Epsilon-Delta Kriterium < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:41 Mo 03.05.2010 | | Autor: | zocca21 |
| Aufgabe | Funktion f: [1,4] -> R: x -> [mm] \wurzel{x}
[/mm]
Berechnen Sie für jedes [mm] \varepsilon [/mm] > 0 ein passendes [mm] \delta [/mm] > 0 so dass gilt:
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] [1, 1 + [mm] \delta [/mm] ]: I f(x) - f(x0) I < [mm] \varepsilon [/mm] |
So ich bin nun schon seit längerer Zeit daran, das Delta-Epsilon Kriterium zu verstehen.
Klar ist mir, dass bei der Stetigkeit immer ein Punkt bzw. hier ein Intervall betrachtet wird ob dies stetig ist.
Das Epsilon gibt dabei einen Bereich an in dem alle meine Punkte der Funktion bzw des betrachteten Abschnitts liegen müssen.(Y-Achse).
I f(x) - f(x0) I < epsilon
Das Delta gibt wegen l x - x0 l < delta dann wohl den Bereich auf der X-Achse an in dem der Abschnitt der Funktion liegen muss?
Nun zur Aufgabe:
Funktion ist ja: f(x) = [mm] \wurzel{x}
[/mm]
I [mm] \wurzel{x} [/mm] - 1 I < [mm] \varepsilon
[/mm]
Nun hänge ich aber schon..
Wäre für jegliche Hilfe dankbar..auch abgesehn von der Aufgabe für das Verständnis.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:52 Mo 03.05.2010 | | Autor: | fred97 |
Es ist also [mm] x_0=1
[/mm]
Es ist $ [mm] \wurzel{x}-1= \bruch{x-1}{ \wurzel{x}+1}$
[/mm]
Hilft das ?
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:06 Mo 03.05.2010 | | Autor: | zocca21 |
Noch nicht wirklich, da ich mir nicht im klaren bin auf was ich in der Aufgabe hinaus will außer ein Delta und Epsilon zu bestimmen. Ich meine der Weg dorthin ist mir nicht klar.
Sind meine bisherigen Gedanken allg. zum Epsilon-Delta Kriterium korrekt?
Betrachtet wird ja bei dieser Aufgabe ein abgeschlossenes Intervall von 1 bis 4.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:12 Mo 03.05.2010 | | Autor: | fred97 |
Aus $ [mm] \wurzel{x}-1= \bruch{x-1}{ \wurzel{x}+1} [/mm] $ folgt
[mm] $|\wurzel{x}-1|= \bruch{|x-1|}{ \wurzel{x}+1} \le [/mm] |x-1| $
Ist nun [mm] \varepsilon>0 [/mm] gegeben, wie mußt Du dann wohl [mm] \delta [/mm] def. , damit aus $|x-1|< [mm] \delta [/mm] $
[mm] $|\wurzel{x}-1|< \varepsilon$
[/mm]
folgt ?
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:26 Mo 03.05.2010 | | Autor: | zocca21 |
Ich würd jetzt denken:
[mm] \delta \ge \varepsilon
[/mm]
aufgrund des Terms.
|
|
|
| |
|
Hallo zocca21,
> Ich würd jetzt denken:
>
> [mm]\delta \ge \varepsilon[/mm]
>
> aufgrund des Terms.
Nein, das durchbricht doch die Ungleichungskette ...
Wähle besser [mm] $\delta=\varepsilon$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:41 Mo 03.05.2010 | | Autor: | zocca21 |
Kann ich hier die dann beliebig Wählen?
Z.B. delta = epsilon = 1 ?
Ist es also nur wichtig bei einer stetigen Funktion wie hier die Abhängigkeiten von einander herauszubekommen?
Ich komm mit dem ganzen absolut auf keinen Grünen Zweig wie ich fürchte..
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:03 Mo 03.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
du darfst nie ein bestimmtes [mm] \epsilon [/mm] wählen! Stetig ist eine fkt, wenn du zu JEDEM [mm] \epsilon [/mm] ein [mm] \delta [/mm] angeben kannst!
