Erste Ableitung < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Man berechne f'(0) für
[mm] f(x)=\begin{cases} x^{\alpha}sin^{\bruch{1}{x}}, & x > 0 \\ 0, & x=0 \end{cases}
[/mm]
[mm] \alpha \ge [/mm] 1
Man berechne auch [mm] \limes_{x\rightarrow\0}f'(x), [/mm] sofern vorhanden. Was schließt
man für die Ableitungsfunktion? |
Hi,
Also ich weiß nicht so recht wie ich an diese Aufgabe rangehen soll..
Muss ich hier einfach die erste Ableitung an der Stelle 0 berechnen also
f(x) = [mm] x^{\alpha}sin^{\bruch{1}{x}}
[/mm]
und nun die Ableitung bilden
f'(x) = [mm] \alpha [/mm] x cos(1/x)
und nun einsetzen
f'(0) = [mm] \alpha [/mm] 0 * cos(1/x) =0
hmmm....
Wobei ich mir nicht mal sicher bin ob ich überhaupt richtig abgeleitet habe?
mfg
Danke euch
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:03 Mo 09.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Man berechne f'(0) für
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} x^{\alpha}sin^{\bruch{1}{x}}, & x > 0 \\ 0, & x=0 \end{cases}[/mm]
>
> [mm]\alpha \ge[/mm] 1
Hier sollst Du untersuchen, ob der Grenzwert
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{f(x)-f(0)}{x-0} [/mm] existiert.
Ich verrat es Dir: für [mm]\alpha=[/mm] 1 ex. er nicht. Für [mm]\alpha>[/mm] 1ex. er.
>
> Man berechne auch [mm]\limes_{x\rightarrow\0}f'(x),[/mm] sofern
> vorhanden.
Du meinst: [mm]\limes_{x\rightarrow 0}f'(x),[/mm]
> Was schließt
> man für die Ableitungsfunktion?
> Hi,
>
> Also ich weiß nicht so recht wie ich an diese Aufgabe
> rangehen soll..
>
> Muss ich hier einfach die erste Ableitung an der Stelle 0
> berechnen also
Das hast Du oben doch schon getan !
>
> f(x) = [mm]x^{\alpha}sin^{\bruch{1}{x}}[/mm]
>
> und nun die Ableitung bilden
>
> f'(x) = [mm]\alpha[/mm] x cos(1/x)
Das ist völlig falsch !
Bemühe Produkt und Kettenregel !!
FRED
>
> und nun einsetzen
>
> f'(0) = [mm]\alpha[/mm] 0 * cos(1/x) =0
>
> hmmm....
> Wobei ich mir nicht mal sicher bin ob ich überhaupt
> richtig abgeleitet habe?
>
> mfg
> Danke euch
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>Hier sollst Du untersuchen, ob der Grenzwert
>$ [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{f(x)-f(0)}{x-0} [/mm] $ existiert.
>Ich verrat es Dir: für $ [mm] \alpha= [/mm] $ 1 ex. er nicht. Für $ [mm] \alpha> [/mm] $ 1ex. er.
Wie kommst du da drauf?
mfg
> >
> > f(x) = [mm]x^{\alpha}sin^{\bruch{1}{x}}[/mm]
> >
> > und nun die Ableitung bilden
> >
> > f'(x) = [mm]\alpha[/mm] x cos(1/x)
>
> Das ist völlig falsch !
>
> Bemühe Produkt und Kettenregel !!
>
Ach ich bin ein Nudelauge
f(x) = [mm]x^{\alpha}sin^{\bruch{1}{x}}[/mm]
ist natürlich
[mm] \alpha x^{\alpha-1}*sin(\bruch{1}{x}) [/mm] - cos [mm] (\bruch{1}{x}) x^{\alpha -2}
[/mm]
sollte passen?
>
> FRED
> >
> > und nun einsetzen
> >
> > f'(0) = [mm]\alpha[/mm] 0 * cos(1/x) =0
> >
> > hmmm....
> > Wobei ich mir nicht mal sicher bin ob ich überhaupt
> > richtig abgeleitet habe?
