EpsilonDelta Anwendung < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie mit Hilfe von der Epsilon-Delta-Definition aus der Vorlesung, dass die folgende Funktion stetig ist:
f : [mm] \IR\setminus\{0\} \mapsto \IR [/mm] , [mm] f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \mbox{ <= 0 } \\ 1, & \mbox{für } x \mbox{ > 0 } \end{cases} [/mm] |
Hallo,
ich versuche diese Aufgabe zu lösen aber komme damit nicht weiter. Normalerweise fängt man mit |f(x) - f(a)| < [mm] \varepsilon [/mm] an und formt solange um bis man [mm] \delta [/mm] ablesen kann, was aber hier nicht funktioniert.
Habe Folgendes versucht:
Zu zeigen ist, dass für jedes [mm] \varepsilon [/mm] > 0 ein [mm] \delta [/mm] > 0 existiert mit:
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR\setminus\{0\} [/mm] gilt: | x - a | < [mm] \delta \Rightarrow [/mm] |f(x) - f(a)| < [mm] \varepsilon.
[/mm]
|f(x) - f(a)| [mm] =\begin{cases} 0, & \mbox{für x und a beide positiv oder beide negativ } \\ 1, & \mbox{sonst} \end{cases}
[/mm]
somit kann ich nie [mm] \delta [/mm] oder |x - a| ablesen. Ist mein Ansatz vom Anfang an falsch?
Bin für jede Hilfe dankbar :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:55 Di 03.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeigen Sie mit Hilfe von der Epsilon-Delta-Definition aus
> der Vorlesung, dass die folgende Funktion stetig ist:
> f : [mm]\IR\setminus\{0\} \mapsto \IR[/mm] , [mm]f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \mbox{ <= 0 } \\ 1, & \mbox{für } x \mbox{ > 0 } \end{cases}[/mm]
besser sollte da $f(x)=0$ für $x [mm] \red{<} [/mm] 0$ stehen, wenn [mm] $f\,$ [/mm] auf [mm] $\IR \setminus \{0\}$ [/mm] definiert ist. Obiges ist nicht falsch (auch in obiger Notation bleibt [mm] $f(0)\,$ [/mm] undefiniert, da alle $x [mm] \in \IR \setminus \{0\}$ [/mm] mit $x [mm] \le [/mm] 0$ nur noch die $x < [mm] 0\,$ [/mm] sein können!), aber sicher ein wenig verwirrend!
> Hallo,
>
> ich versuche diese Aufgabe zu lösen aber komme damit nicht
> weiter. Normalerweise fängt man mit |f(x) - f(a)| <
> [mm]\varepsilon[/mm] an und formt solange um bis man [mm]\delta[/mm] ablesen
> kann, was aber hier nicht funktioniert.
> Habe Folgendes versucht:
>
> Zu zeigen ist, dass für jedes [mm]\varepsilon[/mm] > 0 ein [mm]\delta[/mm]
> > 0 existiert mit:
> [mm]\forall[/mm] x [mm]\in \IR\setminus\{0\}[/mm] gilt: | x - a | < [mm]\delta \Rightarrow[/mm]
> |f(x) - f(a)| < [mm]\varepsilon.[/mm]
Was ist [mm] $a\,$? $a\,$ [/mm] sollte (irgendeine beliebige, aber feste) Stelle des Definitionsbereichs sein (d.h. oben sollte stehen: Für alle [mm] $a\,$ [/mm] im Definitionsbereich von [mm] $f\,$ [/mm] und für alle [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ existiert ein [mm] $\delta=\delta_{a,\varepsilon} [/mm] > 0$ mit ...). Entscheidend: [mm] $\delta$ [/mm] darf und wird i.a. sowohl von der Stelle [mm] $a\,$ [/mm] als auch von [mm] $\varepsilon$ [/mm] abhängen!
> |f(x) - f(a)| [mm]=\begin{cases} 0, & \mbox{für x und a beide positiv oder beide negativ } \\ 1, & \mbox{sonst} \end{cases}[/mm]
Das verstehe ich nicht. Ich habe hier die Vermutung, dass Du [mm] $a=0\,$ [/mm] betrachtest. Das macht aber keinen Sinn, da $0 [mm] \notin \IR \setminus \{0\}\,.$
[/mm]
> somit kann ich nie [mm]\delta[/mm] oder |x - a| ablesen. Ist mein
> Ansatz vom Anfang an falsch?
