Erbitte Tips für AL1 Übungsblatt 3 < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:18 Do 13.05.2004 | | Autor: | baddi |
Hallo zusammen bin seit 2 Uhr zimlich erfolglos am lösen eines Übungsblatts.
Ich will die Aufgaben jetzt hier einmal einfügen und sagen was ich bisher so versucht habe.
Wäre nett, wenn Ihr mich auf den Weg schupsen könntet.
1. Sei n-elementige Menge M.
Z.z. (i) Anzahl aller Teilmengen von M ist [mm]2^n[/mm].
Z.z. (ii) Anzahl aller k-elementigen Teilmengen von M ist [mm]{n \choose k}[/mm].
Zu (i): Das ist ja genau die Potenzmenge.
so sagt http://members.aol.com/SteffMath/Teilmengen.html sehr gut beschrieben.
Dort ist sogar genau meine Aufgabe gelöst. Allerdings wenn ich es selber mache kriege ich was falsches raus.
Induktionsanfang:
n=0 <=> P(M) = [mm]\{\phi\}[/mm] = [mm]2^n[/mm] = 1
Induktionsschritt:
n -> n+1
Kommt ein neues Element hinzu (n+1) so lässt sich dieses mit jedem vorhandenen (n) Kombinieren und bleibt zusätzlich selbst stehen.
D.h. es kommen n*2+1 neue Kombinationen hinzu.
Weiter weis ich jetzt leider nicht mehr.
Ich schick das jetzt schon mal so ab und mache mich gleich ans abtippen der nächsten Aufgaben.
P.S.: Das mit dem anklicken der leeren Menge funktioniert bei mir nicht.
Ich verwende IE6.0 SP1. JavaScript aktiv.
Ausserdem bekomme ich Fehlermeldungen das { und } paarweise vorkommen müssten, was ich doch eigentlich gemacht habe. Versteh ich noch nicht so ganz.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:46 Do 13.05.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sebastian,
> Hallo zusammen bin seit 2 Uhr zimlich erfolglos am lösen eines
> Übungsblatts.
> Ich will die Aufgaben jetzt hier einmal einfügen und sagen was ich
> bisher so versucht habe.
> Wäre nett, wenn Ihr mich auf den Weg schupsen könntet.
Okay 
> 1. Sei n-elementige Menge M.
> Z.z. (i) Anzahl aller Teilmengen von M ist .
> Z.z. (ii) Anzahl aller k-elementigen Teilmengen von M ist [mm] $2^n$...
[/mm]
> Zu (i): Das ist ja genau die Potenzmenge.
> so sagt http://members.aol.com/SteffMath/Teilmengen.html sehr gut
> beschrieben.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Dort ist sogar genau meine Aufgabe gelöst. Allerdings wenn ich es
> selber mache kriege ich was falsches raus.
> Induktionsanfang:
> n=0 <=> P(M) = [mm] $\emptyset$...
[/mm]
> Induktionsschritt:
> n -> n+1
> Kommt ein neues Element hinzu (n+1) so lässt sich dieses mit jedem
> vorhandenen (n) Kombinieren und bleibt zusätzlich selbst stehen.
Der Gedanke ist ja gar nicht einmal so verkehrt
Nur mußt du noch einmal genau darauf achten, um was es sich handelt. Es sind ja Teimengen deiner n-elementigen Menge, und in diese Teilmengen nimmst du ein neues Element auf. Aber die "alten" Teilmengen darfst du ja nicht einfach außer Acht lassen (es sind ja auch Teilmengen deiner neuen n+1 elementigen Menge). Hört sich wahrscheinlich irgendwie verwirrend an, aber du siehst es nachher nochmal an einem Beispiel, was ich meine...
Wenn deine Ausgangsmenge (nennen wir sie mal $X$) n Elemente hatte (mit einem festen $n [mm] \in$ [/mm] ($ [mm] \IN \cup \left\{0 \right\} [/mm] $)), so hatte diese ja nach Induktionsvoraussetzung
(I) [mm] $2^n$ [/mm] Teilmengen.