> >
> > mfg
> > Danke euch
>
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Hallo Steffen,
> >Hier sollst Du untersuchen, ob der Grenzwert
>
>
> >[mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{f(x)-f(0)}{x-0}[/mm] existiert.
>
> >Ich verrat es Dir: für [mm]\alpha=[/mm] 1 ex. er nicht. Für
> [mm]\alpha>[/mm] 1ex. er.
>
> Wie kommst du da drauf?
Stelle mal den obigen Differenzenquotienten auf:
[mm]\left|\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\right|=|x|^{\alpha-1}\cdot{}\left|\sin\left(\frac{1}{x}\right)}\right|[/mm]
Beachte, dass der Sinus beschränkt ist. Was passiert hier (abh. von [mm]\alpha[/mm]) für [mm]x\to 0[/mm] ?
>
> mfg
>
>
> > >
> > > f(x) = [mm]x^{\alpha}sin^{\bruch{1}{x}}[/mm]
> > >
> > > und nun die Ableitung bilden
> > >
> > > f'(x) = [mm]\alpha[/mm] x cos(1/x)
> >
> > Das ist völlig falsch !
> >
> > Bemühe Produkt und Kettenregel !!
> >
> Ach ich bin ein Nudelauge
![[lol]](/images/smileys/lol.gif "[lol]")
>
> f(x) = [mm]x^{\alpha}sin^{\bruch{1}{x}}[/mm]
>
> ist natürlich
>
> [mm]\alpha x^{\alpha-1}*sin(\bruch{1}{x})[/mm] - cos [mm](\bruch{1}{x}) x^{\alpha -2}[/mm]
>
> sollte passen?
>
Jo!
Gruß
schachuzipus
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> Hallo Steffen,
>
>
> > >Hier sollst Du untersuchen, ob der Grenzwert
> >
> >
> > >[mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{f(x)-f(0)}{x-0}[/mm] existiert.
> >
> > >Ich verrat es Dir: für [mm]\alpha=[/mm] 1 ex. er nicht. Für
> > [mm]\alpha>[/mm] 1ex. er.
> >
> > Wie kommst du da drauf?
>
>
> Stelle mal den obigen Differenzenquotienten auf:
>
> [mm]\left|\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\right|=|x|^{\alpha-1}\cdot{}\left|\sin\left(\frac{1}{x}\right)}\right|[/mm]
>
> Beachte, dass der Sinus beschränkt ist. Was passiert hier
> (abh. von [mm]\alpha[/mm]) für [mm]x\to 0[/mm] ?
>
> >
> > mfg
> >
> >
Nun ja für x = 0 kann mein [mm] \alpha [/mm] noch so groß sein es bleibt immer 0
und für x [mm] \rightarrow [/mm] 0 würde ich sagen
1) sin(1/x) wird immer kleiner da 1/x gegen null konvergiert
2) Dann habe ich mir das ganze einmal aufgezeichnet und erkenne falls [mm] $\alpha$ [/mm] gerade gibt es ein suprema und falls [mm] $\alpha$ [/mm] ungerade gibt es kein suprema
Hast du das gemeint?
mfg
> > > >
> > > > f(x) = [mm]x^{\alpha}sin^{\bruch{1}{x}}[/mm]
> > > >
> > > > und nun die Ableitung bilden
> > > >
> > > > f'(x) = [mm]\alpha[/mm] x cos(1/x)
> > >
> > > Das ist völlig falsch !
> > >
> > > Bemühe Produkt und Kettenregel !!
> > >
> > Ach ich bin ein Nudelauge
>
>
>
> >
> > f(x) = [mm]x^{\alpha}sin^{\bruch{1}{x}}[/mm]
> >
> > ist natürlich
> >
> > [mm]\alpha x^{\alpha-1}*sin(\bruch{1}{x})[/mm] - cos [mm](\bruch{1}{x}) x^{\alpha -2}[/mm]
>
> >
> > sollte passen?
> >
>
> Jo!
