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| Aufgabe | | Berechnen Sie die Ableitungen folgender Funktionen y = f(x). |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Leider bin ich in der Differenzial- als auch Integralrechnung noch nicht so fit, wie ich eigentlich sein müsste, daher habe ich mich etwas rangesetzt und geübt. Manche Aufgabe klappte auf Anhieb, bei mancher war hier und da ein kleiner nachvollziehbarer Fehler, doch bei folgender Aufgabe komme ich nicht darauf:
y = [mm] \bruch{1-\wurzel{x}}{1+\wurzel{x}}
[/mm]
Meine Idee natürlich sofort: Quotientenregel! Gesagt, getan, nur ist dann eine weitere Umformung möglich.
Die Lösung im Buch ist folgende:
[mm] -\bruch{1}{\wurzel{x}(1+\wurzel{x})^{2}}
[/mm]
Die Lösung von Maple sieht dann wieder anders aus:
[mm] -\bruch{1}{2\wurzel{x}(1+\wurzel{x})} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2} \bruch{1-\wurzel{x}}{(1+\wurzel{x})^{2}\wurzel{x}}
[/mm]
Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand zeigen könnte, welche Kniffe Maple als auch der Autor meines Buches benutzt haben, um diese Lösungen zu erhalten.
Vielen Dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:53 Sa 23.06.2007 | | Autor: | chrisno |
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> y = [mm]\bruch{1-\wurzel{x}}{1+\wurzel{x}}[/mm]
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> Meine Idee natürlich sofort: Quotientenregel! Gesagt,
> getan, nur ist dann eine weitere Umformung möglich.
Schreib Deine Lösung auch hin. Danach geht es nur ums Umformen von Brüchen.
> Die Lösung im Buch ist folgende:
>
> [mm]-\bruch{1}{\wurzel{x}(1+\wurzel{x})^{2}}[/mm]
>
> Die Lösung von Maple sieht dann wieder anders aus:
>
> [mm]-\bruch{1}{2\wurzel{x}(1+\wurzel{x})}[/mm] - [mm]\bruch{1}{2} \bruch{1-\wurzel{x}}{(1+\wurzel{x})^{2}\wurzel{x}}[/mm]
Mapel = Buch:
[mm]-\bruch{1}{2\wurzel{x}(1+\wurzel{x})} - \bruch{1}{2}\bruch{1-\wurzel{x}} {(1+\wurzel{x})^{2}\wurzel{x}}
=
-\bruch{(1+\wurzel{x})}{2\wurzel{x}(1+\wurzel{x})^2} - \bruch{1}{2}\bruch{1-\wurzel{x}} {(1+\wurzel{x})^{2}\wurzel{x}}
=-\bruch{(1+\wurzel{x})+(1-\wurzel{x})} {2(1+\wurzel{x})^{2}\wurzel{x}}
=-\bruch{2} {2(1+\wurzel{x})^{2}\wurzel{x}}
=-\bruch{1} {(1+\wurzel{x})^{2}\wurzel{x}}
[/mm]
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Danke soweit. Dass die Lösungen irgendwie zusammenhingen, war mir klar. ;) Nur von Schritt 2 auf Schritt 3 kann ich nicht folgen. Wie kommt es zu dem + im Zähler und warum fällt augenscheinlich der gesamte Nenner des ersten Bruchs weg?
Mein letzter Schritt war:
[mm] \bruch{-\bruch{1}{2}x^{-\bruch{1}{2}}*(1+\wurzel{x})-(1-\wurzel{x})*\bruch{1}{2}x^{-\bruch{1}{2}}}{(1+\wurzel{x})^{2}}
[/mm]
Mir ist klar, dass man aus dem [mm] x^{-\bruch{1}{2}} [/mm] ein [mm] -\wurzel{x} [/mm] machen kann, aber beim Rest hängt es...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:39 Sa 23.06.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
> Danke soweit. Dass die Lösungen irgendwie zusammenhingen,
> war mir klar. ;) Nur von Schritt 2 auf Schritt 3 kann ich
> nicht folgen. Wie kommt es zu dem + im Zähler und warum
> fällt augenscheinlich der gesamte Nenner des ersten Bruchs
> weg?
>
> Mein letzter Schritt war:
>
> [mm]\bruch{-\bruch{1}{2}x^{-\bruch{1}{2}}*(1+\wurzel{x})-(1-\wurzel{x})*\bruch{1}{2}x^{-\bruch{1}{2}}}{(1+\wurzel{x})^{2}}[/mm]
>
> Mir ist klar, dass man aus dem [mm]x^{-\bruch{1}{2}}[/mm] ein
> [mm]-\wurzel{x}[/mm] machen kann, aber beim Rest hängt es...
Stopp: [mm] x^{-\bruch{1}{2}}={\bruch{1}{\wurzel{x}}}\not=-\wurzel{x}
[/mm]
also, schreibe anstelle von [mm] x^{-\bruch{1}{2}}: {\bruch{1}{\wurzel{x}}}:
[/mm]
[mm]\bruch{-\bruch{1}{2}*(1+\wurzel{x})-(1-\wurzel{x})*\bruch{1}{2}}{(1+\wurzel{x})^{2}*\wurzel{x}}[/mm]
=[mm]\bruch{-\bruch{1}{2}-\bruch{1}{2}\wurzel{x}-\bruch{1}{2}+\bruch{1}{2}\wurzel{x}}{(1+\wurzel{x})^{2}*\wurzel{x}}[/mm]
=[mm]-\bruch{1}{(1+\wurzel{x})^{2}*\wurzel{x}}[/mm]
Der "Trick" dabei: Klammern auflösen und auf die Vorzeichen achten!
MfG
barsch
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Argh, das war also der Fehler, danke. Hm, aber kann mir dann jemand kurz erklären wie mathematisch der Bruch zustande kommt, nur weil das 1/2 negativ ist? Würde mich doch durchaus interessieren - sofern es schnell erklärt ist.
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Hallo,
[mm] f(x)=\bruch{1-\wurzel{x}}{1+\wurzel{x}}
[/mm]
[mm] u=1-\wurzel{x}=1-x^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
[mm] u'=-\bruch{1}{2}x^{-\bruch{1}{2}}
[/mm]
der Bruch [mm] \bruch{1}{2} [/mm] entsteht also aus der Ableitung, der Exponent wird als Faktor geschrieben, das Vorzeichen - kommt von der Faktorregel, vor [mm] -x^{\bruch{1}{2}} [/mm] steht ja der Faktor -1,
Steffi
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