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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:36 Mi 02.11.2005 | | Autor: | Franzie |
Hi! ich soll mit der epsilontechnik den grenzwert folgender zahlenfolge bestimmen:
[mm] a_{n}=(x^{3}+5x)/(3x^{3}-6)
[/mm]
der grenzwert ist 1/3, so viel ist klar. ich muss jetzt doch sicher irgendwie die folge abschätzen, um das mit der epsilontechnik nachzuweisen, ich weiß nur nicht wie.
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N'abend,
einfach im Zähler-und Nennerterm [mm] x^{3} [/mm] ausklammern. Dann entstehen zwei Nullfolgen und als Grenzwert 1/3.
VG mathmetzsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:20 Mi 02.11.2005 | | Autor: | Franzie |
so weit war ich auch schon. das hat aber nix mit der epsilontechnik zu tun. ich muss doch zeigen | [mm] a_{n} [/mm] - grenzwert a | < epsilon
wie das?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:57 Mi 02.11.2005 | | Autor: | taura |
Hallo Franzie!
Die Definition von Konvergenz lautet ja: [mm] $\forall \varepsilon [/mm] > 0: [mm] \exists n_0 \in \IN: \forall [/mm] n > [mm] n_0: |a_n [/mm] - a|< [mm] \varepsilon$ [/mm] wobei a der Grenzwert ist.
Diese Definition musst du jetzt "abarbeiten", das geht folgendermaßen:
Ein [mm] $\forall$-Quantor [/mm] wird im Beweis immer "übersetzt" mit "Sei ... beliebig gegeben", ein [mm] $\exists$-Quantor [/mm] mit "Wähle ..."
Heißt hier also:
Sei [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ bel. gegeben.
Wähle [mm] $n_0=...$
[/mm]
Dann gilt für beliebiges $n > [mm] n_0$:
[/mm]
[mm] $|a_n-a|=\ [/mm] ...\ <\ ...\ [mm] =\varepsilon$
[/mm]
Jetzt musst du dir also überlegen, wie dein [mm] $n_0$ [/mm] aussehen muss, damit diese Ungleichung immer erfüllt ist. Dafür musst du es in Abhängigkeit von [mm] $\varepsilon$ [/mm] ausdrücken, so dass du mit Hilfe der Vorraussetzung, dass [mm] $n>n_0$ [/mm] ist, die Ungleichung zeigen kannst.
Versuch mal ob dir das weiterhilft!
Gruß taura
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:40 Do 03.11.2005 | | Autor: | Franzie |
Hallöchen. also die sache mit der definition des grenzwertes ist mir durchaus bewusst, auch dass ich jetzt entsprechend nach n umstellen muss. dennoch weiß ich immer noch nicht, wie ich jetzt anfange die ungleichung umzuformen, dass sie für ein beliebiges epsilon gilt:
wie zeige ich denn nun, dass [mm] (n^{3}+5n)/(3n^{3}-6) [/mm] den grenzwert 1/3 hat?
ich muss doch jetzt irgendwie den betrag meiner vorgegebenen gleichung minus 1/3 und das kleiner epsilon setzen. aber wie gehts jetzt weiter?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:35 Do 03.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Franzie!
Wenn du es wirklich explizit mit der Epsilontechnik machen sollst, dann wird es recht fies mit der Abschätzerei. Aber da ich Masochist bin (wie man schon daran sieht, dass ich hier nachmittags antworte, wenn man fünf Minuten auf den Seitenaufruf warten muss), habe ich es mal für dich erledigt  (wundere dich zum Teil nicht über die Abschätzungen, die habe ich irgendwie gemacht und es gibt auch genug andere Wege):
Für $n [mm] \ge [/mm] 2$ gilt:
[mm] $\left| \frac{n^3+5n}{3n^3-6} - \frac{1}{3} \right| [/mm] = [mm] \left| \frac{n^3+5n-n^3+2}{3n^3-6} \right| [/mm] = [mm] \frac{5n+2}{3n^3-6} \le \frac{6n}{3n^3-6} [/mm] = [mm] \frac{2n}{n^3-2} \le \frac{2n}{n^2} [/mm] = [mm] \frac{2}{n}$
[/mm]
Und nun gilt:
[mm] $\frac{2}{n} [/mm] < [mm] \varepsilon \quad \Leftrightarrow \quad [/mm] n> [mm] \frac{2}{\varepsilon}$.
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:54 Do 03.11.2005 | | Autor: | Franzie |
klasse, ich danke dir. bis zu der komischen abschätzung bin ich zumindest genauso gokommen wie du. das ist doch schon mal was. ich dachte schon, ich kann gar nichts. vielleicht ist das im ersten semester normal.....
kannst du mir jetzt eventuell noch verraten, wie ich das eigentlich anstelle mit dem abschätzen, denn so richtig bin ich da noch nicht dahinter gestiegen, wie ich das machen muss. wonach guck ich denn da zuerst?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:19 Do 03.11.2005 | | Autor: | Franzie |
Wo ist da jetzt der fehler?
du hast doch gesagt, zähler vergrößern und nenner verkleinern. aber eigentlich hast du doch den nenner vergrößert, oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:27 Do 03.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Franzie!
Ja, daher habe ich es ja jetzt auch verbessert.
Liebe Grüße
Stefan
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