>
> Gruß
>
> schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:18 Mo 09.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> > Hallo Steffen,
> >
> >
> > > >Hier sollst Du untersuchen, ob der Grenzwert
> > >
> > >
> > > >[mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{f(x)-f(0)}{x-0}[/mm] existiert.
> > >
> > > >Ich verrat es Dir: für [mm]\alpha=[/mm] 1 ex. er nicht. Für
> > > [mm]\alpha>[/mm] 1ex. er.
> > >
> > > Wie kommst du da drauf?
> >
> >
> > Stelle mal den obigen Differenzenquotienten auf:
> >
> >
> [mm]\left|\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\right|=|x|^{\alpha-1}\cdot{}\left|\sin\left(\frac{1}{x}\right)}\right|[/mm]
> >
> > Beachte, dass der Sinus beschränkt ist. Was passiert hier
> > (abh. von [mm]\alpha[/mm]) für [mm]x\to 0[/mm] ?
> >
> > >
> > > mfg
> > >
> > >
> Nun ja für x = 0 kann mein [mm]\alpha[/mm] noch so groß sein es
> bleibt immer 0
>
> und für x [mm]\rightarrow[/mm] 0 würde ich sagen
>
> 1) sin(1/x) wird immer kleiner da 1/x gegen null
> konvergiert
Für x [mm] \to [/mm] 0 geht 1/x [mm] \to \infty [/mm] !!!!
>
> 2) Dann habe ich mir das ganze einmal aufgezeichnet und
> erkenne falls [mm]\alpha[/mm] gerade gibt es ein suprema und falls
> [mm]\alpha[/mm] ungerade gibt es kein suprema
Das ist doch völliger Unsinn !!!
>
>
> Hast du das gemeint?
Nein, so hat schachuzupus das nicht gemeint.
Betrachte
(*) [mm]\left|\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\right|=|x|^{\alpha-1}\cdot{}\left|\sin\left(\frac{1}{x}\right)}\right|[/mm]
1. Nimm an, es sei [mm] \alpha=1. [/mm] Siehst Du dann , dass [mm] \frac{f(x)-f(0)}{x-0} [/mm] für x [mm] \to [/mm] 0 keinen Grenzwert hat ?
2. Nimm an, es sei [mm] \alpha>1. [/mm] Es ist [mm] |sin(1/x|)|\le [/mm] 1 und somit folgt aus (*), dass
[mm] \frac{f(x)-f(0)}{x-0} \to [/mm] 0 für x [mm] \to [/mm] 0
FRED
>
> mfg
>
>
>
>
> > > > >
> > > > > f(x) = [mm]x^{\alpha}sin^{\bruch{1}{x}}[/mm]
> > > > >
> > > > > und nun die Ableitung bilden
> > > > >
> > > > > f'(x) = [mm]\alpha[/mm] x cos(1/x)
> > > >
> > > > Das ist völlig falsch !
> > > >
> > > > Bemühe Produkt und Kettenregel !!
> > > >
> > > Ach ich bin ein Nudelauge
> >
> >
> >
> > >
> > > f(x) = [mm]x^{\alpha}sin^{\bruch{1}{x}}[/mm]
> > >
> > > ist natürlich
> > >
> > > [mm]\alpha x^{\alpha-1}*sin(\bruch{1}{x})[/mm] - cos [mm](\bruch{1}{x}) x^{\alpha -2}[/mm]
>
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> > >
> > > sollte passen?
> > >
> >
> > Jo!
> >
> > Gruß
> >
> > schachuzipus
> >
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> > > Hallo Steffen,
> > >
> > >
> > > > >Hier sollst Du untersuchen, ob der Grenzwert
> > > >
> > > >
> > > > >[mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{f(x)-f(0)}{x-0}[/mm] existiert.
> > > >
> > > > >Ich verrat es Dir: für [mm]\alpha=[/mm] 1 ex. er nicht. Für
> > > > [mm]\alpha>[/mm] 1ex. er.
> > > >
> > > > Wie kommst du da drauf?
