Epsilon Delta Beweis < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:35 Di 18.08.2009 | | Autor: | Chuny |
Hallo
Ich beschäftige mich seit Stunden mit der Stetigkeit und mit der Beweisführung per Epsilon Delta Definition. Doch mit dieser habe ich noch grosse Mühe.
Ich weiss, dass schon viel darüber diskutiert wurde. Viel konnte ich nachvollziehen und viel auch nicht.
zum Beispiel:
f: x [mm] \mapsto [/mm] f(x) = [mm] x^{2}
[/mm]
Ich würde gerne zeigen, dass die Funktion auf ganz [mm] \IR [/mm] stetig ist. Die Definition ist mir bekannt. So habe ich mal angefangen:
(*) |f(x) - [mm] f(x_0)| [/mm] = [mm] |x^{2} [/mm] - [mm] x_{0}^{2}| [/mm] < [mm] \delta [/mm] |x + [mm] x_0| [/mm] da ja |x - [mm] x_0| [/mm] < [mm] \delta [/mm] gelten muss.
[mm] \delta [/mm] |x + [mm] x_0| \le \epsilon [/mm]
also dachte ich mal [mm] \delta [/mm] = [mm] \bruch{\epsilon}{|x + x_0|}
[/mm]
Jetzt stört ja noch das x, da ja [mm] \delta [/mm] nur von [mm] x_0 [/mm] und [mm] \epsilon [/mm] abhängen sollte.
Also:
|x + [mm] x_0| [/mm] = |x - [mm] x_0 [/mm] + [mm] x_0 [/mm] + [mm] x_0| \le [/mm] |x - [mm] x_0| [/mm] + 2 [mm] |x_0| [/mm] < [mm] \delta [/mm] + [mm] 2|x_0|
[/mm]
Ab da beginnt bei mir das Scheitern.
Aus (*) könnte ich ja dann folgern:
[mm] |x^{2} [/mm] - [mm] x_{0}^{2}| [/mm] < [mm] \delta [/mm] |x + [mm] x_0| [/mm] < [mm] \delta (\delta [/mm] + [mm] 2|x_0|)
[/mm]
Irgendwie kommt mir das komisch rein und ich weiss einfach nicht wie weiter.
Wäre super, könnte mir jemand helfen^^
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Chuny und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Hallo
>
> Ich beschäftige mich seit Stunden mit der Stetigkeit und
> mit der Beweisführung per Epsilon Delta Definition. Doch
> mit dieser habe ich noch grosse Mühe.
>
> Ich weiss, dass schon viel darüber diskutiert wurde. Viel
> konnte ich nachvollziehen und viel auch nicht.
>
> zum Beispiel:
> f: x [mm]\mapsto[/mm] f(x) = [mm]x^{2}[/mm]
>
> Ich würde gerne zeigen, dass die Funktion auf ganz [mm]\IR[/mm]
> stetig ist. Die Definition ist mir bekannt. So habe ich mal
> angefangen:
>
> (*) |f(x) - [mm]f(x_0)|[/mm] = [mm]|x^{2}[/mm] - [mm]x_{0}^{2}|[/mm] < [mm]\delta[/mm] |x +
> [mm]x_0|[/mm] da ja |x - [mm]x_0|[/mm] < [mm]\delta[/mm] gelten muss.
>
> [mm]\delta[/mm] |x + [mm]x_0| \le \epsilon[/mm]
> also dachte ich mal [mm]\delta[/mm] = [mm]\bruch{\epsilon}{|x + x_0|}[/mm]
>
> Jetzt stört ja noch das x, da ja [mm]\delta[/mm] nur von [mm]x_0[/mm] und
> [mm]\epsilon[/mm] abhängen sollte.
Ganz genau, da darf keine Variable drin stehen, das muss ein fester Wert sein!
>
> Also:
> |x + [mm]x_0|[/mm] = |x - [mm]x_0[/mm] + [mm]x_0[/mm] + [mm]x_0| \le[/mm] |x - [mm]x_0|[/mm] + 2 [mm]|x_0|[/mm]
> < [mm]\delta[/mm] + [mm]2|x_0|[/mm]
>
> Ab da beginnt bei mir das Scheitern.
> Aus (*) könnte ich ja dann folgern:
> [mm]|x^{2}[/mm] - [mm]x_{0}^{2}|[/mm] < [mm]\delta[/mm] |x + [mm]x_0|[/mm] < [mm]\delta (\delta[/mm] + [mm]2|x_0|)[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ja, sehr schön soweit, nun soll das Gezuppel [mm] $<\varepsilon$ [/mm] sein, löse also mal [mm] $\delta\cdot{}(\delta+2|x_0|)<\varepsilon$ [/mm] nach [mm] $\delta$ [/mm] auf, dann kannst du es angeben.