(D.h. [mm] #$P(X)=2^n$; [/mm] $P(X)$ ist die Potenzmenge von $X$, # bedeutet Anzahl).
Jede Teilmenge von $X$ ist auch Teilmenge deiner jetzigen n+1-elementigen Menge $Y$ [mm] ($Y:=X\cup{\left\{ r \right\}}$ [/mm] mit $r [mm] \notin [/mm] X$).
Und du erhältst weitere, 'neue' Teilmengen deiner Menge $Y$, in dem du in jede dieser [mm] $2^n$ [/mm] Teilmengen von $X$ das neue Element aufnimmst, also hat $Y$
(II) [mm] $2^n$ [/mm] Teilmengen mehr als $X$.
D.h. deine Menge $Y$ mit den $n+1$ Elementen hat wegen (I) und (II):
[mm] $2^{n} [/mm] + [mm] 2^{n}=2*2^n=2^{n+1}$ [/mm] Teilmengen.
Ich zeige es dir nochmal anhand eines Beispiels:
Betrachte die Menge:
[mm] $M:=\left\{ {1,2} \right\}$.
[/mm]
Diese hat folgende Potenzmenge:
[mm] P(M)=\left\{\emptyset, \left\{ {1} \right\},\left\{ {2} \right\},\left\{ {1,2} \right\} \right\}} [/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
.
Jetzt holen wir die Zahl 3 zu $M$ hinzu und nennen die neue Menge $N$:
$N:=\left\{1,2,3 \right\} \right\}$.
Wie sieht denn nun die Potenzmenge von N aus?
[mm]P(N)=\left\{\emptyset, \left\{1 \right\},\left\{2 \right\},\left\{1,2\right\}, \left\{3 \right\}, \left\{1,3\right\},\left\{2,3\right\},\left\{1,2,3\right\}\right\}[/mm].
Was ist neues dazugekommen (wenn du $P(N)$ mit $P(M)$ vergleichst)?
Na, das hier:
[mm] \emptyset \cup \left\{3\right\},\left\{1\right\} \cup \left\{3\right\}, \left\{2\right\} \cup \left\{3\right\}, \left\{1,2\right\} \cup \left\{3\right\} [/mm].
Das meinte ich, als ich geschrieben hab, dass das neue Element in jede bisherige Teilmenge aufgenommen wird.
Viele Grüße
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:00 Do 13.05.2004 | | Autor: | baddi |
Super Danke, werde es noch ein paar mal lesen .. ist schon fast verinnerlicht.
Du hast einen Tippfehler hast zweimal {1,2} geschrieben ... eben die {2,3} unterschlagen :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:33 Do 13.05.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sebastian,
> Super Danke, werde es noch ein paar mal lesen .. ist schon fast
> verinnerlicht.
Ja, ich habe extra versucht, es mit Worten und einem Beispiel zu beschreiben. Ich dachte, dass sei hilfreicher, als wenn ich es nur formal durchkaue, oder? 
> Du hast einen Tippfehler hast zweimal {1,2} geschrieben ... eben die
> {2,3} unterschlagen :)
Ja, das stimmt(e) , ist aber mittlerweile, wie du hier
sehen kannst, korrigiert worden
Ich hatte diese Mitteilung eben nicht gesehen, sonst hätte die obige Mitteilung direkt hier platziert.
Hoffe, dass jetzt alles verständlich und fehlerfrei ist
Viele Grüße
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:41 Fr 14.05.2004 | | Autor: | baddi |
Hallo und guten Morgen.
Du sagst ungefähr:
Und du erhältst weitere, 'neue' Teilmengen deiner Menge , in dem du in jede dieser Teilmengen das neue Element aufnimmst, also hat
die neue Teilmengen [m]2^n [/m] mehr neue Elemente.
Aber ich finde du unterschlägst dabei das neue Element ?
Es kommen ja nicht nur alle alten Elemente (durch hinzufügen des neuen) noch einmal vor, sondern das neue Element selbst auch noch.
D.h. es müssten jetzt [m]2^n + 1 [/m] Elemente mehr sein als zuvor.