> > >
> > >
> > > Stelle mal den obigen Differenzenquotienten auf:
> > >
> > >
> >
> [mm]\left|\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\right|=|x|^{\alpha-1}\cdot{}\left|\sin\left(\frac{1}{x}\right)}\right|[/mm]
> > >
> > > Beachte, dass der Sinus beschränkt ist. Was passiert hier
> > > (abh. von [mm]\alpha[/mm]) für [mm]x\to 0[/mm] ?
> > >
> > > >
> > > > mfg
> > > >
> > > >
> > Nun ja für x = 0 kann mein [mm]\alpha[/mm] noch so groß sein es
> > bleibt immer 0
> >
> > und für x [mm]\rightarrow[/mm] 0 würde ich sagen
> >
> > 1) sin(1/x) wird immer kleiner da 1/x gegen null
> > konvergiert
>
> Für x [mm]\to[/mm] 0 geht 1/x [mm]\to \infty[/mm] !!!!
>
>
> >
> > 2) Dann habe ich mir das ganze einmal aufgezeichnet und
> > erkenne falls [mm]\alpha[/mm] gerade gibt es ein suprema und falls
> > [mm]\alpha[/mm] ungerade gibt es kein suprema
>
> Das ist doch völliger Unsinn !!!
> >
> >
> > Hast du das gemeint?
>
> Nein, so hat schachuzupus das nicht gemeint.
>
> Betrachte
>
> (*)
> [mm]\left|\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\right|=|x|^{\alpha-1}\cdot{}\left|\sin\left(\frac{1}{x}\right)}\right|[/mm]
>
> 1. Nimm an, es sei [mm]\alpha=1.[/mm] Siehst Du dann , dass
> [mm]\frac{f(x)-f(0)}{x-0}[/mm] für x [mm]\to[/mm] 0 keinen Grenzwert hat ?
>
nagut wenn [mm] $\alpha [/mm] =1$ dann heißt die Gleichung doch:
1* |sin(1/x)| , dann bleibt diese Funktion doch immer zwischen 1 und -1
Und dadurch hat es keinen Grenzwert sondern nur 2 Schranken nämlich 1 und -1. Oder?
> 2. Nimm an, es sei [mm]\alpha>1.[/mm] Es ist [mm]|sin(1/x|)|\le[/mm] 1 und
> somit folgt aus (*), dass
>
> [mm]\frac{f(x)-f(0)}{x-0} \to[/mm] 0 für x [mm]\to[/mm] 0
>
> FRED
Ok und hier habe ich es hoffentlich auch richtig verstanden:
Also nachdem |sin(1/x)| immer im Intervall 1 und -1 ist, ist es aufjedenfall |sin(1/x)| [mm] \le [/mm] 1. So und wenn jetzt $x [mm] \to [/mm] 0$ geht (also kleinstmöglich gewählt) wird geht die (*) mit [mm] $\alpha \ge [/mm] 1$ gegen 0
hmmm...war das ansatzweiße richtig?
> >
> > mfg
> >
> >
> >
> >
> > > > > >
> > > > > > f(x) = [mm]x^{\alpha}sin^{\bruch{1}{x}}[/mm]
> > > > > >
> > > > > > und nun die Ableitung bilden
> > > > > >
> > > > > > f'(x) = [mm]\alpha[/mm] x cos(1/x)
> > > > >
> > > > > Das ist völlig falsch !
> > > > >
> > > > > Bemühe Produkt und Kettenregel !!
> > > > >
> > > > Ach ich bin ein Nudelauge
> > >
> > >
> > >
> > > >
> > > > f(x) = [mm]x^{\alpha}sin^{\bruch{1}{x}}[/mm]
> > > >
> > > > ist natürlich
> > > >
> > > > [mm]\alpha x^{\alpha-1}*sin(\bruch{1}{x})[/mm] - cos [mm](\bruch{1}{x}) x^{\alpha -2}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > sollte passen?
> > > >
> > >
> > > Jo!
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> > > Gruß
> > >
> > > schachuzipus
> > >
> >
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:08 Mo 09.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> > > > Hallo Steffen,
> > > >
> > > >
> > > > > >Hier sollst Du untersuchen, ob der Grenzwert
> > > > >
> > > > >
> > > > > >[mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{f(x)-f(0)}{x-0}[/mm] existiert.
