Erwartungstreuer Schätzer < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:07 Sa 30.09.2017 | | Autor: | sandroid |
| Aufgabe | Es wird eine Münze mit Kopfwahrscheinlichkeit $p$ $n$-mal geworfen. Man erhält $r$ Mal Kopf.
Finde einen erwartungstreuen Schätzer für $p(1-p)$. |
Mein Ansatz: Ich vermute, dass der Schätzer $T(r) = [mm] \frac{r}{n}(1-\frac{r}{n})$ [/mm] erwartungstreu ist. Das entspricht meiner Intuition und mir fällt nichts anderes ein.
Zu zeigen: [mm] $\mathbb{E}_p[T(r)] [/mm] = p(1-p)$
Das führt mich zu [mm] $$\mathbb{E}_p[T(r)] [/mm] = [mm] \sum_{r=0}^n T(r)\mathbb{P}[r [/mm] Mal Kopf] = [mm] \sum_{r=0}^n \frac{r}{n}(1-\frac{r}{n}) \binom{n}{r}p^n (1-p)^{n-r}$$
[/mm]
Weiter weiß ich nicht. Vielleicht ist mein Schätzer ja auch gar nicht erwartungstreu?
Vielen Dank für jede Hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:04 Sa 30.09.2017 | | Autor: | luis52 |
Moin, schau mal ![[]](/images/popup.gif) hier, Seite 229-30.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:16 Sa 30.09.2017 | | Autor: | sandroid |
Sorry, ich werde unter den von dir angegebenen Seitenzahlen in dem verlinkten Buch nicht fündig. Ich habe Seite 229 gemäß Zählung des PDF-Readers als auch die Buchseite Br. 229 ausprobiert, und auch frei das Buch durchgestöbert, ohne Erfolg.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:22 Sa 30.09.2017 | | Autor: | luis52 |
Gruebel gruebel? Das verstehe ich nicht. Dort steht sinngemaess: Ist [mm] $X_1,\dots,X_n$ [/mm] eine Stichprobe aus einer Verteilung mit Varianz [mm] $\sigma^2$, [/mm] so ist [mm] $S^2=\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X)^2/(n-1)$ [/mm] erwartungstreu fuer [mm] $\sigma^2$.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:58 Sa 30.09.2017 | | Autor: | sandroid |
Okay, jetzt habe ich den Zusammenhang verstanden.
Aber wie kann man denn darauf kommen, was ist die Intuition? Und wieso ist der von mir vorgeschlagene Schätzer nicht erwartungstreu?
Ich denke, dass ich solche Aufgaben in der anstehenden Klausur können muss, und daher bin ich sehr am Lösungsweg interessiert.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:27 Sa 30.09.2017 | | Autor: | luis52 |
>
> Okay, jetzt habe ich den Zusammenhang verstanden.
>
> Aber wie kann man denn darauf kommen, was ist die Intuition?
Sorry, mit Intuition kann ich nicht dienen. So was weiss man halt nach 100 Jahren Beschaeftigung mit Statistik. 
> Und wieso ist der von mir vorgeschlagene
> Schätzer nicht erwartungstreu?
Deine Idee ist naheliegend, nur ist $T(r)$ leider eben nicht e.t. Schreibe
$ T(r) = [mm] \frac{r}{n}(1-\frac{r}{n}) =\frac{r}{n}-\frac{r^2}{n^2} [/mm] $
Betrachte $r$. Du argumentierst zurecht, dass $r$ binomialverteilt ist. Bestimme damit [mm] $\operatorname{E}[r]$ [/mm] und [mm] $\operatorname{E}[r^2]$.
[/mm]
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> Ich denke, dass ich solche Aufgaben in der anstehenden
> Klausur können muss, und daher bin ich sehr am Lösungsweg
> interessiert.
In der Tat, eine huebsche Aufgabe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:44 Sa 30.09.2017 | | Autor: | luis52 |
A popo Intuition. Sei [mm] $X_1,\dots,X_n$ [/mm] eine Stichprobe aus einer Verteilung mit Erwartungswert [mm] $\mu$ [/mm] und Varianz [mm] $\sigma^2$. [/mm] Ist [mm] $\mu$ [/mm] bekannt, so ist
$T':= [mm] \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2$
[/mm]
offensichtlich e.t. fuer [mm] $\sigma^2$. [/mm] Was aber soll man verwenden, wenn [mm] $\mu$ [/mm] unbekannt ist? Da [mm] $\bar [/mm] X$ e.t. ist fuer [mm] $\mu$, [/mm] liegt es nahe
$T:= [mm] \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X)^2$
[/mm]
zu verwenden. in der oben erwaehnten Quelle wird gezeigt, dass $T$ nicht e.t. ist fuer [mm] $\sigma^2$, [/mm] sondern
[mm] $S^2:=\frac{n}{n-1}\cdot [/mm] T= [mm] \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X)^2$.
[/mm]
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