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Ermittlung Tangentengleichung: Steh kurz vor der Verzweiflung
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 10:17 So 08.01.2006
Autor: trollhorn

Aufgabe
Gegeben ist eine Funktion f mit f(x) = [mm] 1/6x^3 [/mm] - [mm] 1/2x^2 [/mm] - 3/2x + 9/2

Der Graph von f berührt die x-Achse in N(3/0).

Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente t an den Graphen von f durch die 1.Nullstelle der Funktion f.

Erstmal einen guten Morgen =)...

Hab' gestern schon das Problem gepostet, komm' aber einfach net voran...
hier mal ein Ansatz von mir:

t(x)=mx+b
t(3) = 0
m*3+b=0

Denke, das könnte soweit schon mal stimmen *hoff*... nun meine
Frage:

Existiert an N ein Wendepunkt?
Besitzt die Tangente an der Nullstelle N dieselbe Steigung wie f?




                                                    



        
Bezug
Ermittlung Tangentengleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:28 So 08.01.2006
Autor: Disap


> Gegeben ist eine Funktion f mit f(x) = [mm]1/6x^3[/mm] - [mm]1/2x^2[/mm] -
> 3/2x + 9/2
>  
> Der Graph von f berührt die x-Achse in N(3/0).
>  
> Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente t an den Graphen
> von f durch die 1.Nullstelle der Funktion f.
>  Erstmal einen guten Morgen =)...

Guten Morgen.
Zunächst einmal eine Vorab-Information an alle - Es handelt sich ursprünglich um diesen Thread.

> Hab' gestern schon das Problem gepostet, komm' aber einfach
> net voran...
>  hier mal ein Ansatz von mir:
>  
> t(x)=mx+b
>  t(3) = 0
>  m*3+b=0

Ja, das wurde ja bereits von Loddar angesprochen. Und zwar heißt es in der Aufgabenstellung: "von f durch die 1.Nullstelle der Funktion f." Nun bin ich mir ebenfalls nicht so sicher, ob die 1. Nullstelle auch die bei [mm] x_{n}=3 [/mm] ist. Ich würde auch eher in die andere Richtung tendieren, nämlich zu der Nullstelle, die du noch nicht ermittelt hast.

> Denke, das könnte soweit schon mal stimmen *hoff*... nun

Angenommen, du sollst wirklich an der Stelle x=3 eine Tangente anlegen, dann bringt dir der Schritt:

m*3+b=0

eigentlich recht wenig (Oups, siehe unten). Denn die Steigung der Tangente ist die selbe wie die Steigung am Graphen f(x). Also lautet die Tangentengleichung (für [mm] x_{n}=3 [/mm] - wenn es die sein sollte)

y=f'(3)x+b

Und nun hast du nur noch eine Unbekannte, das b. Aber das kannst du lösen, indem du den Punkt hast [mm] N_{1} [/mm] (3|0).

> meine
> Frage:
>  
> Existiert an N ein Wendepunkt?

An N? Meinst du damit die Nullstelle x=3? In der ersten Aufgabenstellung (siehe Ursprungsthread) steht doch schon, dass sich dort ein Extremum befindet.

> Besitzt die Tangente an der Nullstelle N dieselbe Steigung
> wie f?
>  

Die Frage habe ich ja schon geklärt, ist aber richtig!
Zum Oups:

m*3+b=0

Dann wäre die Bedingung mit diesem Wissen

f'(3)*3+b=0

und das würde natürlich wieder weiterhelfen.

Viele Grüße
Disap
Bezug
                
Bezug
Ermittlung Tangentengleichung: Rechnung, Versuch 1/x
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 10:44 So 08.01.2006
Autor: trollhorn

Na, dann probier' ich's doch gleich mal aus:

Angenommen, N = 1.Nullstelle...

y = mx + b

m = f'(3) = -1/2*9 -3 -3/2 = -9/2 - 3 - 3/2 = -6 - 3= -9

=> y = -9x + b

Nullstelle einsetzen

-9*3 + b = 0 => b = 27 => y = -9x + 27

Korrekt?

