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| Aufgabe | | [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] N = [mm] N(\varepsilon) \forall n\in\IN [/mm] mit n [mm] \ge [/mm] N : [mm] |Z_{n} [/mm] - l | [mm] \ge \varepsilon [/mm] |
Hallo Leute :)
versuche gerade die oben stehende Bedingung zu verstehen...
Dies steht im Kapitel "Folgen und Reihen".
Jedoch verstehe ich nicht genau was dies macht :(
Gruß,
Steffi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists[/mm] N = [mm]N(\varepsilon) \forall n\in\IN[/mm]
> mit n [mm]\ge[/mm] N : [mm]|Z_{n}[/mm] - l | [mm]\ge \varepsilon[/mm]
> Hallo Leute
> :)
>
> versuche gerade die oben stehende Bedingung zu
> verstehen...
> Dies steht im Kapitel "Folgen und Reihen".
>
> Jedoch verstehe ich nicht genau was dies macht :(
Hallo,
wenn das WIRKLICH so da steht, kann ich mir auch keinen Reim drauf machen...
Aber falls da steht
"[mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists[/mm] N = [mm]N(\varepsilon) \forall n\in\IN[/mm] mit n [mm]\ge[/mm] N : [mm]|Z_{n}[/mm] - l | [mm]\le \varepsilon (kleiner!!!)[/mm]",
kann ich Dir das erklären.
Du hast hier eine Folge [mm] (Z_n), [/mm] und in dem, was Du schreibst, ist definiert, was man unter "I ist Grenzwert der Folge [mm] (Z_n)" [/mm] versteht.
Nämlich:
Zu jedem beliebigen [mm] \varepsilon [/mm] >0 (und sei es nöch so klein!) findet man einen "Schwellenindex" N, ab welchem alle Folgenglieder [mm] Z_n [/mm] dichter als [mm] \varepsilon [/mm] an I liegen.
Die Folgenglieder rückn also beliebig dicht an I heran.
Gruß v. Angela
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Hallo nochmal,
wiederhole gerade wieder dieses Thema und ich beiße mir die Zähne dran aus :(
Ich kriege schon Gänsehaut allein wenn das [mm] \varepsilon [/mm] sehe.
Ist da noch ein [mm] \delta [/mm] bin ich völlig raus :D
Kannst Du mir es bitte nochmal erklären?
Die Symbole sind mir alle klar.. Auch kann ich "lesen" was dort steht :D
"Für alle epsilon die größer sind als 0, [...]
Ich krieg es aber einfach nicht in meinen Kopf...
Zum Epsilon.. .
Wieso "für alle" ? Ich weiß, dass [mm] \varepsilon [/mm] eine unendlich kleine Zahl ist, jedoch immer größer Null. Das [mm] \varepsilon [/mm] wird für die X-Achse verwendet.
Das N = [mm] N(\varepsilon) [/mm] verwirrt mich auch :(
Gruß und tausend Mal sorry, dass ich es immer noch nicht kapiert habe :(
Steffi
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> Ich kriege schon Gänsehaut allein wenn das [mm]\varepsilon[/mm]
> sehe.
> Ist da noch ein [mm]\delta[/mm] bin ich völlig raus :D
>
> Kannst Du mir es bitte nochmal erklären?
Hallo,
es geht hier ja um den Grenzwert einer Folge.
Ist Dir denn richtig klar, was eine Folge ist?
Ist Dir anschaulich klar, was ein Grenzwert einer Folge ist?
Wärest Du in der Lage, eine Folge mit dem Grenzwert 5 graphisch darzustellen?
"Grenzwert" bedeutet ja, daß die Glieder der Folge [mm] (a_n) [/mm] beliebig dicht an an diesen Wert heranrücken.
Dieses "beliebig dichte Heranrücken" wird nun mit der Dir vorliegenden [mm] \varepsilon [/mm] - Bedingung definiert.
> Zum Epsilon.. .
> Wieso "für alle" ?
Weil diese Bedingung eben für alle [mm] \varepsilon [/mm] gelten muß im Falle der Konvergenz gegen einen Grenzwert. Für riesengroße und für winzigkleine. Für jedes. Wobei natürlich die winzigkleinen besonders interessant sind.