Ein wenig eleganter ist es, [mm] $\red{|x-x_0|<1}$ [/mm] anzunehmen, dann ist [mm] $\blue{|x|<|x_0|+1}$ [/mm] (wieso?) und somit:
[mm] $|x^2-x_0^2|=\red{|x-x_0|}\cdot{}|x+x_0|\red{<1}\cdot{}|x+x_0|\underbrace{\le}_{\triangle-Ungl.} \blue{|x|}+|x_0|\blue{<|x_0|+1}+|x_0|=2|x_0|+1$
[/mm]
Also bist du mit [mm] $\delta=\min\left\{1,\frac{\varepsilon}{2|x_0|+1}\right\}$ [/mm] auf der sicheren Seite ...
>
> Irgendwie kommt mir das komisch rein und ich weiss einfach
> nicht wie weiter.
>
> Wäre super, könnte mir jemand helfen^^
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:47 Di 18.08.2009 | | Autor: | Chuny |
> Hallo Chuny und
Danke ^_^ und noch danke für die schnelle Antwort ![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]")
> > Ab da beginnt bei mir das Scheitern.
> > Aus (*) könnte ich ja dann folgern:
> > [mm]|x^{2}[/mm] - [mm]x_{0}^{2}|[/mm] < [mm]\delta[/mm] |x + [mm]x_0|[/mm] < [mm]\delta (\delta[/mm] +
> [mm]2|x_0|)[/mm]
>
>
>
> Ja, sehr schön soweit, nun soll das Gezuppel [mm]<\varepsilon[/mm]
> sein, löse also mal
> [mm]\delta\cdot{}(\delta+2|x_0|)<\varepsilon[/mm] nach [mm]\delta[/mm] auf,
> dann kannst du es angeben.
ok, dann würde ich [mm] \delta_{1,2} [/mm] = [mm] -|x_0| \pm \wurzel{x_0^2 + \epsilon} [/mm] bekommen
> Ein wenig eleganter ist es, [mm]\red{|x-x_0|<1}[/mm] anzunehmen,
> dann ist [mm]\blue{|x|<|x_0|+1}[/mm] (wieso?) .....
Ok, sehr schön, das habe ich schon oft angetroffen und genau da klemmt es bei mir.
|x - [mm] x_0| [/mm] < 1 Heisst das, dass du einfach [mm] \delta [/mm] = 1 wählst, oder wie darf ich das verstehen? Falls ja, wieso?
Die Folgerung daraus [mm] (|x|<|x_0|+1), [/mm] wenn ich dann das vorherige verstanden habe, ist dann wieder klar 
> [mm]|x^2-x_0^2|=\red{|x-x_0|}\cdot{}|x+x_0|\red{<1}\cdot{}|x+x_0|\underbrace{\le}_{\triangle-Ungl.} \blue{|x|}+|x_0|\blue{<|x_0|+1}+|x_0|=2|x_0|+1[/mm]
Wenn das vorherige gilt ist mir auch dieser Schritt dann klar: [mm] |x^2-x_0^2| [/mm] < [mm] 2|x_0|+1
[/mm]
> Also bist du mit
> [mm]\delta=\min\left\{1,\frac{\varepsilon}{2|x_0|+1}\right\}[/mm]
> auf der sicheren Seite ...
Dieser Schritt ist mir leider wieder nicht klar ^^
Irgendwie ist da bei mir einfach noch ein Knopf drin, denn wieso ist dann [mm] \delta [/mm] das Minimum aus diesem Ausdruck?
lg
marco
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Hallo Marco,
> > Hallo Chuny und
>
> Danke ^_^ und noch danke für die schnelle Antwort
>
>
> > > Ab da beginnt bei mir das Scheitern.
> > > Aus (*) könnte ich ja dann folgern:
> > > [mm]|x^{2}[/mm] - [mm]x_{0}^{2}|[/mm] < [mm]\delta[/mm] |x + [mm]x_0|[/mm] < [mm]\delta (\delta[/mm] +
> > [mm]2|x_0|)[/mm]
> >
> >
> >
> > Ja, sehr schön soweit, nun soll das Gezuppel [mm]<\varepsilon[/mm]
> > sein, löse also mal
> > [mm]\delta\cdot{}(\delta+2|x_0|)<\varepsilon[/mm] nach [mm]\delta[/mm] auf,
> > dann kannst du es angeben.