Bezug
                        
Bezug
Ermittlung Tangentengleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:56 So 08.01.2006
Autor: Disap


> Na, dann probier' ich's doch gleich mal aus:
>  
> Angenommen, N = 1.Nullstelle...
>  
> y = mx + b

[ok]
> m = f'(3) = -1/2*9 -3 -3/2 = -9/2 - 3 - 3/2 = -6 - 3= -9

[notok]

Edit: m = f'(3) = [mm] \red{-}1/2*9 [/mm] -3 -3/2 = -9/2 - 3 - 3/2 = -6 - 3= -9  
Wo kommt das Minus denn her? Gezaubert? ;-)

$f(x) = [mm] 1/6x^3 [/mm] - [mm] 1/2x^2 [/mm] - 3/2x + 9/2$

$f'(x) =  [mm] 3/6x^2 [/mm] - [mm] 2/2x^1 [/mm] - 3/2 =  [mm] \bruch{1}{2}x^2-x- \bruch{3}{2}$ [/mm]

$f'(3) =  [mm] \bruch{1}{2}3^2-3-\bruch{3}{2}$ [/mm]

[mm] $=\bruch{1}{2}9-3-\bruch{3}{2}=\bruch{9}{2}- \bruch{6}{2}-\bruch{3}{2} [/mm] = [mm] \red{0}$ [/mm]

Die Steigung beträgt da also null, weil an dieser Nullstelle ein Extremum vorliegen soll. Das war ja auch der Fehler bei deiner ersten Funktionsgleichung im anderen Thread.

> => y = -9x + b

Bedingung, dass dies jetzt noch stimmt (der Graph sei h(x) )

> Nullstelle einsetzen
>  
> -9*3 + b = 0 => b = 27 => y = -9x + 27

Das "würde" dann stimmen.

> Korrekt?

Offensichtlich vertust du dich immer bei der Steigung. Also nein. Übrigens:
Tangente am Extremum bedeutet eine waagerechte Gerade. Die allgemeine Funktionsgleichung wäre dann nur
y= (0x) +b => $y=b$ , was aber dann zu beweisen wäre. In unserem fiktiven Fall für P(3|0) mit der Steigung m=0 wäre es dann

y= 0x+0 => y=0

Nun klarer?

Schöne Grüße Disap
Bezug
                                
Bezug
Ermittlung Tangentengleichung: Eine letzte Frage...
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:06 So 08.01.2006
Autor: trollhorn

Okay, soweit einleuchtend... eine letzte Frage noch: Was ist denn jetzt die 1.Nullstelle? Bedeutet die 'erste Nullstelle' die mit dem kleinsten x Wert, oder die, die ich bei der Berechnung der Nullstellen als erstes herausbekomme?
Bezug
                                        
Bezug
Ermittlung Tangentengleichung: Teilantwort
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:20 So 08.01.2006
Autor: Disap


> Okay, soweit einleuchtend... eine letzte Frage noch: Was
> ist denn jetzt die 1.Nullstelle? Bedeutet die 'erste
> Nullstelle' die mit dem kleinsten x Wert, oder die, die ich
> bei der Berechnung der Nullstellen als erstes
> herausbekomme?

Also ich würde mal vom Gefühl her ausschließen, dass die erste Nullstelle die ist, die man zu erst berechnet.
Was wäre dann die erste Nullstelle von [mm] x^2 [/mm] - 1?...Also tendiere ich für den kleinsten X-Wert, wobei das jetzt problematisch ist, denn die Funktion geht ja für x-> [mm] \infty [/mm] ins + Unendliche. Was wäre denn, wenn sie für [mm] -\infty [/mm] ins +Unendliche gehen würde und die Funktion quasi bei x=-3 das Extrema hätte? Wäre das dann noch die erste Nullstelle? Glaube ich nicht. (Ich rede lediglich von "glaube", nicht wissen ;-) ).
Warum man allerdings in diesem Fall ausschließen kann, dass die Nullstelle bei x=3 gemeint ist, ist weil dort eine doppelte Nullstelle liegt!
Was wierdum bedeutet, dass du [mm] (x-3)^2 [/mm] bei der Funktion f(x) ausklammern kannst, was hier der Fall ist, es ergibt sich für f(x)

f(x) =  [mm] \bruch{1}{6}(x+3)(x-3)^2 [/mm]

Disap
Bezug
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