Ich gehe davon aus, daß Du inzwischen eine graphische Darstellung einer Folge, die sich einem Grenzwert (z.B. 5) nähert, vorliegen hast,
Was sagt die Bedingung? Du kannst Dir nun irgendein [mm] \varepsilon, [/mm] einen Abstand von 5, vorgeben, etwa [mm] \bruch{1}{4}. [/mm] Ab irgendeinem Folgenglied liegen alle darauffolgenden Glieder der Folge innerhalb dieses Abstandes zu 5, also zwischen 4.75 und 5.25. Das wievielte Folgenglied [mm] a_N [/mm] das sein wird, ab welchem kein weiteres mehr "ausschert", hängt natürlich vom gewählten [mm] \varepsilon [/mm] ab.
Wenn ich das [mm] \varepsilon [/mm] kleiner wähle, liegt das Folgenglied, ab welchem alle drauffolgenden nicht weiter als [mm] \varepsilon [/mm] von 5 entfernt sind, wahrscheinlich weiter hinten.
Diese Abhängigkeit der Schwelle N vom [mm] \varepsilon [/mm] drückt [mm] N(\varepsilon) [/mm] aus.
> unendlich kleine Zahl ist, jedoch immer größer Null. Das
> [mm]\varepsilon[/mm] wird für die X-Achse verwendet.
??? Nein. Es gibt eine Bereich um den Grenzwert an.
Durchdenk das in Ruhe, schau Dir Bilder an.
Wenn Du meinst, es verstanden zu haben, kannst Du ja mal erzählen, wie Du es jemandem erklären würdest.
Gruß v. Angela
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Hallo :)
ich glaube so langsam zu vertehen wie das ganze Funktioniert..
Deine Beschreibung hat mir sehr geholfen..
2 Fragen bleiben aber noch offen...
Mit [mm] N(\varepsilon) [/mm] hängt ja der Punkt ab dem die Folge im [mm] "\varepsilon-Bereich" [/mm] bleibt.
Ich weiß ja, dass mein [mm] \varepsilon [/mm] unendlich klein ist und >0.
Nun habe ich aber im Skript z.B. folgendes:
Jede konverkente folge [mm] (Z_{n})_{n\in\IN} [/mm] in [mm] \IC [/mm] genau einen Grenzwert.
Dies ist soweit verständlich
Nun der Beweis:
Da jede konvergente Folge einen Grenzwert besitzt, ist die Eindeutigkeit eines solchen zu zeigen. Gilt [mm] Z_{n} \to [/mm] l und [mm] Z_{n} \to [/mm] k, so folgt:
[mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] N = [mm] N(\bruch{\varepsilon}{2}) \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N : | [mm] Z_{n} [/mm] - l | [mm] \ge \bruch{\varepsilon}{2}
[/mm]
[mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] N = [mm] N(\bruch{\varepsilon}{2}) \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N : | [mm] Z_{n} [/mm] - k | [mm] \ge \bruch{\varepsilon}{2}
[/mm]
Nun folgt: Ist [mm] \varepsilon [/mm] > 0 bel. geg. und n := max (N,M) so gilt
| l - k | = | l - [mm] Z_{n} [/mm] + [mm] Z_{n} [/mm] - k | [mm] \le [/mm] | le - [mm] Z_{n} [/mm] | + | [mm] Z_{n} [/mm] - k | [mm] \le \bruch{\varepsilon}{2} [/mm] + [mm] \bruch{\varepsilon}{2} [/mm] = [mm] \varepsilon [/mm] => l = k.
Beweis ende
Wieso nimmt er hier [mm] \bruch{\varepsilon}{2} [/mm] ? Wir wissen doch nicht einmal den genauen Wert vom [mm] \varepsilon... [/mm]
2. Frage:
Das [mm] \varepsilon [/mm] allgemein verstehe ich nun.. Was hat es aber mit dem [mm] \delta [/mm] auf sich...
Besten Dank,
steffi
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> Hallo :)
> ich glaube so langsam zu vertehen wie das ganze
> Funktioniert..
> Deine Beschreibung hat mir sehr geholfen..
>
> 2 Fragen bleiben aber noch offen...
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> Mit [mm]N(\varepsilon)[/mm] hängt ja der Punkt ab dem die Folge im
> [mm]"\varepsilon-Bereich"[/mm] bleibt.
>
> Ich weiß ja, dass mein [mm]\varepsilon[/mm] unendlich klein ist und
> >0.
>
> Nun habe ich aber im Skript z.B. folgendes:
> Jede konverkente folge [mm](Z_{n})_{n\in\IN}[/mm] in [mm]\IC[/mm] genau
> einen Grenzwert.
