Epsilon-Kugeln beschreiben < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:53 So 17.04.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Man beschreibe die [mm] \varepsilon-Kugeln [/mm] folgender Metriken:
1.Manhatten-Taxi-Metrik: [mm] d((x_{1},x_{2})=(y_{1},y_{2}))=|x_{1}-y_{1}|+|x_{2}-y_{2}|
[/mm]
2.French-Railroad-Metrik: [mm] d((x_{1},x_{2})=\begin{cases} d_{EU}(x,y), & \mbox{für } x und y \mbox{ linear abhängig} \\ d_{EU}(x,0)+d_{EU}(y,0), & \mbox{ } \mbox{ sonst} \end{cases} [/mm] |
Hallo zusammen^^
Ich habe die [mm] \varepsilon-Kugeln [/mm] der Metriken bestimmt, bin mir aber nicht sicher, ob das so richtig ist.
1. Für die Manhatten-Taxi-Metrik hab ich es an einem Beispiel ausprobiert und habe als [mm] \varepsilon-Kugel [/mm] ein Quadrat rausbekommen. Kann das stimmen? Wenns nötig ist, kann ich nochmal posten, wie genau ich da drauf gekommen bin.
2. Auch hier hab ich es an einem Beispiel ausprobiert,ich hab als [mm] \varepsilon=5 [/mm] gewählt und [mm] x=\vektor{3 \\ 2} [/mm] und habe dann [mm] y_{1}^{2}+y_{2}^{2} [/mm] < 1,94. Die [mm] \varepsilon-Kugel [/mm] ist also ein Kreis mit dem Mittelpunkt y und dem Radius [mm] \wurzel{1,94}. [/mm]
Stimmt das so?
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:35 So 17.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
ein Quadrat, spitzen in Achsenichtung ist richtig, nur solltest du zumindes die eckpunkte in Abh, von [mm] \epsilon [/mm] angeben.
bei b) hab ich keine Ahnung was du da gerechnet hast. wenn dein Mittelpunkt 3,2 ist hast du bei [mm] \epsilon=5 [/mm] alle Punkte auf der Geraden von 0 nach (3,2)auf deiner [mm] \epsilon [/mm] Kugel und die bis (6,4). wie groß ist der Abstand etwa zu (3.1,2)?
Dein Kreis ist sicher falsch einen [mm] \epsilonkreis [/mm] gibts nur um Paris (0,0)
stellst du dir die metrik richtig vor? wer von A nach B in frankreich mit der bahn will kann wenn die (geradlinige) Bahnlinie von Paris aus nach A nicht auch durch B kommt immer von A nach Paris fahren und von da aus nach B. (daher der Name!)
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:57 So 17.04.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo leduart,vielen Dank.
> Hallo
> ein Quadrat, spitzen in Achsenichtung ist richtig, nur
> solltest du zumindes die eckpunkte in Abh, von [mm]\epsilon[/mm]
> angeben.
Ok.Für die Eckpunkte habe ich [mm] (\varepsilon-2/0),(\varepsilon+2/0),(\varepsilon-2/\varepsilon+1),(\varepsilon+2/\varepsilon+1).
[/mm]
> bei b) hab ich keine Ahnung was du da gerechnet hast. wenn
> dein Mittelpunkt 3,2 ist hast du bei [mm]\epsilon=5[/mm] alle Punkte
> auf der Geraden von 0 nach (3,2)auf deiner [mm]\epsilon[/mm] Kugel
> und die bis (6,4). wie groß ist der Abstand etwa zu
> (3.1,2)?
Nach meiner Berechnung ist das 7,29.Das kann aber nicht sein, denn der Abstand sollte ja kleiner als 5 sein. Wie kommst du auf den Punkt (6/4)?
Ich versteh nicht, wie du auf die Gerade kommst, ich komm da nicht drauf.
Hat es etwas damit zu tun, dass die Metrik,die wir hier haben, den Abstand als die kürzeste Verbindung zwischen zwei gegebenen Punkten beschreibt? Deswegen geht man vielleicht keine Umwege, sondern ein Gerade?
> Dein Kreis ist sicher falsch einen [mm]\epsilonkreis[/mm] gibts nur
> um Paris (0,0)
> stellst du dir die metrik richtig vor? wer von A nach B in
Weiß ich nicht, ich hoffe doch.
> frankreich mit der bahn will kann wenn die (geradlinige)
> Bahnlinie von Paris aus nach A nicht auch durch B kommt
> immer von A nach Paris fahren und von da aus nach B.
> (daher der Name!)
Ah ja. Gut zu wissen.
> gruss leduart
>
>
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:19 Mo 18.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo Mandy
1. ich hab einen Fehler gemacht mit Mittelpunkt (3,4) gerechnet statt deiner (3,2 )mit (3,2) als Mitte liegt auf dem Rand der [mm] \epsilon [/mm] Kugel mit [mm] \epsilon=\wurzel{3^2+2^2} [/mm] gerade noch (0,0) mit [mm] \epsilon=5 [/mm] auf der Geraden durch (0,0) und (3,2) im Abstand 5
Ist dieser mittelpunkt gegeben? oder hast du ihn genommen? sonst wär besser du nimmst [mm] M=(x_0,y__0)
[/mm]
Alle Punkte auf der Geraden durch 0 haben den "normalen" euklidischen Abstand. alle anderen einen viel großeren.