>
> Bin für jede Hilfe dankbar :)
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Die Aufgabe ist eigentlich sehr einfach, und anhand des Graphen kann man sich hier auch schöne Skizzen machen.
Tipp:
Seien [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ beliebig, aber fest und [mm] $x_0 \not=0$ [/mm] beliebig, aber fest.
Definiere [mm] $\delta:=\delta_{\epsilon,x_0}:=|x_0|/2\,.$ [/mm] (Du siehst, dass [mm] $\delta$ [/mm] hier eigentlich nicht von [mm] $\epsilon$ [/mm] abhängt. Das ist aber eher "ausnahmsweise" so). Begründe (etwa durch Fallunterscheidung: [mm] $x_0 [/mm] > 0$ oder [mm] $x_0 [/mm] < 0$), dass für alle $x [mm] \in D_f=\IR \setminus \{0\}$ [/mm] mit [mm] $|x-x_0| [/mm] < [mm] \delta=|x_0|/2$ [/mm] gilt
[mm] $$|f(x)-f(x_0)| [/mm] < [mm] \epsilon\,.$$
[/mm]
(Tipp: Es ist stets [mm] $\blue{0} [/mm] < [mm] \epsilon\,.$)
[/mm]
Zur Skizze:
Zeichne Dir den Graphen von [mm] $f\,.$ [/mm] (Beachte: [mm] $f(0)\,$ [/mm] existiert NICHT!) Wähle eine Stelle [mm] $x_0$ [/mm] auf der [mm] $x\,$-Achse [/mm] - natürlich im Definitionsbereich von [mm] $f\,,$ [/mm] also [mm] $x_0 \not=0$. [/mm] Markiere das (offene) [mm] $|x_0|/2$-Intervall [/mm] um [mm] $x_0\,.$ [/mm] Was siehst Du nun, wenn Du die Funktionswerte in diesem Intervall betrachtest?
Gruß,
Marcel
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Danke erstmal für die Antwort :)
> besser sollte da [mm]f(x)=0[/mm] für [mm]x \red{<} 0[/mm] stehen, wenn [mm]f\,[/mm]
> auf [mm]\IR \setminus \{0\}[/mm] definiert ist. Obiges ist nicht
> falsch (auch in obiger Notation bleibt [mm]f(0)\,[/mm] undefiniert,
> da alle [mm]x \in \IR \setminus \{0\}[/mm] mit [mm]x \le 0[/mm] nur noch die
> [mm]x < 0\,[/mm] sein können!), aber sicher ein wenig verwirrend!
Da stimme ich zu.
> > |f(x) - f(a)| [mm]=\begin{cases} 0, & \mbox{für x und a beide positiv oder beide negativ } \\ 1, & \mbox{sonst} \end{cases}[/mm]
>
> Das verstehe ich nicht. Ich habe hier die Vermutung, dass
> Du [mm]a=0\,[/mm] betrachtest. Das macht aber keinen Sinn, da [mm]0 \notin \IR \setminus \{0\}\,.[/mm]
Ich habe hier nur die möglichen Werte für |f(x)-f(a)| betrachtet:
- Falls x und a gleiche Vorzeichen haben, dann ist |f(x)-f(a)| = |1-1| = 0 oder |f(x)-f(a)| = |0-0| = 0
- Falls x und a verschiedene Vorzeichen haben, dann ist |f(x)-f(a)| = |1-0| = 1 oder |f(x)-f(a)| = |0-1| = 1
> Tipp:
> Seien [mm]\epsilon > 0[/mm] beliebig, aber fest und [mm]x_0 \not=0[/mm]
> beliebig, aber fest.
