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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:47 So 29.03.2009 | | Autor: | axi0m |
| Aufgabe | Seien [mm] (\Omega,P) [/mm] ein diskretes Zufallexperiment und A,B,C Ereignisse derart, dass 0 < P(B [mm] \cap [/mm] C)<1. Zeigen oder wiederlegen Sie:
a) P(A [mm] \cap [/mm] B|C)=P(A|C)P(B|C) [mm] \Leftrightarrow [/mm] P(A|C)=P(A|B [mm] \cap [/mm] C)
b) P(A|C)=P(A|B [mm] \cap [/mm] C) [mm] \Rightarrow [/mm] A,B sind stochastisch unabhängig
c) A,B sind stochastisch unabhängig [mm] \Rightarrow [/mm] P(A|C)=P(A|B [mm] \cap [/mm] C) |
Tag zusammen.
Ich lerne für eine Klausur und würde mich über feedback zu meinen Übungsbemühungen freuen.
Meine Ansätze/Lösungen:
a)
P(A [mm] \cap [/mm] B|C) &= P(A|C) P(B|C)
[mm] \Leftrightarrow \frac{P(A \cap B \cap C)}{P(C)} [/mm] = P(A|C) [mm] \frac{P(B \cap C)}{P(C)}
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow \frac{P(A \cap B \cap C)}{P(B \cap C)} [/mm] = P(A|C)
[mm] \Leftrightarrow [/mm] P(A|B [mm] \cap [/mm] C) = P(A|C) [mm] \square
[/mm]
b)
Wir widerlegen durch Angabe eines Gegenbeispiels. Als Zufallsexperiment wählen wir das einmalige Werfen eines fairen Würfels. Es sei also [mm] \Omega [/mm] = [mm] \{1, \cdots, 6\} [/mm] laplace-verteilt. Wir betrachten nun die Ereignisse:
A = [mm] \{2,4,6\}, [/mm] B = [mm] \{1,3,5\}, [/mm] C = [mm] \{3\}
[/mm]
Damit gilt P(A|C) = 0 = P(A|B [mm] \cap [/mm] C)
Wegen P(A [mm] \cap [/mm] B) = 0 [mm] \neq [/mm] P(A)P(B) = [mm] \frac{1}{4} [/mm] sind A und B aber stochastisch abhängig und die Folgerung gilt nicht.
c)
Wir wiederlegen wieder durch Angabe eines Gegenbeispiels. Wir definieren folgende Ereignisse:
A = [mm] \{2,4,6\}, [/mm] B = [mm] \{3,6\}, [/mm] C = [mm] \{1,3,4,5\}
[/mm]
A und B sind hierbei stochastisch unabhängig, da [mm] P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{1}{2}=P(A), [/mm] aber [mm] P(A|C)=\frac{P(A\cap C)}{P(C)}=\frac{1}{4}\neq [/mm] 0 = P(A | B [mm] \cap [/mm] C)
Sieht das gut aus?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:24 Mo 30.03.2009 | | Autor: | vivo |
Hallo,
sehe zumindest nichts was nicht passen würde.
gruß
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