Findest du dann die "Kugel" sie sieht gar nicht wie eine aus!
dein "Quadrat" seh ich nicht, welchen Mittelpunkt du genommen hast. ich seh auch wenn ich etwa [mm] \epsilon=1 [/mm] setze kein Quadrat.
gib dein quadrat doch mit M=(0,0) und mit [mm] M=(x_0,y_0) [/mm] an.
überzeug dich dann in ner Zeichnung von der Richtigkeit.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:15 Mi 20.04.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo leduart,
> 1. ich hab einen Fehler gemacht mit Mittelpunkt (3,4)
> gerechnet statt deiner (3,2 )mit (3,2) als Mitte liegt auf
> dem Rand der [mm]\epsilon[/mm] Kugel mit [mm]\epsilon=\wurzel{3^2+2^2}[/mm]
> gerade noch (0,0) mit [mm]\epsilon=5[/mm] auf der Geraden durch
> (0,0) und (3,2) im Abstand 5
> Ist dieser mittelpunkt gegeben? oder hast du ihn genommen?
Der ist nicht gegeben,ich hab ihn einfach genommen.
> sonst wär besser du nimmst [mm]M=(x_0,y__0)[/mm]
Meinst du damit, dass ich keinen speziellen sondern einen allgemeinen Mittelpunkt nehmen soll?
> Alle Punkte auf der Geraden durch 0 haben den "normalen"
> euklidischen Abstand. alle anderen einen viel großeren.
> Findest du dann die "Kugel" sie sieht gar nicht wie eine
> aus!
Also, ich habs mir jetzt nochmal aufgezeichnet und sehe für die E-Kugel zwei Möglichkeiten:
1. Sie ist ein Ausschnitt,also eine Strecke, aus der Geraden, die du oben beschrieben hast, denn die Punkte auf der Geraden haben den euklidischen Abstand und wir haben es hier mit einer euklidischen Metrik zu tun.
2. Es ist ein Dreieck,aber das denke ich eher nicht-
> dein "Quadrat" seh ich nicht, welchen Mittelpunkt du
> genommen hast. ich seh auch wenn ich etwa [mm]\epsilon=1[/mm] setze
> kein Quadrat.
Meinst du bei der Manhattan Metrik?
> gib dein quadrat doch mit M=(0,0) und mit [mm]M=(x_0,y_0)[/mm] an.
> überzeug dich dann in ner Zeichnung von der Richtigkeit.
Ok,ich hab jetzt den Nullpunkt als Mittelpunkt genommen.Dann habe ich die Ungleichung [mm] y_{1}^{2}+y_{2}^{2} \le [/mm] 16, mit e=5.Dann habe ich die Endpunkte (4/4),(-4/4),(-4/-4),(4/-4).Das mit dem [mm] M=(x_0,y_0) [/mm] verstehe ich nicht was du meinst. Soll ich einen allgemeinen Punkt als Mittelpunkt nehmen? Dann sehe ich doch nichts, die Metrik bleibt quasi so wie sie da schon steht.
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:15 Mi 20.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die franz Eisenbahn Entfernungs kugel ist eine Strecke der euklidischen Länge [mm] \epsilon [/mm] auf der geraden durch M und 0 nach beiden seiten vom Mittelpunkt.Alle Punkte, die nicht auf dieser geraden sind, auch wenn sie einen noch so kleinen euklidischen Abstand von M haben.
wenn der 0 Punkt Mittelpunkt ist ist die Kugel eine Kreisscheibe mit radius [mm] \epsilon.
[/mm]
Deinen Kommentar zu 1) Taximetrik versteh ich nicht.
der Punkt (4,4) etwa hat den Abstand |4-0|+|4-0|=8 vom Mittelpunkt (0,0) dasselbe gilt für deine anderen 4 Eckpunkte, dagegen hat der Punkt (4,0) der auch auf der Quadratseite mit den angegebenen 4 ecken liegt den Abstand 4
wie kommst du auf $ [mm] y_{1}^{2}+y_{2}^{2} \le [/mm] $ 16
die Punkte deren Abstand definiert sind heissen in der Definition (x1,y1) und (x2,y2) was du da geschrieben hast kann ich al abstand von nichts interpretieren und woher dein [mm] \epsilon=5 [/mm] herkommt erst rech nicht.
sollst du denn nur eine kugel um 0 angeben, oder um nen bel. Punkt?
bei 2 macht das nen Unterschied!
Wenn du ein neues ergebnis hast, dann probier doch ein paar punkte mit der definition aus. und nimm wirklich ne [mm] \epsilon [/mm] "Kugel" und nicht nen wert wie 5, auch wenn dus damit ja erstmal ausprobieren kannst. wenn dus für 5 und 0.3 kannst dann auch für ein allgemeines [mm] \epsilon.
[/mm]
Gruss leduart
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