>
> Definiere [mm]\delta:=\delta_{\epsilon,x_0}:=|x_0|/2\,.[/mm] (Du
> siehst, dass [mm]\delta[/mm] hier eigentlich nicht von [mm]\epsilon[/mm]
> abhängt. Das ist aber eher "ausnahmsweise" so). Begründe
> (etwa durch Fallunterscheidung: [mm]x_0 > 0[/mm] oder [mm]x_0 < 0[/mm]), dass
> für alle [mm]x \in D_f=\IR \setminus \{0\}[/mm] mit [mm]|x-x_0| < \delta=|x_0|/2[/mm]
> gilt
> [mm]|f(x)-f(x_0)| < \epsilon\,.[/mm]
> (Tipp: Es ist stets [mm]\blue{0} < \epsilon\,.[/mm])
>
> Zur Skizze:
> Zeichne Dir den Graphen von [mm]f\,.[/mm] (Beachte: [mm]f(0)\,[/mm]
> existiert NICHT!) Wähle eine Stelle [mm]x_0[/mm] auf der [mm]x\,[/mm]-Achse
> - natürlich im Definitionsbereich von [mm]f\,,[/mm] also [mm]x_0 \not=0[/mm].
> Markiere das (offene) [mm]|x_0|/2[/mm]-Intervall um [mm]x_0\,.[/mm] Was
> siehst Du nun, wenn Du die Funktionswerte in diesem
> Intervall betrachtest?
Ok, habe den Graphen skizziert:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich sehe und verstehe, dass für alle [mm]x[/mm] in dem Interval von [mm] -\delta+[/mm] [mm]x_0[/mm] bis [mm] \delta+[/mm] [mm]x_0[/mm], die Epslion-Delta-Definition gilt.
Ich weiss aber trozdem nicht, wie man die Antwort formuliert? Ich habe von anderen Studenten eine Musterlösung bekommen, die aber ich nicht nachvollziehen kann:
Sei [mm]x[/mm] [mm] \not= [/mm] 0 und [mm] \delta:=|[/mm] [mm]x[/mm]|. Dann ist für alle [mm]y[/mm] mit |[mm]x[/mm]-[mm]y[/mm]| < [mm] \delta:
[/mm]
i) [mm]x[/mm] > 0 [mm] \Rightarrow[/mm] [mm]x[/mm] > [mm]y[/mm] > 0 [mm] \Rightarrow [/mm] f(x) = f(y)
ii) [mm]x[/mm] < 0 [mm] \Rightarrow[/mm] [mm]x[/mm]< [mm]y[/mm] < 0 [mm] \Rightarrow [/mm] f(x) = f(y)
somit ist f stetig.
Ich verstehe die Implikationen nicht(ich betrachte nur den Fall (i) ):
i) falls x > 0:
|x-y| < [mm] \delta=|x| [/mm] betrachtet man durch Fallunterscheidung:
1. x-y < x [mm] \Rightarrow [/mm] y > 0
2. -x+y < x [mm] \Rightarrow [/mm] y < 2x
aus 1 und 2 kann man schlussfolgern, dass beide x und y grösser Null sind aber nicht x > y > 0 . Stimmt das so?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:09 Di 03.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke erstmal für die Antwort :)
>
> > besser sollte da [mm]f(x)=0[/mm] für [mm]x \red{<} 0[/mm] stehen, wenn [mm]f\,[/mm]
> > auf [mm]\IR \setminus \{0\}[/mm] definiert ist. Obiges ist nicht
> > falsch (auch in obiger Notation bleibt [mm]f(0)\,[/mm] undefiniert,
> > da alle [mm]x \in \IR \setminus \{0\}[/mm] mit [mm]x \le 0[/mm] nur noch die
> > [mm]x < 0\,[/mm] sein können!), aber sicher ein wenig verwirrend!
> Da stimme ich zu.
>
>
> > > |f(x) - f(a)| [mm]=\begin{cases} 0, & \mbox{für x und a beide positiv oder beide negativ } \\ 1, & \mbox{sonst} \end{cases}[/mm]
>
> >
> > Das verstehe ich nicht. Ich habe hier die Vermutung, dass
> > Du [mm]a=0\,[/mm] betrachtest. Das macht aber keinen Sinn, da [mm]0 \notin \IR \setminus \{0\}\,.[/mm]
>
> Ich habe hier nur die möglichen Werte für |f(x)-f(a)|
> betrachtet:
> - Falls x und a gleiche Vorzeichen haben, dann ist
> |f(x)-f(a)| = |1-1| = 0 oder |f(x)-f(a)| = |0-0| = 0
> - Falls x und a verschiedene Vorzeichen haben, dann ist
> |f(x)-f(a)| = |1-0| = 1 oder |f(x)-f(a)| = |0-1| = 1
>
> > Tipp:
> > Seien [mm]\epsilon > 0[/mm] beliebig, aber fest und [mm]x_0 \not=0[/mm]
> > beliebig, aber fest.
