Ergebnismenge Lotto < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:54 Mi 22.08.2007 | | Autor: | Kallo |
| Aufgabe | | Ergebnismenge Ω für Lotto 6 aus 49 |
Hallo!
Erste Hausaufgabe zum Thema Stochastik, bin direkt überfordert. Kann mir jemand helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:21 Mi 22.08.2007 | | Autor: | Kallo |
Hallo!
Danke fürn die nette Begrüßung. Also du hast jetzt einfach alle Möglichkeiten hochgerechnet. D.h. (1,2,3,4,5,6 ; 1,2,3,4,5,7 usw usw.)? Aber mit welcher Rechnung komm ich dann auf das Ergebnis?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:28 Mi 22.08.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kallo!
Das hat Analytiker doch ausgerechnet mit dem ![[]](/images/popup.gif) Binomialkoeffizienten [mm] $\vektor{49\\6}$ [/mm] (= "49 über 6"), was sich wie folgt ermittelt:
[mm] $\vektor{49\\6} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{49*48*47*46*45*44}{1*2*3*4*5*6} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{49!}{6!*(49-6)!} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{49!}{6!*43!} [/mm] \ = \ 13983816$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:39 Mi 22.08.2007 | | Autor: | Kallo |
Davon hab ich noch nie etwas gehört ;). Ist mir alles noch ein bisschen zu kompliziert. Also bisher haben wir im Unterricht nur verschiedene Würfelexperimente gemacht, d.h. Welche Augenzahl kann bei einem Wurf erscheinen und dann eben als Lösung 1,2,3,4,5,6. Wir stecken also noch vollkommen am Anfang der Stochastik. Könnte vlt. jemand das Ergebnis etwas einfacher formulieren? Wäre Super!
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Hallo Kallo,
Die ursprüngliche Aufgabenstellung bestand ja darin die Ergebnismenge [mm]\Omega[/mm] anzugeben. Betrachte dazu das brandneue Lottospiel 2 aus 4, das nach denselben Regeln gespielt wird wie 6 aus 49. Dann wäre hier die Ergebnismenge:
[mm]\Omega = \{\{1,2\},\{1,3\},\{1,4\},\{2,3\},\{2,4\},\{3,4\}\}[/mm]
Dabei bedeutet z.B. ein mögliches Ergebnis wie [mm]\{3,4\}[/mm], daß hier die Reihenfolge bei der Ziehung egal ist, da [mm]\{3,4\} = \{4,3\}[/mm] gilt, so daß es sich hier um eine Menge handelt.
Angenommen die Reihenfolge wäre dir hier doch wichtig, so wären die Ergebnisse (3,4) und (4,3) unterschiedlich. Man sieht, daß sich dann in diesem Fall die Größe der Ergebnismenge verdoppeln würde, da 6*2 = 12. Wäre die Ziehung hingegen 3 aus 4, so müßte man da sicherlich mehr Fälle unterscheiden:
(1,2,3) (1,3,2)
(2,1,3) (3,1,2)
(2,3,1) (3,2,1)
Hier wären es schon nicht 2 unterschiedliche Fälle pro Ziehung sondern 2*3 = 1*2*3 = 6. Da für uns aber die Reihenfolge, in der gezogen wird, wie gesagt, nicht wichtig ist, müssen wir für jede mögliche Ziehung diese möglichen Reihenfolgen abziehen. Im obigen Fall müssen wir also jede mögliche Ziehung durch 2 teilen:
2:2 + 2:2 + 2:2 + 2:2 + 2:2 + 2:2 = 6
Und jetzt wo wir eine Lösung für dieses "Reihenfolgeproblem" beim Abzählen gefunden haben, können wir bei der Bestimmung der Anzahl der Elemente in [mm]\Omega[/mm] (man schreibt, wenn man so etwas machen will [mm]\left|\Omega\right|[/mm]) wieder so tun als sei uns die Reihenfolge wichtig, weil sich dadurch das Abzählen erheblich vereinfacht. Dann wissen wir nämlich, daß wir am Anfang genau 4 Möglichkeit haben, um unser erstes Kreuzchen für 1,2,3 oder 4 zu setzen. Und danach haben wir noch 3 Möglichkeiten für unser 2tes Kreuzchen. Das wären dann also ingesamt 4*3 = 12 Möglichkeiten. Und da der Mensch beim Ankreuzen unweigerlich nach einer bestimmten Reihenfolge ankreuzt, muß man dies beim Abzählen berücksichtigen (siehe oben). Es gilt also:
[mm]\textcolor{red}{\binom{4}{2}}\mathrel{\textcolor{red}{\textbf{:=}}}\frac{4\cdot{3}}{1\cdot{2}} = \frac{4\cdot{3}\cdot{2}\cdot{1}}{1\cdot{2}\cdot{2}\cdot{1}} = \frac{4!}{2!(4-2)!}[/mm]
Das Rote soll halt nur andeuten, daß die Mathematiker diese Schreibweise für den Bruch rechts vereinbart haben. Wenn du willst, kannst du also deine eigene Schreibweise verwenden:
[mm]\operatorname{Kallo}(n,k) := \frac{n!}{k!(n-k)!}[/mm]
Viele Grüße
Karl
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:18 Mi 22.08.2007 | | Autor: | Kallo |
Ist ja schon fast peinlich, aber so recht verstehe ich das Rechenprinzip immer noch nicht. Also ich multipliziere alle Zahlen von 1 bis 49 und teile sie durch eine Multiplikation der Zahlen 1 bis 6? Ich glaube das was ich da annehme ist falsch, oder? Und was bedeuten die Ausrufezeichen hinter den Zahlen?
Vielen Dank für eure Geduld.
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Hallo,
das ! bedeutet in der Mathematik "Fakultät", ist eigentleich nur eine mathematisch festgelegte Schreibweise, z. B.
4!=1*2*3*4*5
7!= sollte kein Problem sein
jetzt [mm] \vektor{49 \\ 6}=\bruch{49!}{6!*(49-6)!} [/mm] siehe auch den Post von Kallo, die 49 ensteht, weil Du ja insgesamt 49 Zahlen hast, aus den du 6 Zahlen ziehst, so entsteht die 6, noch ein neues Lotto: 4 aus 15, aber versuche erst das Lotto 2 aus 4 vollständig zu verstehen, mache dann eventuell 2 aus 5, taste Dich langsam ran, stelle alle Ereignisse auf, zähle sie und berechne dann [mm] \vektor{5 \\ 2},
[/mm]
wenn Ihr noch keine Fakultäten berechnet habt, sehe ich eigentlich keinen anderen Weg,
Steffi
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*smile* !!!
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