Epsilon -Delta - Krit. < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:34 Sa 21.11.2009 | | Autor: | chipbit |
| Aufgabe | Mittels der [mm] \varepsilon -\delta [/mm] - Argumente beweise man die Stetigkeit folgender Funktionen:
a) [mm] f(x)=\wurzel[3]{x}
[/mm]
b) f(x)=sin x |
Hallo Leute,
zu allererst, ich muss zugeben, ich komme mit diesem Kriterium nicht ganz klar. Von daher wollte ich fragen, ob mir das jemand vielleicht nochmal nahe legen könnte, bevor ich mich an die Aufgaben mache. Also, die Theorie dahinter kenn ich, ich versteh nur nich so ganz wie ich das anwenden muss. Vielleicht kann mir das jemand an einem anderen Beispiel nochmal erklären. Wäre für Hilfe dankbar.
Lg, chip
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:15 Sa 21.11.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Mittels der [mm]\varepsilon -\delta[/mm] - Argumente beweise man die
> Stetigkeit folgender Funktionen:
> a) [mm]f(x)=\wurzel[3]{x}[/mm]
> b) f(x)=sin x
> Hallo Leute,
> zu allererst, ich muss zugeben, ich komme mit diesem
> Kriterium nicht ganz klar. Von daher wollte ich fragen, ob
> mir das jemand vielleicht nochmal nahe legen könnte, bevor
> ich mich an die Aufgaben mache. Also, die Theorie dahinter
> kenn ich, ich versteh nur nich so ganz wie ich das anwenden
> muss. Vielleicht kann mir das jemand an einem anderen
> Beispiel nochmal erklären. Wäre für Hilfe dankbar.
Das [mm] $\varepsilon$-$\delta$-Kriterium [/mm] für eine Funktion f an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] besagt, dass aus
[mm] |x-x_0| <\delta [/mm]
folgt, dass
[mm] |f(x)-f(x_0)| < \varepsilon [/mm]
ist, und zwar so, dass du für ein vorgegebenes [mm] $\varepsilon$ [/mm] immer eine passendes [mm] $\delta$ [/mm] finden kannst.
Deswegen ist es häufig am einfachsten von, [mm] $|x-x_0| <\delta [/mm] $ auszugehen.
Ich zeige es dir an dem ersten Beispiel. Dabei hilft die Identität
(*) [mm] a^3-b^3 = (a-b)*(a^2+ab+b^2) [/mm],
die ich mit [mm] $a=\wurzel[3]{x}$ [/mm] und [mm] $b=\wurzel[3]{x_0}$ [/mm] anwende:
[mm] |x-x_0| = |\wurzel[3]{x}-\wurzel[3]{x_0}| | \wurzel[3]{x^2}+\wurzel[3]{xx_0}+\wurzel[3]{x_0^2}| [/mm],
das heisst für [mm] $x\not=x_0$ [/mm] ist
[mm] |\wurzel[3]{x}-\wurzel[3]{x_0}| = \bruch{|x-x_0|}{| \wurzel[3]{x^2}+\wurzel[3]{xx_0}+\wurzel[3]{x_0^2}|} [/mm].
Nun ist [mm] $\wurzel[3]{x^2}+\wurzel[3]{xx_0} \ge [/mm] 0 [mm] \gdw [/mm] | [mm] \wurzel[3]{x^2}+\wurzel[3]{xx_0}+\wurzel[3]{x_0^2}| \ge |\wurzel[3]{x_0^2}|$ [/mm] und daher
[mm] |\wurzel[3]{x}-\wurzel[3]{x_0}| \le \bruch{|x-x_0|}{|\wurzel[3]{x_0^2}|} [/mm] .
Wenn also [mm] $|x-x_0|<\delta$, [/mm] so ist
[mm] |\wurzel[3]{x}-\wurzel[3]{x_0}|\le \bruch{\delta}{|\wurzel[3]{x_0^2}|} [/mm],
und damit ist
[mm] |\wurzel[3]{x}-\wurzel[3]{x_0}| < \varepsilon [/mm], wenn [mm] $|x-x_0|<\delta$ [/mm] und [mm] \delta = |\wurzel[3]{x_0^2}|\varepsilon [/mm].
Der einzige wirkliche Trick ist die Verwendung der Identität (*). Das funktioniert bei Potenzfunktionen; bei anderen Funktionen musst du eine andere Möglichkeit finden.
Jetzt probiere es mit dem Sinus! Tipp: Additionstheorem.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:01 Sa 21.11.2009 | | Autor: | chipbit |
Okay, danke. Ich versuchs mal....
Also, ich nehme dann das Additionstheorem
sin(x-y)=sin(x)*cos(y)-cos(x)*sin(y)
so, dann krieg ich ja für [mm] x\not= x_0
[/mm]
[mm] |x-x_0|=|sin(x)-sin(x_0)|=|sin(x)*cos(x_0)-cos(x)*sin(x_0)| [/mm]
[mm] \Rightarrow |sin(x)-sin(x_0)|= \bruch{|x-x_0|}{|sin(x)*cos(x_0)-cos(x)*sin(x_0)|}
[/mm]
so, jetzt bin ich mir nicht so sicher:
[mm] sin(x)cos(x_0)\ge [/mm] 0 [mm] \gdw |sin(x)cos(x_0)-cos(x)sin(x_0)|\ge|cos(x)sin(x_0)|\ge |sin(x_0)| [/mm] solange cos(x) nicht 0 wird.
oder funktioniert das in dem Fall nicht ganz so analog wie bei dem Wurzelterm vorhin?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:17 Sa 21.11.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Okay, danke. Ich versuchs mal....
> Also, ich nehme dann das Additionstheorem
> sin(x-y)=sin(x)*cos(y)-cos(x)*sin(y)
> so, dann krieg ich ja für [mm]x\not= x_0[/mm]
>
> [mm]|x-x_0|=|sin(x)-sin(x_0)|=|sin(x)*cos(x_0)-cos(x)*sin(x_0)|[/mm]
Also das stimmt sicher nicht. Ich nehme an, du meinst
[mm] \sin|x-x_0| = |\sin(x-x_0)| = |\sin(x)*\cos(x_0)-\cos(x)*\sin(x_0)| [/mm]
> [mm]\Rightarrow |sin(x)-sin(x_0)|= \bruch{|x-x_0|}{|sin(x)*cos(x_0)-cos(x)*sin(x_0)|}[/mm]
Wie kommst du von der Zeile vorher darauf?
Hilfreicher ist dieses:
[mm] \sin x -\sin x_0 = 2\cos \bruch{x+x_0}{2} \, \sin\bruch{x-x_0}{2} [/mm].
Nun schätze Sinus und Cosinus geschickt ab!
Viele Grüße
Rainer
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