> >
> > Definiere [mm]\delta:=\delta_{\epsilon,x_0}:=|x_0|/2\,.[/mm] (Du
> > siehst, dass [mm]\delta[/mm] hier eigentlich nicht von [mm]\epsilon[/mm]
> > abhängt. Das ist aber eher "ausnahmsweise" so). Begründe
> > (etwa durch Fallunterscheidung: [mm]x_0 > 0[/mm] oder [mm]x_0 < 0[/mm]), dass
> > für alle [mm]x \in D_f=\IR \setminus \{0\}[/mm] mit [mm]|x-x_0| < \delta=|x_0|/2[/mm]
> > gilt
> > [mm]|f(x)-f(x_0)| < \epsilon\,.[/mm]
> > (Tipp: Es ist stets
> [mm]\blue{0} < \epsilon\,.[/mm])
> >
> > Zur Skizze:
> > Zeichne Dir den Graphen von [mm]f\,.[/mm] (Beachte: [mm]f(0)\,[/mm]
> > existiert NICHT!) Wähle eine Stelle [mm]x_0[/mm] auf der [mm]x\,[/mm]-Achse
> > - natürlich im Definitionsbereich von [mm]f\,,[/mm] also [mm]x_0 \not=0[/mm].
> > Markiere das (offene) [mm]|x_0|/2[/mm]-Intervall um [mm]x_0\,.[/mm] Was
> > siehst Du nun, wenn Du die Funktionswerte in diesem
> > Intervall betrachtest?
>
> Ok, habe den Graphen skizziert:
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Ich sehe und verstehe, dass für alle [mm]x[/mm] in dem Interval von
> [mm]-\delta+[/mm] [mm]x_0[/mm] bis [mm]\delta+[/mm] [mm]x_0[/mm], die Epslion-Delta-Definition
> gilt.
> Ich weiss aber trozdem nicht, wie man die Antwort
> formuliert? Ich habe von anderen Studenten eine
> Musterlösung bekommen, die aber ich nicht nachvollziehen
> kann:
>
> Sei [mm]x[/mm] [mm]\not=[/mm] 0 und [mm]\delta:=|[/mm] [mm]x[/mm]|. Dann ist für alle [mm]y[/mm] mit
> |[mm]x[/mm]-[mm]y[/mm]| < [mm]\delta:[/mm]
> i) [mm]x[/mm] > 0 [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]x[/mm] > [mm]y[/mm] > 0 [mm]\Rightarrow[/mm] f(x) = f(y)
> ii) [mm]x[/mm] < 0 [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]x[/mm]< [mm]y[/mm] < 0 [mm]\Rightarrow[/mm] f(x) =
> f(y)
> somit ist f stetig.
Das läuft auf das gleiche Hinaus, was ich machen wollte. Ich habe halt nur ein noch kleineres "passendes [mm] $\delta [/mm] > 0$" gewählt (ich finde, damit sieht man mehr  - einen besonderen Grund hat es eigentlich nicht).
>
> Ich verstehe die Implikationen nicht(ich betrachte nur den
> Fall (i) ):
> i) falls x > 0:
> |x-y| < [mm]\delta=|x|[/mm] betrachtet man durch
> Fallunterscheidung:
> 1. x-y < x [mm]\Rightarrow[/mm] y > 0
> 2. -x+y < x [mm]\Rightarrow[/mm] y < 2x
> aus 1 und 2 kann man schlussfolgern, dass beide x und y
wieso 1. und 2.? Das sind getrennte Fälle: $x-y [mm] \ge [/mm] 0$ und $x-y < 0$ kann nicht gleichzeitig gelten!
> grösser Null sind aber nicht x > y > 0 . Stimmt das so?
Ergänzung: Ja, oder besser wegen Deines obigen Missverständnisses: Jein, bzgl. der oben in Blau markierten Aussage. Ich finde das ganze auch irgendwie unnötig aufgebauscht.
Was hier gemacht wurde: Sei $x [mm] \not=0$ [/mm] beliebig, aber fest und [mm] $y\not=0$ [/mm] mit $|y-x| < [mm] |x|\,.$
[/mm]
1. Fall: $x > [mm] 0\,.$ [/mm]
Unterfall 1a) $y-x [mm] \ge 0\,.$ [/mm] Hier steht wegen $x > 0$ und $y [mm] \ge [/mm] x$ sofort da, dass $y > [mm] 0\,$ [/mm] ist...
