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| Aufgabe | Bestimmen Sie die erste Ableitung.
[mm]f(r)=\bruch{a^2r^2+2ar-a}{4ar}[/mm] |
Hallo an alle!
Mein Mathelehrer hat es so an sich, uns Lösungszettel zukommen zu lassen, auf die er die richtigen Ergebnisse unserer Hausaufgaben schreibt, da wir die Unterrichtszeit ja nicht mit dem Vergleichen "verschwenden" wollen.
Nun bin ich dabei, meine Lösungen mit seinen zu überprüfen, aber bei dieser Aufgabe komme ich einfach nicht auf seine Lösung.
Er hat folgendes herausbekommen:
[mm]f'(r)=\bruch{1}{4}a+\bruch{1}{4r^2}[/mm]
Ich habe folgendermaßen gerechnet:
[mm]f(r)=\bruch{a^2r^2+2ar-a}{4ar}=\bruch{a^2r^2}{4ar}+
\bruch{2ar}{4ar}+\bruch{-a}{4ar}[/mm]
[mm]f'(r)=\bruch{2a^2r}{4a}+\bruch{2a}{4a}
=\bruch{2a^2r+2a}{4a}[/mm]
Ich liege doch damit richtig, dass ich die Ableitung im Zähler und im Nenner machen muss, oder?
Vielleicht hat ja jemand eine Ahnung, wie man auf sein Ergebnis kommt?!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:33 Mo 30.04.2007 | | Autor: | Ankh |
Du musst bei der Ableitung die Quotientenregel verwenden. Du kannst nicht einfach die Ableitung des Zählers in den Zähler und die Ableitung des Nenners in den Nenner schreiben!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:43 Mo 30.04.2007 | | Autor: | Princess17 |
So ist es klar, dass ich es nicht konnte, da wir bis jetzt erst die Summenregel und die Faktorregel hatten... Na, dann werde ich es nach dieser Regel nochmal versuchen.
Danke für den Hinweis!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:45 Mo 30.04.2007 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Dass due den Bruch zerlegt hast, ist schon richtig gewesen. Aber dann kannst du viele rs rauskürzen und den Rest kannst du normal mit Faktor-/Summenregel ableiten!
Und beachte, dass [mm] \bruch{1}{r}=r^{-1} [/mm] ist und die Produktregel dort auch gilt!
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Zuallererst würde ich die Formel vereinfachen. Wenn [mm] a\not=0 [/mm] durch a kürzen.
a ist ein fester Faktor. Den musst du beim Differenzieren nicht weiter beachten bzw. kannst ihn genauso behandeln wie eine Zahl.
Im Zähler des Bruches steht dann noch: a [mm] r^2 [/mm] + 2r - 1 und im Nenner: 4r
Als nächstes jeden einzelnen Summanden durch den Nenner teilen.
Aus [mm] \bruch{1}{4r} [/mm] machst du: [mm] \bruch{1}{4} [/mm] * r^-1 (hoch minus eins)
So und nun kannst du differenzieren nach den bekannten Regeln.
Dann kommst du auf das Ergebnis, da du bereits kennst
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:23 Mo 30.04.2007 | | Autor: | Princess17 |
Vielen Dank für die ganzen Antworten!
Ich wusste nicht, dass man bei Ableitungen auch kürzen darf. Jetzt habe ich das richtige Ergebnis.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:57 Mo 30.04.2007 | | Autor: | Teufel |
Stellenweise geht das auch nicht so einfach!
Beispiel:
[mm] f(x)=\bruch{x²}{x}
[/mm]
Diese Funktion ist für x=0 nicht definiert, da sonst im Nenner eine 0 stehen würde und man ja durch 0 nicht teilen kann.
Du kannst es zu f(x)=x vereinfachen, aber immer mit dem Hintergedanken, dass die Funktion für x=0 nicht definiert ist.
f'(x)=1, [mm] x\not=0 [/mm] wäre die 1. Ableitung dann.
Deine Funktion ist für r=0 nicht definiert, aber durch die Umformung hast du immernoch einen Bruch, in dem r im nenner steht. Also auch wenn du umformst, bleibt die Funktion und damit auch die Ableitung für r=0 nicht definiert.
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Ach, so ist das...
Hätte ich auch ohne Kürzen auf das Ergebnis kommen können? Das wäre mir lieber, weil ich nicht unterscheiden kann, ob ich nun kürzen darf oder nicht. 
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:37 Di 01.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Princess!
Um auf das endgültige Ergebnis Deines Lehrers zu kommen, musst Du kürzen. Entweder gleich zu Beginn, nachdem Du die Brüche zerelegt hast.
Oder nach Anwendung der  Quotientenregel ...
Dabei ist m.E. der erste Weg eindeutig der elegantere und schnellere Weg.
Gruß
Loddar
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