umformungen kommt man auf:
>
> [mm]\bruch{\left|x+x_0\right| \left| x_0 - x\right|}{x^2 \cdot x_0^2}[/mm]
>
> Jetzt habe ich ja [mm]\left| x_0 - x\right|[/mm] < [mm]\delta[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \bruch{\left|x+x_0\right| \left| x_0 - x\right|}{x^2 \cdot x_0^2}[/mm]
> < [mm]\delta \cdot \bruch{\left|x+x_0\right|}{x^2 \cdot x_0^2}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Und jetzt darf ja per Definition [mm]\delta[/mm] nicht von x
> abhängen. Wie schätze ich jetzt in diesem Fall x ab, so
> das es "rausfliegt"? Kann mir das vielleicht jemand
> erklären?
Was bedeutet denn [mm]|x-x_0|<\delta[/mm] ?
Doch [mm]x_0-\delta
Außerdem ist [mm]|x+x_0|=|x-x_0+2x_0|\le|x-x_0|+2|x_0|[/mm] ...
Hilft das?
>
> Vielen vielen Dank für die Hilfe!
>
>
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:32 Di 15.01.2013 | | Autor: | Sauri |
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> Was bedeutet denn [mm]|x-x_0|<\delta[/mm] ?
>
> Doch [mm]x_0-\delta
Kann ich hier jetzt einfach [mm] x_0 [/mm] subtrahieren?
Und habe dann:
[mm] -\delta [/mm] < [mm] x-x_0 [/mm] < [mm] \delta [/mm] ? Aber hilft mir das überhaupt weiter?
>
> Außerdem ist [mm]|x+x_0|=|x-x_0+2x_0|\le|x-x_0|+2|x_0|[/mm] ...
>
> Hilft das?
Sorry ich glaube ich komme nicht drauf.
In wiefern kann ich denn hier die Dreiecksungleichung anwenden?
Vielen Dank für die Hilfe!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:50 Di 15.01.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
dein Fehler ist, dass du sagst [mm] \delta [/mm] darf nicht von [mm] x_0 [/mm] abhaengen, bei den meisten funktionen haengt [mm] \delta [/mm] von [mm] x_0 [/mm] ab.in einem abgeschlossenen Interval kann man dann das kleinste [mm] \delta [/mm] nehmen. Wenn [mm] \delta [/mm] nicht von x abhaengt, ist die fkt GLEICHMAESIG stetig, (auf abg. Intervallen ist deshalb jede stetige fkt gleichmaesig stetig.
gruss leduart
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