>
> ok, dann würde ich [mm]\delta_{1,2}[/mm] = [mm]-|x_0| \pm \wurzel{x_0^2 + \epsilon}[/mm]
> bekommen
Da [mm] $\delta>0$ [/mm] ist, kommt nur [mm] $\sqrt{\varepsilon+x_0^2}-|x_0|$ [/mm] in Frage
>
>
> > Ein wenig eleganter ist es, [mm]\red{|x-x_0|<1}[/mm] anzunehmen,
> > dann ist [mm]\blue{|x|<|x_0|+1}[/mm] (wieso?) .....
>
> Ok, sehr schön, das habe ich schon oft angetroffen und
> genau da klemmt es bei mir.
>
> |x - [mm]x_0|[/mm] < 1 Heisst das, dass du einfach [mm]\delta[/mm] = 1
> wählst, oder wie darf ich das verstehen?
Ja, das schlägt sich ja nachher in der Wahl mit dem Minimum nieder ...
> Falls ja, wieso?
Weil die weitere Abschätzung dann so schön einfach wird
Bedenke, dass wenn [mm] $|x-x_0|<\min\left\{1,\frac{\varepsilon}{2|x_0|+1}\right\}$ [/mm] ist, so ist [mm] $|x-x_0|<1$ [/mm] und [mm] $|x-x_0|<\frac{\varepsilon}{2|x_0|+1}$
[/mm]
> Die Folgerung daraus [mm](|x|<|x_0|+1),[/mm] wenn ich dann das
> vorherige verstanden habe, ist dann wieder klar
Ok, gut!
>
>
> >
> [mm]|x^2-x_0^2|=\red{|x-x_0|}\cdot{}|x+x_0|\red{<1}\cdot{}|x+x_0|\underbrace{\le}_{\triangle-Ungl.} \blue{|x|}+|x_0|\blue{<|x_0|+1}+|x_0|=2|x_0|+1[/mm]
>
> Wenn das vorherige gilt ist mir auch dieser Schritt dann
> klar: [mm]|x^2-x_0^2|[/mm] < [mm]2|x_0|+1[/mm]
>
>
> > Also bist du mit
> > [mm]\delta=\min\left\{1,\frac{\varepsilon}{2|x_0|+1}\right\}[/mm]
> > auf der sicheren Seite ...
> Dieser Schritt ist mir leider wieder nicht klar ^^
> Irgendwie ist da bei mir einfach noch ein Knopf drin, denn
> wieso ist dann [mm]\delta[/mm] das Minimum aus diesem Ausdruck?
Naja, damit die ganze Abschätzung klappt ...
Nimm mal an, das Minimum sei [mm] $\delta=\frac{\varepsilon}{2|x_0|+1}$
[/mm]
Dann ist für [mm] $|x-x_0|<\delta$ [/mm] doch insbesondere auch [mm] $|x-x_0|<1$ [/mm] und damit
[mm] $|x^2-x_0^2|=|x-x_0|\cdot{}|x+x_0|<\frac{\varepsilon}{2|x_0|+1}\cdot{}|x+x_0|\le\frac{\varepsilon}{2|x_0|+1}\cdot{}(|x|+|x_0|)$ [/mm] nach Dreiecksungl.
[mm] $<\frac{\varepsilon}{2|x_0|+1}\cdot{}(2|x_0|+1)$ [/mm] nach obiger Anmerkung
[mm] $=\varepsilon$
[/mm]
Wie sieht's aus, wenn das Minimum [mm] $\delta=1$ [/mm] ist?
Genauso, schreibe dir die Abschätzung in diesem Falle nochmal langsam hin
Daher wählen wir [mm] $\delta$ [/mm] als das Minimum der beiden.
>
>
> lg
> marco
>
>
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:37 Mi 19.08.2009 | | Autor: | Chuny |
ok, langsam verstehe ich es :)
Die Wahl von [mm] \delta [/mm] = [mm] \bruch{\epsilon}{2|x_0|+1} [/mm] ist mir jetzt klar!
Jetzt noch [mm] \delta [/mm] = 1 verstehen und dann sollte ich es haben ^^
[mm] |x^2 [/mm] - [mm] x_0^2| [/mm] = |x - [mm] x_0| [/mm] |x + [mm] x_0| [/mm] < 1 |x + [mm] x_0| \le (\Delta [/mm] - Ungleichung) |x| + [mm] |x_0| [/mm] < [mm] |x_0| [/mm] + 1 + [mm] |x_0| [/mm] = [mm] 2|x_0| [/mm] + 1
Mache ich bei dieser Abschätzung was falsch? Bei der vorherigen Abschätzung bekam ich ja das [mm] \epsilon [/mm] rein und so hat es für mich auch Sinn gemacht, aber jetzt sehe ich es leider nicht gerade, sorry!!
lg marco
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Hallo nochmal,
boah, mein Internet spinnt gerade, 4. Anlauf für ne Antwort:
> ok, langsam verstehe ich es :)
> Die Wahl von [mm]\delta[/mm] = [mm]\bruch{\epsilon}{2|x_0|+1}[/mm] ist mir
> jetzt klar!