Unterfall 1b) $y-x [mm] \le 0\,.$ [/mm] Dann folgt aus $|y-x| < |x|$ natürlich $x-y < x$ und damit $y > [mm] 0\,$ [/mm] ...
Und genauso behandelt man dann den Fall $x < [mm] 0\,.$ [/mm] Du hast Dich hier beim Fall 1a) ein wenig irritieren lassen: Um dort $y > [mm] 0\,$ [/mm] einzusehen, braucht man die Ungleichung $|y-x| < [mm] |x|\,$ [/mm] gar nicht... Ich nehme an, dass Du da Deine Schwierigkeiten hattest!
Du denkst viel zu kompliziert, habe ich den Eindruck. Schau' doch mal in Deine Skizze: Wenn Du [mm] $x_0$ [/mm] festhältst und irgendein [mm] $x\,$ [/mm] aus dem offenen Intervall [mm] $]x_0-|x_0|/2,\;x_0+|x_0|/2[$ [/mm] hernimmst, dann gilt doch offensichtlich [mm] $f(x)=f(x_0)\,,$ [/mm] daher [mm] $|f(x)-f(x_0)|=0 [/mm] < [mm] \epsilon\,.$
[/mm]
Falls [mm] $x_0 [/mm] < 0$ ist, steht halt oben für irgendein aus dem entsprechendem Intervall gewählten [mm] $x\,$ [/mm] nämlich [mm] $f(x)=f(x_0)=0\,,$ [/mm] und ist [mm] $x_0 [/mm] > 0$ und [mm] $x\,$ [/mm] aus dem dann zu [mm] $x_0 [/mm] > 0$ zugehörigen Intervall gewählt, so steht da [mm] $f(x)=f(x_0)=1\,.$ [/mm] (Letztstehenden Fall hast Du skizziert.)
Wenn Du das wirklich noch sauberer aufschreiben magst:
Betrachte zwei Fälle für [mm] $x_0 \not=0:$
[/mm]
1. Fall: Sei [mm] $x_0 [/mm] < [mm] 0\,.$ [/mm] Wir setzen [mm] $\delta=|x_0|/2=-x_0/2\,.$ [/mm] Ist $x [mm] \in ]x_0-|x_0|/2,\;x_0+|x_0/2|[$ [/mm] beliebig, aber fest, so folgt natürlich insbesondere
$$x [mm] \le x_0+|x_0|/2=x_0+(-x_0)/2=x_0/2 [/mm] < [mm] 0\,,$$
[/mm]
da [mm] $x_0 [/mm] < 0$ war. Damit gilt hier (beachte: wegen [mm] $x_0 [/mm] < 0$ und $x < [mm] 0\,$ [/mm] gilt [mm] $f(x_0)=0=f(x)$)
[/mm]
[mm] $$|f(x)-f(x_0)|=|0-0|=0 [/mm] < [mm] \epsilon\,.$$
[/mm]
2. Fall: Sei nun [mm] $x_0 [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm] Wir setzen [mm] $\delta=|x_0|/2=x_0/2\,.$ [/mm] Ist $x [mm] \in ]x_0-|x_0|/2,\;x_0+|x_0/2|[$ [/mm] beliebig, aber fest, so folgt natürlich insbesondere
$$x [mm] \ge x_0-|x_0|/2=x_0-x_0/2=x_0/2 [/mm] > [mm] 0\,,$$
[/mm]
da [mm] $x_0 [/mm] > 0$ war. Damit gilt hier (beachte: wegen [mm] $x_0 [/mm] > 0$ und $x > [mm] 0\,$ [/mm] gilt [mm] $f(x_0)=1=f(x)$)
[/mm]
[mm] $$|f(x)-f(x_0)|=|1-1|=0 [/mm] < [mm] \epsilon\,.$$
[/mm]
Fazit: Für [mm] $x_0 \not=0$ [/mm] folgt, dass für alle
$$x [mm] \in ]x_0-|x_0|/2,\;x_0+|x_0|/2[=\{r \in \IR \setminus \{0\}: |r-x_0| < \underbrace{|x_0|/2}_{> 0 \text{ wegen }x \in \IR \setminus \{0\}}\}=\{r \in \IR: |r-x_0| < |x_0|/2\}$$ [/mm]
gilt
[mm] $$|f(x)-f(x_0)|=0 [/mm] < [mm] \epsilon\,.$$ [/mm]
Fertig!