Stell dir eine diskussion vor: Du verteidigst die Steigkeit, B greift sie an: Du: wenn der Unterschied der Funktionswerte nämlich [mm] \epsilon [/mm] höchstens 1 sein soll weiss ich dass das klappt, wenn der Unterschied der x Werte, [mm] \delta [/mm] höchstens 1 ist. B: aber wenn jetzt ˜epsilon 1/100 ist? Du dann klappts mit [mm] \delta [/mm] 1/100 B aber wenn [mm] \epsilon=10^{-100} [/mm] ist? Du: dann halt auch [mm] \delta =10^{-100}
[/mm]
so könnt ihr ewig weiter machen, du musst zu JEDEM [mm] \epsilon [/mm] ein [mm] \delta [/mm] angeben, nicht für ein bestimmtes! deshalb kannst du hier in dem Fall von [mm] \wurzel{x} [/mm] in der Nähe von 1 ganz allgemein sagen: zu jeem [mm] \epsilon, [/mm] was B verlangt, weiss ich sofort ein [mm] \delta, [/mm] nämlich einfach [mm] \delta=\epsilon.
[/mm]
Aber Vorsicht. Was wenn jetzt B nach der Stetigkeit von [mm] \wurzel{x} [/mm] bei x=1/100 fragt? weisst du da auch zu JEDEM [mm] \epsilon [/mm] ein [mm] \delta?
[/mm]
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:21 Mo 03.05.2010 | | Autor: | zocca21 |
x0 = 1/100
wäre ja dann:
I [mm] \wurzel{x} [/mm] - 0.1 I < epsilon
I [mm] \wurzel{x} [/mm] - 0.1 I [mm] \le [/mm] I x - 0,1 I
Sollte also ebenso zutreffen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:25 Mo 03.05.2010 | | Autor: | zocca21 |
Mist...oder müsste die letzte Zeile dann heißen:
I [mm] \wurzel{x} [/mm] - 0.1 I [mm] \le [/mm] I x - 0,01 I
So ist delta ungleich epsilon oder?
Aber es ist doch dennoch stetig?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:31 Mo 03.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du sollst doch auch für eine Umgebung für x=0.01 ein Delta finden, um es zu kapieren.
Ich weiss, dass die fkt auch da stetig ist, aber du sollst es zeigen. und ja hier kannst du nicht [mm] \delta=\epsilon [/mm] nehmen, trotzdem musst du zu jedem Epsilon ein passendes Delta finden!
Versuchs mal. der Trick mit dem Erweitern, der bei x=1 geholfen hat sollte auch hier helfen.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:53 Mo 03.05.2010 | | Autor: | fred97 |
Für 0 [mm] \ne x_0 [/mm] :
[mm] $|\wurzel{x}-\wurzel{x_0}|= \bruch{|x-x_0|}{\wurzel{x}+\wurzel{x_0}}\le \bruch{|x-x_0|}{\wurzel{x_0}}
[/mm]
Hilft das ?
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:17 Mo 03.05.2010 | | Autor: | zocca21 |
Also in diesem Fall:
x0 = 1/100
[mm] \wurzel{x} [/mm] - 0.1 = [mm] \bruch{x - 0.01}{\wurzel{x} + 0.1} [/mm] < [mm] \bruch{x - 0.01}{ 0.1}
[/mm]
Nun kann ich ja mein Delta frei wählen? Oder wie geh ich nun weiter voran um delta und Epsilon zu bestimmen..
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:58 Mo 03.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
irgendwie liest du Beiträge nicht wirklich gründlich. Wenn du sie nicht verstehst, zitier sie und sag, was dir unklar ist!
Du kannst nicht [mm] \delta [/mm] frei wählen, du musst [mm] \delta [/mm] so wählen, bzw bestimmen, dass wenn x-0.01< [mm] \delta [/mm] ist, daraus folgt, dass $ [mm] \wurzel{x} [/mm] $ - [mm] 0.1<\epsilon [/mm] für JEDES Epsilon. probiers mit [mm] \epsilon=0.01 [/mm] und [mm] \epsilon=0.00001 [/mm] und dann für ein allgemeines [mm] \epsilon.
[/mm]
gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:41 Di 04.05.2010 | | Autor: | fred97 |
Zwei Fragen an Dich:
1. Wenn Du ins Theater gehst, lässt Du dann Deine Kleidung zu Hause und gehst nackt in die Vorstellung ?
Deine Antwort kenne ich: "mein Gott, Fred, wie kommst Du auf so was ? Selbstverständlich gehe ich bekleidet ins Theater."
2. Wenn Du Funktionen auf Stetigkeit untersuchst ( mit [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] ....), warum lässt Du konsequent die Beträge weg ?