> > > > >
> > > > > >Ich verrat es Dir: für [mm]\alpha=[/mm] 1 ex. er nicht. Für
> > > > > [mm]\alpha>[/mm] 1ex. er.
> > > > >
> > > > > Wie kommst du da drauf?
> > > >
> > > >
> > > > Stelle mal den obigen Differenzenquotienten auf:
> > > >
> > > >
> > >
> >
> [mm]\left|\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\right|=|x|^{\alpha-1}\cdot{}\left|\sin\left(\frac{1}{x}\right)}\right|[/mm]
> > > >
> > > > Beachte, dass der Sinus beschränkt ist. Was passiert hier
> > > > (abh. von [mm]\alpha[/mm]) für [mm]x\to 0[/mm] ?
> > > >
> > > > >
> > > > > mfg
> > > > >
> > > > >
> > > Nun ja für x = 0 kann mein [mm]\alpha[/mm] noch so groß sein es
> > > bleibt immer 0
> > >
> > > und für x [mm]\rightarrow[/mm] 0 würde ich sagen
> > >
> > > 1) sin(1/x) wird immer kleiner da 1/x gegen null
> > > konvergiert
> >
> > Für x [mm]\to[/mm] 0 geht 1/x [mm]\to \infty[/mm] !!!!
> >
> >
> > >
> > > 2) Dann habe ich mir das ganze einmal aufgezeichnet und
> > > erkenne falls [mm]\alpha[/mm] gerade gibt es ein suprema und falls
> > > [mm]\alpha[/mm] ungerade gibt es kein suprema
> >
> > Das ist doch völliger Unsinn !!!
> > >
> > >
> > > Hast du das gemeint?
> >
> > Nein, so hat schachuzupus das nicht gemeint.
> >
> > Betrachte
> >
> > (*)
> >
> [mm]\left|\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\right|=|x|^{\alpha-1}\cdot{}\left|\sin\left(\frac{1}{x}\right)}\right|[/mm]
> >
> > 1. Nimm an, es sei [mm]\alpha=1.[/mm] Siehst Du dann , dass
> > [mm]\frac{f(x)-f(0)}{x-0}[/mm] für x [mm]\to[/mm] 0 keinen Grenzwert hat ?
> >
>
> nagut wenn [mm]\alpha =1[/mm] dann heißt die Gleichung doch:
>
> 1* |sin(1/x)| , dann bleibt diese Funktion doch immer
> zwischen 1 und -1
>
> Und dadurch hat es keinen Grenzwert sondern nur 2 Schranken
> nämlich 1 und -1. Oder?
Betrachte mal die Folge [mm] (sin(1/x_n)), [/mm] wobei [mm] x_n:=\bruch{2}{n \pi}.
[/mm]
Ist [mm] (sin(1/x_n)) [/mm] konvergent ?
>
>
> > 2. Nimm an, es sei [mm]\alpha>1.[/mm] Es ist [mm]|sin(1/x|)|\le[/mm] 1 und
> > somit folgt aus (*), dass
> >
> > [mm]\frac{f(x)-f(0)}{x-0} \to[/mm] 0 für x [mm]\to[/mm] 0
> >
> > FRED
>
> Ok und hier habe ich es hoffentlich auch richtig
> verstanden:
>
> Also nachdem |sin(1/x)| immer im Intervall 1 und -1 ist,
> ist es aufjedenfall |sin(1/x)| [mm]\le[/mm] 1. So und wenn jetzt [mm]x \to 0[/mm]
> geht (also kleinstmöglich gewählt) wird geht die (*) mit
> [mm]\alpha \ge 1[/mm] gegen 0
>
> hmmm...war das ansatzweiße richtig?
Im Schweizze Deines Angesichts , übe Dich auch noch in Rechtschreibung.
Ansatzblaue wars richtig, aber beschi..en formuliert.
