Epsilon-Delta Mehrdimensional < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:51 Mo 02.08.2010 | | Autor: | ufuk |
| Aufgabe | Untersuchen Sie folgende Funktion auf Stetigkeit:
f(x,y) = [mm] xy\bruch{x^2-y^2}{x^2+y^2} [/mm] |
Frage: Wie wende ich hierbei im Mehrdimensionalen das Epsilon-Delta-Kriterium an? Ich finde die Definition des selbigen nur für den eindimensionalen Fall...
|
|
| |
|
Huhu,
für allgemeine metrische Räume lautet das Epsilon-Delta-Kriterium:
Sei f: V [mm] \to [/mm] W, dann heist f stetig in [mm] x_0, [/mm] wenn gilt:
[mm] $\forall\varepsilon>0\,\exists\delta>0: d_V(x,x_0) [/mm] < [mm] \delta \Rightarrow d_W\left(f(x),f(x_0)\right) [/mm] < [mm] \varepsilon$
[/mm]
Allerdings würde ich hier wohl eher das Folgenkriterium bevorzugen.
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:17 Mo 02.08.2010 | | Autor: | ufuk |
Wofür steht [mm] d_W [/mm] und [mm] d_V?
[/mm]
|
|
|
| |
|
[mm] d_V [/mm] ist die Metrik auf V und [mm] d_W [/mm] die Metrik auf W.
Insbesondere ist das schöne, dass wenn man durch Normen induzierte Metriken auf endlich-dimensionalen Vektorräumen verwendet (wie bspw. [mm] \IR^n) [/mm] verwendet wie bspw. $d(x,y) = ||x-y||$ sich die Metriken aussuchen kann, da dort alle Normen bekanntlich Äquivalent sind.
Die bekanntesten sind wohl die Betragsnormen.
MFG,
Gono
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:25 Di 03.08.2010 | | Autor: | fred97 |
> Untersuchen Sie folgende Funktion auf Stetigkeit:
>
> f(x,y) = [mm]xy\bruch{x^2-y^2}{x^2+y^2}[/mm]
> Frage: Wie wende ich hierbei im Mehrdimensionalen das
> Epsilon-Delta-Kriterium an? Ich finde die Definition des
> selbigen nur für den eindimensionalen Fall...
Ich denke die stetigkeit von f in Punkten (x,y) [mm] \ne [/mm] (0,0) ist klar.
Vielleicht verrätst Du noch, wie f in (0,0) def. ist.. Wahrscheinlich f(0,0):=0. Wenn ja, so kannst Du vielleicht den Tipp
$|f(x,y)| [mm] \le [/mm] |x*y|$
gebrauchen.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:00 Di 03.08.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Untersuchen Sie folgende Funktion auf Stetigkeit:
>
> f(x,y) = [mm]xy\bruch{x^2-y^2}{x^2+y^2}[/mm]
> Frage: Wie wende ich hierbei im Mehrdimensionalen das
> Epsilon-Delta-Kriterium an? Ich finde die Definition des
> selbigen nur für den eindimensionalen Fall...
das bisher gesagte findest Du ![[]](/images/popup.gif) hier in Kapitel 10, Definition 10.2, Satz 10.7 und Bemerkung 8.17. Gerne kannst Du entsprechendes dort natürlich auch weiter durcharbeiten und ggf. nachfragen.
Beste Grüße,
Marcel
|
|
|
|