Ich weis zwar das es falsch sein muss , aber ich komme zu keinem anderen Schluss.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:09 Fr 14.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo baddi,
> Hallo und guten Morgen.
> Du sagst ungefähr:
> Und du erhältst weitere, 'neue' Teilmengen deiner Menge ,
> in dem du in jede dieser Teilmengen das neue Element
> aufnimmst, also hat
> die neue Teilmengen [m]2^n[/m] mehr neue Elemente.
>
> Aber ich finde du unterschlägst dabei das neue Element ?
> Es kommen ja nicht nur alle alten Elemente (durch
> hinzufügen des neuen) noch einmal vor, sondern das neue
> Element selbst auch noch.
> D.h. es müssten jetzt [m]2^n + 1[/m] Elemente mehr sein als
> zuvor.
Marcel hat es ja schon an einem Beispiel veranschaulicht, ich versuche, es noch deutlicher zu machen.
Und zwar greife ich den Induktionsschritt [mm] $2\to [/mm] 3$, also [mm] $N_2\to N_3$ [/mm] heraus, also die Hinzunahme des dritten Elements und die Neubildung der Potenzmenge.
Die Potenzmenge von [mm] $N_2$ [/mm] ist ja: [mm] $\cal{P}\rm(N_2)=\{\{\},\{1\},\{2\},\{1,2\}\}$, [/mm] besteht also aus vier Elementen (also Teilmengen, da ja die Elemente der Potenzmenge Teilmengen sind).
Nun nehmen wir das dritte Element, also die [mm] $\blue{3}$ [/mm] hinzu.
Wir erhalten so vier Teilmengen, die die 3 enthalten: [mm] $\{\blue{3}\},\{1,\blue{3}\},\{2,\blue{3}\},\{1,2,\blue{3}\}$ [/mm] (das sind die "alten" Elemente Elemente von [mm] $\cal{P}\rm(N_2)$, [/mm] erweitert um die [mm] $\blue{3}$)
[/mm]
und vier Teilmengen, die die 3 nicht enthalten: [mm] $\{\{\},\{1\},\{2\},\{1,2\}\}$ [/mm] (das sind genau die "alten" Elemente von [mm] $\cal{P}\rm(N_2)$)
[/mm]
Durch die Hinzunahme eines Elementes verdoppelt sich also die Anzahl der Teilmengen, deswegen:
[mm] $|\cal{P}\rm(N_2)|=2^2$
[/mm]
[mm] $|\cal{P}\rm(N_3)|=\cal{P}\rm(N_2)*2=2^3$
[/mm]
[mm] $\vdots$
[/mm]
[mm] $|\cal{P}\rm(N_n)|=2^n$
[/mm]
Na, ist es jetzt ein bisschen klarer geworder?
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:05 Do 13.05.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sebastian,
ich habe den Fehler mit der Potenzmenge von $N$ korrigiert. Ich hatte mich nur vertippt, hatte es aber schon gesehen. Trotzdem danke für den Hinweis
Viele Grüße
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:58 Do 13.05.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Sebastian!
> Gebacken krieg ich folgendes aber nicht. Vielleicht ne
> Anregung übrig ?
> [m]\bruch {a}{b+c} + \bruch{b}{a+c}+ \bruch{c}{a+b} \ge \bruch{3}{2}[/m]
Also, es gibt für diese Ungleichung extrem viele Beweismöglichkeiten.
Ein sehr einsichtiger Beweis geht zum Beispiel so:
[mm] 2\cdot \left( \bruch {a}{b+c} + \bruch{b}{a+c}+ \bruch{c}{a+b} \right)[/mm]
[mm]= 2 \cdot \left( \bruch {a+b+c}{b+c} + \bruch{a+b+c}{a+c}+ \bruch{a+b+c}{a+b} - 3\right) [/mm]
[mm]= 2(a + b + c) \left( \frac{1}{a+c} + \frac{1}{a+b} + \frac{1}{a+b}\right) - 6[/mm]
[mm]= [(a+b) + (b+c) + (c+a)] \left( \frac{1}{a+c} + \frac{1}{a+b} + \frac{1}{a+b}\right) - 6[/mm]
[mm]= \frac{a+b}{a+c} + \frac{a+b}{b+c} + \frac{b+c}{a+b} + \frac{b+c}{a+c} + \frac{a+c}{a+b} + \frac{a+c}{b+c} - 3[/mm]
[mm] = \underbrace{\left(\frac{a+b}{a+c} + \frac{a+c}{a+b}\right)}_{\ge 2} + \underbrace{\left( \frac{a+b}{b+c} + \frac{b+c}{a+b}\right)}_{\ge 2} + \underbrace{\left( \frac{b+c}{a+c} + \frac{a+c}{b+c} \right)}_{\ge 2} - 3[/mm]
[mm]\ge 3[/mm].