Ist [mm] \alpha>1, [/mm] so ist
[mm] $|x^{\alpha}*sin(1/x)| \le |x^{\alpha}|,
[/mm]
also: [mm] \limes_{x\rightarrow 0}x^{\alpha}*sin(1/x)=0
[/mm]
FRED
>
> > >
> > > mfg
> > >
> > >
> > >
> > >
> > > > > > >
> > > > > > > f(x) = [mm]x^{\alpha}sin^{\bruch{1}{x}}[/mm]
> > > > > > >
> > > > > > > und nun die Ableitung bilden
> > > > > > >
> > > > > > > f'(x) = [mm]\alpha[/mm] x cos(1/x)
> > > > > >
> > > > > > Das ist völlig falsch !
> > > > > >
> > > > > > Bemühe Produkt und Kettenregel !!
> > > > > >
> > > > > Ach ich bin ein Nudelauge
> > > >
> > > >
> > > >
> > > > >
> > > > > f(x) = [mm]x^{\alpha}sin^{\bruch{1}{x}}[/mm]
> > > > >
> > > > > ist natürlich
> > > > >
> > > > > [mm]\alpha x^{\alpha-1}*sin(\bruch{1}{x})[/mm] - cos [mm](\bruch{1}{x}) x^{\alpha -2}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > > sollte passen?
> > > > >
> > > >
> > > > Jo!
> > > >
> > > > Gruß
> > > >
> > > > schachuzipus
> > > >
> > >
> >
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> Betrachte mal die Folge [mm](sin(1/x_n)),[/mm] wobei
> [mm]x_n:=\bruch{2}{n \pi}.[/mm]
>
> Ist [mm](sin(1/x_n))[/mm] konvergent ?
>
Nein, Sie ist nicht konvergent, da Sie zwischen 1 und 0 "auf und geht" Sie nähert sich nicht an.
Damit meine Ich, dass die Werte immer zwischen 1 und 0 liegen für [mm] x_n [/mm] := [mm] \bruch{2}{n\pi} [/mm] für n [mm] \in \IR
[/mm]
>
> >
> >
> > > 2. Nimm an, es sei [mm]\alpha>1.[/mm] Es ist [mm]|sin(1/x|)|\le[/mm] 1 und
> > > somit folgt aus (*), dass
> > >
> > > [mm]\frac{f(x)-f(0)}{x-0} \to[/mm] 0 für x [mm]\to[/mm] 0
> > >
> > > FRED
> >
> > Ok und hier habe ich es hoffentlich auch richtig
> > verstanden:
> >
> > Also nachdem |sin(1/x)| immer im Intervall 1 und -1 ist,
> > ist es aufjedenfall |sin(1/x)| [mm]\le[/mm] 1. So und wenn jetzt [mm]x \to 0[/mm]
> > geht (also kleinstmöglich gewählt) wird geht die (*) mit
> > [mm]\alpha \ge 1[/mm] gegen 0
> >
> > hmmm...war das ansatzweiße richtig?
>
> Im Schweizze Deines Angesichts , übe Dich auch noch in
> Rechtschreibung.
>
> Ansatzblaue wars richtig, aber beschi..en formuliert.
>
> Ist [mm]\alpha>1,[/mm] so ist
>
> [mm]$|x^{\alpha}*sin(1/x)| \le |x^{\alpha}|,[/mm]
>
> also: [mm]\limes_{x\rightarrow 0}x^{\alpha}*sin(1/x)=0[/mm]
>
Zusammenfassend würde dies nun heißen:
bei [mm] \alpha [/mm] = 1 gibt es den limes nicht
bei [mm] \alpha \ge [/mm] 1 gibt es einen grenzwert. Dieser ist 0, da (in Worten gefasst) der limes(x [mm] \rightarrow [/mm] 0) und somit [mm] x^{alpha} [/mm] < 1 und auch sin(1/x) < 1. SOmit ist die Multiplikation auch kleiner 1.
Wenn man das nun weiter betrachtet erkannt man, dass es gegen 0 geht und somit den Grenzwert bei 0 hat.
Oder?