Freut mich zu hören
>
> Jetzt noch [mm]\delta[/mm] = 1 verstehen und dann sollte ich es
> haben ^^
>
> [mm]|x^2[/mm] - [mm]x_0^2|[/mm] = |x - [mm]x_0|[/mm] |x + [mm]x_0|[/mm] < 1 |x + [mm]x_0| \le (\Delta[/mm]
> - Ungleichung) |x| + [mm]|x_0|[/mm] < [mm]|x_0|[/mm] + 1 + [mm]|x_0|[/mm] = [mm]2|x_0|[/mm] +
> 1
> Mache ich bei dieser Abschätzung was falsch? Bei der
> vorherigen Abschätzung bekam ich ja das [mm]\epsilon[/mm] rein und
> so hat es für mich auch Sinn gemacht, aber jetzt sehe ich
> es leider nicht gerade, sorry!!
Ich hatte oben versucht klarzumachen, dass mit der Wahl [mm] $\delta=\min\{...,...\}$ [/mm] mit [mm] $|x-x_0|<\delta$ [/mm] dann auch insbesondere [mm] $|x-x_0|$ [/mm] kleiner als beide Werte ist.
Für eine Abschätzung von [mm] $|x-x_0|$ [/mm] benute, dass [mm] $|x-x_0|<\frac{\varepsilon}{...}$ [/mm] und für die Abschätzung von [mm] $|x+x_0|$ [/mm] verwende die Dreiecksungleichung und dass [mm] $|x-x_0|<1$ [/mm] ist (und insbesondere, was damit für $|x|$ folgt).
Das ist wortgetreu die Abschätzung wie im "anderen Fall"
Die tun sich ja nix, da [mm] $|x-x_0|$ [/mm] kleiner als beide Werte ist ...
Schaue dir die Abschätzung nochmal ganz genau an oder besser schreibe sie dir mal langsam hin und schaue in jedem Schritt, was genau benutzt wird ...
>
> lg marco
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:47 Mi 19.08.2009 | | Autor: | Chuny |
Danke übrigens für deine super Antworten, leider bin ich manchmal etwas schwer von Begriff
> Ich hatte oben versucht klarzumachen, dass mit der Wahl
> [mm]\delta=\min\{...,...\}[/mm] mit [mm]|x-x_0|<\delta[/mm] dann auch
> insbesondere [mm]|x-x_0|[/mm] kleiner als beide Werte ist.
>
> Für eine Abschätzung von [mm]|x-x_0|[/mm] benute, dass
> [mm]|x-x_0|<\frac{\varepsilon}{...}[/mm] und für die Abschätzung
> von [mm]|x+x_0|[/mm] verwende die Dreiecksungleichung und dass
> [mm]|x-x_0|<1[/mm] ist (und insbesondere, was damit für [mm]|x|[/mm]
> folgt).
>
> Das ist wortgetreu die Abschätzung wie im "anderen Fall"
>
> Die tun sich ja nix, da [mm]|x-x_0|[/mm] kleiner als beide Werte ist
> ...
>
> Schaue dir die Abschätzung nochmal ganz genau an oder
> besser schreibe sie dir mal langsam hin und schaue in jedem
> Schritt, was genau benutzt wird ...
Also, ich habe mir alles nochmals hin gezeichnet.
[mm] |x^2-x_0^2|......< \bruch{\epsilon}{2|x_0|+1}(|x| [/mm] + [mm] |x_0|) [/mm] < [mm] \bruch{\epsilon}{2|x_0|+1}(2 |x_0| [/mm] + 1) bei diesem letzten Schritt wurde für die Abschätzung die Anahme [mm] |x-x_0| [/mm] < 1 verwendet!
Deshalb [mm] \delta [/mm] = min(.....)?
Es werden sozusagen beide verwendet, denn wenn nun |x - [mm] x_0| [/mm] kleiner als delta ist, dann ist |x - [mm] x_0| [/mm] auch kleiner als beide Werte und dies habe ich bei der Abschätzung (bei deiner Abschätzung ) ja verwendet. Habe ich das irgendwie richtig interpretiert?
Falls ja, dann sollte ich es jetzt verstanden haben ^^
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:37 Mi 19.08.2009 | | Autor: | Chuny |
Super, yeaah ^^
Dann danke nochmals, hat Spass gemacht das ganze mit dir zu erarbeiten
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![[flowers]](/images/smileys/flowers.gif "[flowers]"){kind=small}
