Erste Bsp Differentialgl < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:34 Mi 02.03.2016 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Finden Sie die vollständige Lösung für die Differentialgleichung
1) f'(t) + a f(t)=0
2) f'(t)+ a f(t)=b mit a,b [mm] \in \mathbb{R}
[/mm]
Versuchen Sie [mm] f(t)=e^{\lambda t} [/mm] und/oder f(t)=pt+q |
Hallo,
Wir setzen bei den Bsp keine Vorkenntnisse in Gewöhnliche Differentialgleichungen vorraus.
1) Sei F(t):= f(x) [mm] e^{at}
[/mm]
F'(t)= f'(t) [mm] e^{at} [/mm] + f(t) a [mm] e^{at} [/mm] = [mm] e^{at} [/mm] (f'(t) + f(t) [mm] a)=e^{at}*0=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] F(t)= constant
[mm] \Rightarrow \exists [/mm] c [mm] \in \mathbb{R}: [/mm] f(t) [mm] e^{at}=c \Rightarrow f(t)=c*e^{-at} \forall [/mm] t [mm] \in \mathbb{R}
[/mm]
2) Hab ich noch nicht gelöst. f(t)=b/a ist eine Lösung
[mm] \phi(t)=c e^{-at} [/mm] ist die allgemeine Lösung für b=0
Setze f(t)= [mm] \phi(t) [/mm] * u(t) so ist [mm] f'(t)=\phi'(t)* [/mm] u(t) + [mm] \phi(t) [/mm] u'(t).
Da [mm] \phi'(t)=- [/mm] a [mm] \phi(t) [/mm] ist formt sich das um auf: b-a*f(t) = u'(t) [mm] \phi(t) [/mm] + u(t) *a * [mm] \phi(t).
[/mm]
LG,
sissi
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:14 Mi 02.03.2016 | | Autor: | fred97 |
> Finden Sie die vollständige Lösung für die
> Differentialgleichung
> 1) f'(t) + a f(t)=0
> 2) f'(t)+ a f(t)=b mit a,b [mm]\in \mathbb{R}[/mm]
> Versuchen Sie
> [mm]f(t)=e^{\lambda t}[/mm] und/oder f(t)=pt+q
> Hallo,
> Wir setzen bei den Bsp keine Vorkenntnisse in Gewöhnliche
> Differentialgleichungen vorraus.
>
> 1) Sei F(t):= f(x) [mm]e^{at}[/mm]
Hier setzt Du wohl voraus, dass f eine Lösung der DGL ist.
> F'(t)= f'(t) [mm]e^{at}[/mm] + f(t) a [mm]e^{at}[/mm] = [mm]e^{at}[/mm] (f'(t) + f(t)
> [mm]a)=e^{at}*0=0[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] F(t)= constant
> [mm]\Rightarrow \exists[/mm] c [mm]\in \mathbb{R}:[/mm] f(t) [mm]e^{at}=c \Rightarrow f(t)=c*e^{-at} \forall[/mm]
> t [mm]\in \mathbb{R}[/mm]
Hiermit ist gezeigt: ist f eine Lösung der DGL, so gibt es ein c [mm] \in \IR [/mm] mit:
[mm] f(t)=c*e^{-at} \forall [/mm] t [mm] \in \IR.
[/mm]
>
> 2) Hab ich noch nicht gelöst. f(t)=b/a ist eine Lösung
> [mm]\phi(t)=c e^{-at}[/mm] ist die allgemeine Lösung für b=0
> Setze f(t)= [mm]\phi(t)[/mm] * u(t) so ist [mm]f'(t)=\phi'(t)*[/mm] u(t) +
> [mm]\phi(t)[/mm] u'(t).
> Da [mm]\phi'(t)=-[/mm] a [mm]\phi(t)[/mm] ist formt sich das um auf:
> b-a*f(t) = u'(t) [mm]\phi(t)[/mm] + u(t) *a * [mm]\phi(t).[/mm]
Das stimmt nicht. Richtig ist:
b-a*f(t) = u'(t) [mm]\phi(t)[/mm] - u(t) *a * [mm]\phi(t).[/mm]
FRED
>
> LG,
> sissi
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:36 Mi 02.03.2016 | | Autor: | sissile |
Na klar ;) War wohl schon zu spät!
Daraus erhalte ich b= u'(t) [mm] \phi(t).
[/mm]
[mm] \iff [/mm] b= u'(t) c [mm] e^{-at}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \int \frac{b}{c} e^{at} [/mm] = [mm] \int [/mm] u'(t) dt
[mm] \Rightarrow \frac{b}{c} \frac{e^{at}}{a}= [/mm] u(t) + const
[mm] \Rightarrow [/mm] u(t)= [mm] \frac{b}{c} \frac{e^{at}}{a} [/mm] + [mm] C_1 [/mm] mit [mm] C_1 \in \mathbb{R}
[/mm]
Daraus erhalte ich f(x)=c [mm] e^{-at} C_1 [/mm] + [mm] \frac{b}{a}= C_2 e^{-at} [/mm] + [mm] \frac{b}{a} [/mm] mit [mm] C_2 \in \mathbb{R}
[/mm]
Okay?
LG,
Sissi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:53 Mi 02.03.2016 | | Autor: | fred97 |
> Na klar ;) War wohl schon zu spät!
>
> Daraus erhalte ich b= u'(t) [mm]\phi(t).[/mm]
> [mm]\iff[/mm] b= u'(t) c [mm]e^{-at}[/mm]
> [mm]\Rightarrow \int \frac{b}{c} e^{at}[/mm] = [mm]\int[/mm] u'(t) dt
> [mm]\Rightarrow \frac{b}{c} \frac{e^{at}}{a}=[/mm] u(t) + const
> [mm]\Rightarrow[/mm] u(t)= [mm]\frac{b}{c} \frac{e^{at}}{a}[/mm] + [mm]C_1[/mm] mit
> [mm]C_1 \in \mathbb{R}[/mm]
>
> Daraus erhalte ich f(x)=c [mm]e^{-at} C_1[/mm] + [mm]\frac{b}{a}= C_2 e^{-at}[/mm]
> + [mm]\frac{b}{a}[/mm] mit [mm]C_2 \in \mathbb{R}[/mm]
>
> Okay?
Ja
FRED
> LG,
> Sissi
>
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