> FRED
> >
> > > >
> > > > mfg
> > > >
> > > >
> > > >
> > > >
> > > > > > > >
> > > > > > > > f(x) = [mm]x^{\alpha}sin^{\bruch{1}{x}}[/mm]
> > > > > > > >
> > > > > > > > und nun die Ableitung bilden
> > > > > > > >
> > > > > > > > f'(x) = [mm]\alpha[/mm] x cos(1/x)
> > > > > > >
> > > > > > > Das ist völlig falsch !
> > > > > > >
> > > > > > > Bemühe Produkt und Kettenregel !!
> > > > > > >
> > > > > > Ach ich bin ein Nudelauge
> > > > >
> > > > >
> > > > >
> > > > > >
> > > > > > f(x) = [mm]x^{\alpha}sin^{\bruch{1}{x}}[/mm]
> > > > > >
> > > > > > ist natürlich
> > > > > >
> > > > > > [mm]\alpha x^{\alpha-1}*sin(\bruch{1}{x})[/mm] - cos [mm](\bruch{1}{x}) x^{\alpha -2}[/mm]
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> >
> > >
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> > > > > >
> > > > > > sollte passen?
> > > > > >
> > > > >
> > > > > Jo!
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> > > > > Gruß
> > > > >
> > > > > schachuzipus
> > > > >
> > > >
> > >
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Hallo nochmal,
zitiere doch bitte mit etwas mehr Bedacht, so ist es total unübersichtlich.
Du kannst Unnötiges weglöschen ...
> >
> > Betrachte mal die Folge [mm](sin(1/x_n)),[/mm] wobei
> > [mm]x_n:=\bruch{2}{n \pi}.[/mm]
> >
> > Ist [mm](sin(1/x_n))[/mm] konvergent ?
> >
>
> Nein, Sie ist nicht konvergent, da Sie zwischen 1 und 0
> "auf und geht" Sie nähert sich nicht an.
>
> Damit meine Ich, dass die Werte immer zwischen 1 und 0
> liegen für [mm]x_n[/mm] := [mm]\bruch{2}{n\pi}[/mm] für n [mm]\in \IR[/mm]
Nein, es konvergiert zwar [mm]x_n[/mm] gegen 0 für [mm]n\to\infty[/mm], aber [mm]f(x_n)=\sin\left(n\cdot{}\frac{\pi}{2}\right)[/mm] springt immer zwischen +1 und -1 hin und her, divergiert also ...
> > Ist [mm]\alpha>1,[/mm] so ist
> >
> > [mm]$|x^{\alpha}*sin(1/x)| \le |x^{\alpha}|,[/mm]
> >
> > also: [mm]\limes_{x\rightarrow 0}x^{\alpha}*sin(1/x)=0[/mm]
> >
>
> Zusammenfassend würde dies nun heißen:
>
> bei [mm]\alpha[/mm] = 1 gibt es den limes nicht ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> bei [mm]\alpha \ge[/mm] 1 gibt es einen grenzwert. Dieser ist 0, da
> (in Worten gefasst) der limes(x [mm]\rightarrow[/mm] 0) und somit
> [mm]x^{alpha}[/mm] < 1 und auch sin(1/x) < 1. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") SOmit ist die
> Multiplikation auch kleiner 1.
Äääh, what? Non comprende!
Es ist [mm]\left\red{|}\sin\left(1/x\right)\right\red{|}\le 1[/mm]
Also (für [mm]\alpha>1[/mm]):
[mm]|x|^{\overbrace{\alpha-1}^{>0}}\cdot{}\left\red{|}\sin\left(1/x\right)\right\red{|}\le |x|^{\alpha}\cdot{}1=|x|^{\alpha}[/mm]
Und das strebt für [mm]x\to 0[/mm] gegen [mm]0^{\alpha}=0[/mm] - fertig
>
> Wenn man das nun weiter betrachtet erkannt man, dass es
> gegen 0 geht und somit den Grenzwert bei 0 hat.
>
> Oder?
Gruß
schachuzipus
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ok alles klar
Danke dir :)
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