Hmmh, jetzt habe ich ja schon alles vorgemacht. Dumm!
Dann machst du es auch noch einmal, mit einem anderen der über tausend
Beweise für diese Gleichung:
Tipp:
Benutze die oben hergeleitete Beziehung:
[mm]\bruch {a}{b+c} + \bruch{b}{a+c}+ \bruch{c}{a+b} = \frac{1}{2} \cdot [(a+b) + (b+c) + (c+a)] \left( \frac{1}{a+c} + \frac{1}{a+b} + \frac{1}{a+b}\right) - 3[/mm]
und wende zweimal die Ungleichung zwischen geometrischem und arithmetischem Mittel an:
[mm]u + v + w \ge 3 \sqrt[3]{uvw}[/mm].
Hier eine weitere Beweismöglichkeit:
Verwende die Ungleichung zwischen arithmetischem und harmonischem Mittel!
Naja, so könnte ich jetzt weiter fortfahren.
Aber ein ausformulierter Beweis plus zwei Beweisansätze sollten dir reichen, oder?
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:15 Do 13.05.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo nochmal,
aber irgendwie müssen die Voraussetzungen an $a,b,c$ anders gegeben sein:
Aus $a,b,c [mm] \in \IR$ [/mm] folgt i.A. nicht:
[mm] $\bruch{a}{b}+\bruch{b}{a} \ge [/mm] 2$.
Denn $a:=1,b:=-1$ liefert ja:
[mm] $\bruch{a}{b}+\bruch{b}{a}=\bruch{1}{-1}+\bruch{-1}{1}=-1-1=-2$.
[/mm]
Mal abgesehen davon, dass du für $a=0$ oder $b=0$ durch 0 teilen würdest
Vielleicht steht ja $a,b,c > 0$ in deiner Aufgabe?
Und explizit an Sebastian gerichtet:
Zu deinem Beweis genügte das Folgende:
Es gilt [mm] $(a-b)^2 \ge [/mm] 0$. Daraus folgt:
[mm] (a-b)^2 \ge 0
\Rightarrow
a^2-2ab+b^2 \ge 0
\Rightarrow
a^2+b^2 \ge 2ab [/mm].
Weil nun aber $a*b > 0$ ist, folgt weiter:
[mm]
\bruch{a^2}{ab}+\bruch{b^2}{ab} \ge 2
\Rightarrow
[/mm]
$ [mm] \bruch{a}{b}+\bruch{b}{a} \ge [/mm] 2 $.
Ich wollte dich nur nochmal darauf hinweisen, dass die Folgerungen in dieser Richtung deine Aussage beweisen.
Mit der Voraussetzung $a,b,c > 0$ kannst du aber natürlich alles auch äquivalent umformen. Nur ist das gar nicht notwendig, höchstens, um den Anfang [mm] ($(a-b)^2 \ge [/mm] 0$) zu finden, aus der man dann die eigentliche Aussage herleitet.
Viele Grüße
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:21 Do 13.05.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Marcel,
ja, bei diesen Ungleichungen wird immer vorausgesetzt, dass alle Parameter größer als $0$ sind. Nur unter dieser Voraussetzung gilt natürlich auch mein Beweis.
Ich muss jetzt dringend nach Hause. Könntest du mir einen Gefallen tun und die noch ausstehende Antwort zur gleichmäßigen Konvergenz in diesem Forum für mich erledigen? Das wäre sehr lieb! Danke!
Liebe Grüße
Stefan
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