Deine Antwort auf diese Frage kenne ich nicht, bin aber sehr interessiert
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:58 Mo 03.05.2010 | | Autor: | gfm |
> Funktion f: [1,4] -> R: x -> [mm]\wurzel{x}[/mm]
>
> Berechnen Sie für jedes [mm]\varepsilon[/mm] > 0 ein passendes
> [mm]\delta[/mm] > 0 so dass gilt:
>
> [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] [1, 1 + [mm]\delta[/mm] ]: I f(x) - f(x0) I <
> [mm]\varepsilon[/mm]
> So ich bin nun schon seit längerer Zeit daran, das
> Delta-Epsilon Kriterium zu verstehen.
>
> Klar ist mir, dass bei der Stetigkeit immer ein Punkt bzw.
> hier ein Intervall betrachtet wird ob dies stetig ist.
>
> Das Epsilon gibt dabei einen Bereich an in dem alle meine
> Punkte der Funktion bzw des betrachteten Abschnitts liegen
> müssen.(Y-Achse).
>
> I f(x) - f(x0) I < epsilon
>
> Das Delta gibt wegen l x - x0 l < delta dann wohl den
> Bereich auf der X-Achse an in dem der Abschnitt der
> Funktion liegen muss?
>
> Nun zur Aufgabe:
>
> Funktion ist ja: f(x) = [mm]\wurzel{x}[/mm]
>
> I [mm]\wurzel{x}[/mm] - 1 I < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> Nun hänge ich aber schon..
>
> Wäre für jegliche Hilfe dankbar..auch abgesehn von der
> Aufgabe für das Verständnis.
Vielleicht hilft's:
Wenn eine reellwertige Funktion f auf den reellen Zahlen (oder einer Teilmenge davon) gegeben ist - z.B. durch die Gleichung y=f(x) - und sie an einer Stelle [mm] x_0 [/mm] stetig sein soll, dann bedeutet das anschaulich, dass, wenn die Funktion dort den Wert [mm] f(x_0) [/mm] annimmt, man mit x-Argumenten um [mm] x_0 [/mm] herum, mit f(x) dem [mm] f(x_0) [/mm] beliebig nahe kommt, wenn man nur mit x dem [mm] x_0 [/mm] hinreichend nahe kommt. Wenn der Definitionsbereich dann z.B ein Intervall ist kann man auch die Anschauung verwenden, dass der Graph - das sind alle Punkte (x,f(x)) mit x das dem Def.-Bereich von f - keinen "Riss" hat.
Genauer:
An einer Stelle [mm] x_0 [/mm] nehme die Funktion den Wert [mm] y_0:=f(x_0) [/mm] an, d.h. im Graphen von f haben wir den Punkt [mm] P(x_0):=(x_0, y_0)=(x_0, f(x_0))
[/mm]
Wenn man ein anderes x aus dem Definitionsbereich anstelle von [mm] x_0 [/mm] einsetzt, bekommt man einen anderen Punkt P(x).
Stetig ist nun die Funktion, wenn man mit dem anderen Punkt P(x) beliebig nahe an [mm] P(x_0) [/mm] herankommt, wenn man nur mit x ausreichend nahe an [mm] x_0 [/mm] herangeht.
Damit das funktioniert, muss f(x) dem [mm] f(x_0) [/mm] beliebig nahe kommen können, wenn man nur mit x hinreichend nahe an [mm] x_0 [/mm] herangeht.
Also die Differenz von [mm] f(x_0) [/mm] und f(x) muss beliebig klein werden, wenn man nur die Differenz von x und [mm] x_0 [/mm] beliebig klein macht.
Dass die Differenz von [mm] f(x_0) [/mm] und f(x) beliebig ist, bedeutet in Formeln
[mm] |f(x)-f(_x_0)|<\epsilon [/mm] für jedes noch so kleine [mm] \epsilon>0
[/mm]
sobald sobald man den x-Unterschied hinreichend klein macht.
"Hinreichend klein" bedeutet "in Bezug auf das [mm] \epsilon" [/mm] hinreichend klein.
Es muss also so sein, dass man für jedes noch so kleine [mm] \epsilon [/mm] (also für jeden noch so kleinen Unterschied von f(x) und [mm] f(x_0)), [/mm] man eine Umgebung um [mm] x_0 [/mm] herum findet, die klein genug ist, damit man eben auf unter [mm] \epsilon [/mm] mit f(x) an [mm] f(x_0) [/mm] herankommt.
Das bedeutet, dass man ein [mm] \delta [/mm] findet (das zum [mm] \epsilon [/mm] paßt), so dass aus
[mm] |x-x_0|<\delta
[/mm]
[mm] |f(x)-f(x_0)|<\epsilon [/mm] folgt.