>
> Dies ist soweit verständlich
>
> Nun der Beweis:
>
> Da jede konvergente Folge einen Grenzwert besitzt, ist die
> Eindeutigkeit eines solchen zu zeigen. Gilt [mm]Z_{n} \to[/mm] l und
> [mm]Z_{n} \to[/mm] k, so folgt:
>
> [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists[/mm] N =
> [mm]N(\bruch{\varepsilon}{2}) \forall[/mm] n [mm]\ge[/mm] N : | [mm]Z_{n}[/mm] - l |
> [mm]\ge \bruch{\varepsilon}{2}[/mm]
>
> [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists[/mm] N =
> [mm]N(\bruch{\varepsilon}{2}) \forall[/mm] n [mm]\ge[/mm] N : | [mm]Z_{n}[/mm] - k |
> [mm]\ge \bruch{\varepsilon}{2}[/mm]
>
> Nun folgt: Ist [mm]\varepsilon[/mm] > 0 bel. geg. und n := max (N,M)
> so gilt
>
> | l - k | = | l - [mm]Z_{n}[/mm] + [mm]Z_{n}[/mm] - k | [mm]\le[/mm] | le - [mm]Z_{n}[/mm] | +
> | [mm]Z_{n}[/mm] - k | [mm]\le \bruch{\varepsilon}{2}[/mm] +
> [mm]\bruch{\varepsilon}{2}[/mm] = [mm]\varepsilon[/mm] => l = k.
>
> Beweis ende
>
> Wieso nimmt er hier [mm]\bruch{\varepsilon}{2}[/mm] ? Wir wissen
> doch nicht einmal den genauen Wert vom [mm]\varepsilon...[/mm]
Na und! Dann können wir es genausogut halbieren... (War so'ne Art Scherz.)
Zunächst mal will ich Dir sagen, daß dies Dinge sind, über die ganz viele Studenten staunen.
Ich habe darüber auch gestaunt - ich dachte, die seltsamsten epsilons fliegen vom Himmel, und ich konnte mir nicht erklären, wo die herkommen. [mm] \bruch{\varepsilon}{2} [/mm] ist ja noch gemäßigt...
Das [mm] \bruch{\varepsilon}{2} [/mm] kommt, weil der Beweis damit funktioniert.
Wieviel Fehlversuche beim Beweis der Autor vorher hatte, weiß kein Mensch.
Es ist wie mit Hausübungen: im Idealfall hat man nach langem Grübeln und dem Verbrauch von Unmengen v. Papier einen Beweis, der auf eine drittel Seite paßt. Und wenn man nochmal drüber nachdenkt und alls schon ordnet, wird auf einmal ein Vierzeiler draus. Den ganzen Kram, den man versucht hat, verät man niemandem. Man zeigt, wie man schnurstracks zum Ergebnsi kommt.
Warum konnen wir [mm] \bruch{\varepsilon}{2} [/mm] wählen. [mm] \varepsilon [/mm] steht für eine beliebige Zahl.
Es ist gesagt, daß I ein Grenzwert der Folge [mm] (Z_n) [/mm] ist.
Das bedeutet ja, daß man zu jedem beliebigen [mm] \varepsilon [/mm] so ein passendes [mm] N(\varepsilon) [/mm] findet, so daß ab diesem alle Folgenglider innerhalb des [mm] \varepsilon [/mm] - Bereiches um den Grenzwert liegen.
So. Und nun aufgepaßt. Da das für jedes [mm] \varepsilon [/mm] gilt, gilt es auch noch, wenn wir unser [mm] \varepsilon [/mm] halbieren - der Schwellenwert N ist dann höchstwahrscheinlich ein anderer, aber es gibt ihn.
Es gilt also auch [mm] \varepsilon'= \bruch{\varepsilon}{2} [/mm] die Bedingung v. oben. Denn I ist ja ein Grenzwert.
>
> 2. Frage:
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> Das [mm]\varepsilon[/mm] allgemein verstehe ich nun.. Was hat es
> aber mit dem [mm]\delta[/mm] auf sich...
Paß auf, daß Du mit den Begriffen nicht durcheinanderkommst. Bei der Definition des Grenzwertes von Folgen hat das [mm] \delta [/mm] nichts zu suchen. Da kommt erstmalig bei der Definition der Stetigkeit. Das ist was anderes - wobei ich zugeben will, daß es Verknüpfungspunkte gibt.
Ich möchte in diesem Thread nicht die Stetigkeit erklären. mach ggf. einen neuen auf, inkl. der Definition, der Erzählung, was Du Dir darunter vorstellst und Deinen Fragen.
Zuvor lohnt sich vielleicht noch die Suche im Forum, es dürfte etliche Threads zum Thema geben.
Gruß v. Angela
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