Tipp, um eventuelle Verwirrungen Deinerseits zu beseitigen: Deine Skizze behandelt den 2. Fall, [mm] $x_0 [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm] Schau' Dir mal an, wo Du dort die Stellen [mm] $a:=x_0-|x_0|/2$ [/mm] und [mm] $b:=x_0+|x_0|/2$ [/mm] eingezeichnet hast. Alle "Zwischenstellen" $x [mm] \in [/mm] ]a,b[$ liegen sicherlich auch rechts von [mm] $a\,,$ [/mm] also sind alle diese [mm] $x\,$ [/mm] insbesondere auch $> [mm] 0\,,$ [/mm] weil schon $a > [mm] 0\,$ [/mm] ist...
Analog kannst Du den 1. Fall skizzieren. Dort ist die "rechte Intervallgrenze" [mm] $x_0+|x_0|/2$ [/mm] ausschlaggebend dafür, dass die im ersten Fall gewählten [mm] $x\,$ [/mm] insbesondere $< [mm] 0\,$ [/mm] sind...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:36 Di 03.01.2012 | | Autor: | mathnewbie |
> Wenn Du das wirklich noch sauberer aufschreiben magst:
> Betrachte zwei Fälle für [mm]x_0 \not=0:[/mm]
> 1. Fall: Sei [mm]x_0 < 0\,.[/mm]
> Wir setzen [mm]\delta=|x_0|/2=-x_0/2\,.[/mm] Ist [mm]x \in ]x_0-|x_0|/2,\;x_0+|x_0/2|[[/mm]
> beliebig, aber fest, so folgt natürlich insbesondere
> [mm]x \le x_0+|x_0|/2=x_0+(-x_0)/2=x_0/2 < 0\,,[/mm]
> da [mm]x_0 < 0[/mm]
> war. Damit gilt hier (beachte: wegen [mm]x_0 < 0[/mm] und [mm]x < 0\,[/mm]
> gilt [mm]f(x_0)=0=f(x)[/mm])
> [mm]|f(x)-f(x_0)|=|0-0|=0 < \epsilon\,.[/mm]
>
> 2. Fall: Sei nun [mm]x_0 > 0\,.[/mm] Wir setzen
> [mm]\delta=|x_0|/2=x_0/2\,.[/mm] Ist [mm]x \in ]x_0-|x_0|/2,\;x_0+|x_0/2|[[/mm]
> beliebig, aber fest, so folgt natürlich insbesondere
> [mm]x \ge x_0-|x_0|/2=x_0-x_0/2=x_0/2 > 0\,,[/mm]
> da [mm]x_0 > 0[/mm] war.
> Damit gilt hier (beachte: wegen [mm]x_0 > 0[/mm] und [mm]x > 0\,[/mm] gilt
> [mm]f(x_0)=1=f(x)[/mm])
> [mm]|f(x)-f(x_0)|=|1-1|=0 < \epsilon\,.[/mm]
>
> Fazit: Für [mm]x_0 \not=0[/mm] folgt, dass für alle
> [mm]x \in ]x_0-|x_0|/2,\;x_0+|x_0|/2[=\{r \in \IR \setminus \{0\}: |r-x_0| < \underbrace{|x_0|/2}_{> 0 \text{ wegen }x \in \IR \setminus \{0\}}\}=\{r \in \IR: |r-x_0| < |x_0|/2\}[/mm]
> gilt
> [mm]|f(x)-f(x_0)|=0 < \epsilon\,.[/mm]
>
> Fertig!
Vielen Dank. Dank deiner ausführlichen Antwort kann ich jetzt verstehen, warum
1.) diese Funktion die Epsilon-Delta-Definition erfüllt
2.) die gleiche Funktion mit [mm] \IR [/mm] als Def.Bereich (nicht [mm] \IR \setminus \{0\}) [/mm] in [mm]x_0[/mm]=0 nicht stetig ist.
Damit ist meine Frage beantwortet.
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