Dieses Delta wird im Allgemeinen von [mm] x_0, \epsilon [/mm] und f abhängen. Ist ja auch klar, denn wenn eine Funktion an einer Stelle [mm] x_0 [/mm] eine sehr große Steigung hat, reicht eine kleinere x-Umgebung aus als an einer Stelle, wo die Funktion sehr flach verläuft, um die Funktionswerte in einer [mm] \epsilon [/mm] Umgebung um [mm] f(x_0) [/mm] herum zu halten.
Jetzt noch einmal das ganze zusammen:
Eine Funktion f ist in [mm] x_0 [/mm] stetig, genau dann, wenn zu jedem (für alle) [mm] \epsilon>0 [/mm] ein [mm] \delta>0 [/mm] existiert, so dass
[mm] |x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\epsilon
[/mm]
gilt.
Man kann auch sagen: ..., so dass für alle x aus dem Definitionsbereich von f, die [mm] |x-x_0|<\delta [/mm] erfüllen
[mm] |f(x)-f(x_0)|<\epsilon
[/mm]
gilt.
Wichtig ist die Schlussrichtung: Aus [mm] |x-x_0|<\delta [/mm] muss [mm] |f(x)-f(x_0)|<\epsilon [/mm] folgen.
In der Praxis steht man aber meistens vor dem Dilemma, dass man als Startpunkt
[mm] |f(x)-f(x_0)|<\epsilon
[/mm]
hat, was bedeutet, dass man "rückwärts" vorgehen muss. Das soll heißen, dass, wenn man mit der Ungleichung
[mm] |f(x)-f(x_0)|<\epsilon
[/mm]
etwas "anstellt" und man zu einer Relation
[mm] R(x,x_0,\epsilon)
[/mm]
kommt, wobei die R ausdrücken soll, dass irgendwelche Umformungen, Anschätzungen und anderes passiert sind und [mm] x,x_0,\epsilon [/mm] nun in einer anderen Relation zueinander stehen, man aus dieser Relation die erste Ungleichung folgern kann.
Beispiel:
Es sei
x<2
Wenn man die kleine Seite größer und die größere Seite kleiner macht, z.B.
x+1<1
dann folgt aus der Richtigkeit der zweiten die der ersten.
Und genau so muss man beim Weg von
[mm] |f(x)-f(x_0)|<\epsilon
[/mm]
nach
[mm] |x-x_0|<\delta
[/mm]
rückwärts schließen können, denn das Resultat soll ja
[mm] |x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\epsilon
[/mm]
sein. Da zu sind beim Übergang von einer Ungleichgung zur anderen Äquivalenzumformungen auf beiden Seiten der Ungleichung erlaubt, sowie Abschätzungen die die kleinere Seite größer und die größere Seite kleiner machen.
Äquivalenzumformungen bei Ungleichungen sind solche, welche die Ordnungstruktur der Ungleichung erhalten. Das ist zum beispiel Gegeben wenn man die linke und rechte Seite der Ungleichung in eine streng monotone Funktion einsetzen kann.
Z.B.
x<2 | [mm] (.)^3
[/mm]
[mm] x^3<2^3
[/mm]
Denn [mm] (.)^3 [/mm] ist streng monoton steigend (na ja an x=0 nicht, aber das macht nichts, wenn es nur ein Punkt ist)
Wenn x kleiner als zwei ist, dann gilt das auch für die dritten Potenzen.
So, Du hast nun [mm] \wurzel{x} [/mm] auf [1,4] gegeben und sollst die Stetigkeit bei [mm] x_0=1 [/mm] zeigen, wenn ich das richtig verstehe:
[mm] |f(x)-f(x_0)|=|\wurzel{x}-1| [/mm]
Also starten wir bei mit
(1) [mm] |\wurzel{x}-1|<\epsilon
[/mm]
Wenn du diese Ungleichung mit [mm] \wurzel{x}+1 [/mm] multiplizierst (der Tipp war an anderer Stelle schon implizit gegeben worden), ändert sich der Wahrheitgehalt der Ungleichung nicht:
(2) [mm] |x-1|<\epsilon (\wurzel{x}+1)
[/mm]
Da [mm] (\wurzel{x}+1) [/mm] auf [1,4] Werte von 2 bis 3 annimmt machen wir die größere Seite kleiner, indem wir die Klammer durch 2 erstzen:
(3) [mm] |x-1|<2\epsilon [/mm]
Aus der Richtigkeit von (3) folgt die von (2)! Das ist alles was wir brauchen!
