Ermittlung von ker f und im f < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:51 So 28.11.2004 | | Autor: | Stephie |
Hier mal wieder eine Frage mit der ich nicht sonderlich viel anfangen kann. Vorallem der erste Teil der Aufgabenstellung verwirrt mich.
Für i = 1,2 sei pri : [mm] \IR [/mm] Quadrat [mm] \to \IR [/mm] die Projektion pr1 (x) = x1 bwz. pr2 (x) = x2 und f: [mm] \IR [/mm] Quadrat [mm] \to \IR [/mm] die Abbildung f(x) = [mm] \alphapr1 [/mm] (x) + [mm] \betapr2 [/mm] (x) für [mm] \alpha, \beta \varepsilon \IR [/mm] gegeben.
a: Zeigen sie, dass f eine lineare Abbildung ist (bzgl. der Vektorräume [mm] \IR [/mm] Quadrat, [mm] \IR [/mm] über [mm] \IR).
[/mm]
b: Ermitteln sie ker f
c: Ermitteln sie im f
Bin für jede Hilfe dankbar,
Gruß Stephie
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Hallo Stephie!
> Für i = 1,2 sei pri : [mm]\IR[/mm] Quadrat [mm]\to \IR[/mm] die Projektion
> pr1 (x) = x1 bwz. pr2 (x) = x2 und f: [mm]\IR[/mm] Quadrat [mm]\to \IR[/mm]
> die Abbildung f(x) = [mm]\alphapr1[/mm] (x) + [mm]\betapr2[/mm] (x) für
> [mm]\alpha, \beta \varepsilon \IR[/mm] gegeben.
>
> a: Zeigen sie, dass f eine lineare Abbildung ist (bzgl. der
> Vektorräume [mm]\IR[/mm] Quadrat, [mm]\IR[/mm] über [mm]\IR).
[/mm]
Mist, ich habe gerade gemerkt, dass du ja noch eine Funktion f gegeben hast, allerdings weiß ich nicht so ganz, was du damit meinst!? Kannst du das vielleicht nochmal eintippen? Ich lasse aber mal meine Erklärung hier stehen, ich denke, sie hilft dir trotzdem!
Um zu zeigen, dass eine Abbildung eine lineare Abbildung ist, muss du eigentlich nur zwei Sachen nachweisen:
I) f(x+y)=f(x)+f(y)
II) f(ax)=af(x), wobei a [mm] \in \IR
[/mm]
Deine Abbildung - eine Projektion - macht eigentlich nichts anderes, als einfach eine Komponente deines Vektors rauszuschmeißen! Du hast einen Vektor [mm] x=\vektor(x_1 [/mm] // [mm] x_2), [/mm] und wenn du ihn abbildest erhältst du nur noch [mm] x_1 [/mm] bzw. [mm] x_2. [/mm] Wenn du dir das vorstellen willst, dann zeichne einen beliebigen Vektor in ein zweidimensionales Koordinatensystem, und um ihn "abzubilden", zeichnest du einfach nur noch die eine Komponente, die andere lässt du gleich 0 (erhältst also einen Punkt auf einer der beiden Achsen).
So, wie beweist man nun I)?
ganz einfach so:
zz: [mm] pr_1(x+y)=pr_1(x)+pr_1(y)
[/mm]
Nun gilt aber (linke Seite):
[mm] pr_1(x+y)=pr_1\vektor{x_1+y_1 \\ x_2+y_2}=x_1+y_1
[/mm]
außerdem gilt (rechte Seite):
[mm] pr_1(x)+pr_1(y)=pr_1\vektor{x_1 \\ x_2} [/mm] + [mm] pr_1\vektor{y_1 \\ y_2} [/mm] = [mm] x_1+y_1 [/mm]
und siehe da: du bist schon fertig!
Ich denke, den zweiten Teil versuchst du mal alleine, dann kannst du es hier reinschreiben und ich gucke es mir an.
> b: Ermitteln sie ker f
Mmh, was machen wir denn hier? Also, der Kern besteht aus allen Elementen, die auf 0 abgebildet werden (nach Definition). Dann musst du dir mal überlegen, welche Elemente denn auf 0 abgebildet werden, und schon erhältst du den Kern.
> c: Ermitteln sie im f
im f ist meines Wissen das Bild von f, auch geschrieben als Bild(f) oder im(f). Ich glaube, das kannst du gleichsetzen mit dem Wertebereich (wahrscheinlich haut mich jetzt wieder irgendjemand, weil das entweder falsch ist oder exakt dasselbe... - also, hierauf mal lieber keine Garantie!)
Also, schreib doch mal dein f noch richtig und versuche doch mit meinen Tipps schon mal was, was du dann gleich mitschickst.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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