(3) heißt nichts anderes (unter Brücksichtigung des Definitionsbereiches)
dass
(4) [mm] x\in [1,1+2\epsilon]
[/mm]
So und nun ordnest Du dem [mm] \epsilon [/mm] ein [mm] \delta:=2\epsilon [/mm] zu und bist fertig.
LG
gfm
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:38 Di 04.05.2010 | | Autor: | zocca21 |
Erstmal vielen Dank für die Mühe, super!!
Wäre folgendes auch möglich gewesen
[mm] \wurzel{X} [/mm] - [mm] \wurzel{x0} \le \wurzel{X - x0}
[/mm]
Zu gegebenem Epsilon > 0 sei delta = epsilon²
Wäre ja dann für x0 [mm] \ge [/mm] 0
??
Wieso erhalten wir dann an der Stelle x0 = 1 -> delta = 2*epsilon
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:11 Di 04.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. so kannst du nicht schreiben! falls [mm] x
2. die Ungleichung die du dahinschreibst musst du beweisen!
3. Es gibt immer mehrere Möglichkeiten [mm] \delta [/mm] zu wählen, da ja nirgends ein = steht, und wenn es für [mm] \delta=\epsilon [/mm] gilt, dann auch für [mm] \delta =\epsilon/10.
[/mm]
4. es wär schön, wenn du auf die posts nicht nur super schreibst, sondern zeigst, was u gelernt hast.
5. benutz den Formeleditor für Epsilon usw. also [mm] \epsilon!
[/mm]
6.realisier endlich, dass es hier um Beträge geht.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:35 Di 04.05.2010 | | Autor: | gfm |
> Erstmal vielen Dank für die Mühe, super!!
>
> Wäre folgendes auch möglich gewesen
>
> [mm]\wurzel{X}[/mm] - [mm]\wurzel{x0} \le \wurzel{X - x0}[/mm]
Es ist gut sich gleich an die Verwendung von Betragstrichen zu gewöhnen. Denn es ist der Abstand der Argumente und der Funktionswerte gemeint und der wird durch die in Betragstriche gesetzte Differenz ausgedrückt. Sonst mußt Du i.A. Fallunterscheidungen führen und darüber hinaus läßt sich die Situation dann einfacher auf den n-Dimensionalen Fall und noch allgemeinere mathematische Objekte übertragen, die den rellen Zahlen innewohnenden grundlegenden Eigenschaften haben. Den Betragsstrich erhälst Du wenn Du auf der Tastatur [Alt Gr] + [<] drückst.
Natürlich erübrigt sich in diesem speziallen Fall die Betragsstriche, da die Stetigkeit am Minimum des Definitionsbereichs untersucht wird.
Für eine konkave Funktion auf [mm][x,y][/mm], d.h. es gilt [mm]f(x+\Delta x)\ge f(x)+\frac{\Delta x}{y-x}(f(y)-f(x))[/mm] für [mm]\Delta x\in [0,y-x][/mm], d.h. die Funktion verläuft auf [x,y] oberhalb der Geraden durch die Punkte [mm](x,f(x))[/mm] und [mm](y,f(y))[/mm], sollte gelten [mm]f(x+\Delta x)-f(x)\ge f(y+\Delta x)-f(y)[/mm] für [mm]y>x[/mm], d.h. der Zuwachs längst einem Intervall der Länge [mm]\Delta x[/mm] wird um so kleiner je weiter rechts das Intervall liegt. Da sollte man uneingeschränkt benutzen können, solange die Funktions monoton steigend ist.
Mal angenommen das gilt alles, dann folgt insbesondere mit
[mm]f(0)=0[/mm] ([mm]f(x)[/mm] soll für [mm]x\ge 0[/mm] definiert sein)
[mm]f(\Delta x)\ge f(y+\Delta x)-f(y)[/mm] oder wenn man [mm]\Delta x=x-x_0[/mm] und [mm]y=x_0[/mm] setzt [mm]f(x-x_0)\ge f(x)-f(x_0)[/mm].
>
> Zu gegebenem Epsilon > 0 sei delta = epsilon²
>
> Wäre ja dann für x0 [mm]\ge[/mm] 0
> ??
Schreib es mal bitte von komplett sauber auf. Nur dann kann ich eine Antwort geben.
>
> Wieso erhalten wir dann an der Stelle x0 = 1 -> delta =
> 2*epsilon
Schreib es mal bitte von komplett sauber auf. Nur dann kann ich eine Antwort geben.
LG
gfm
|
|
|
|
