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| Aufgabe | X, Y seien die Augenzahlen zweier Würfelwürfe.
Zeigen Sie, dass U:=X+Y und V:=X-Y nicht unabhängig sind.
Betrachten Sie dazu konkrete Ereignisse, z.B. {U=12}.
Berechnen Sie ferner die Kovarianz [mm] Kov(U,V)=E(UV)-E(U)V(U) [/mm] von U und V. |
Hallo!
Mir ist schon klar, dass U und V unabhängig sind,
wenn man sich ein paar Beispiele anschaut, sieht man, dass von U die Anzahl der Möglichkeiten von X und Y ausgeht und damit auch die Möglichkeiten für Y.
Aber wie kann ich das formal richtig aufschreiben?
Und zur Kovarianz:
Da habe ich noch Probleme mit den Erwartungswerten.
Ich habe folgendes:
[mm] E(U)=E(X+Y)=\summe_{i=1}^{6}i*\bruch{1}{6} + \summe_{j=1}^{6}j*\bruch{1}{6} = 7 [/mm]
Ist das so richtig?
Aber was mache ich dann bei E(V)?
[mm] E(V)=E(X-Y)=\summe_{i=1}^{6}i*\bruch{1}{6} - \summe_{j=1}^{6}j*\bruch{1}{6} = 0 [/mm] ?? Das kann ja nicht sein.
Wo denke ich falsch?
Es wäre super, wenn mir jemand helfen könnte!
Grüßle, Lily
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:30 So 20.07.2014 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Du sollst aber zeigen, dass $U$ und $V$ NICHT unabhängig sind!!
Und deine Erwartungswerte sind richtig. Wieso soll ein Erwartungswert von 0 nicht sein können? $X-Y$ nimmt doch Werte in [mm] $\{-5,-4,\ldots,4,5\}$ [/mm] an.
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Hallo!
Danke für die schnelle Reaktion!
> Du sollst aber zeigen, dass [mm]U[/mm] und [mm]V[/mm] NICHT unabhängig
> sind!!
Achso, ja das meinte ich ja ^^ Also meine Argumentation war auch darauf ausgelegt... oder?
Aber wie schreibt man das formal?
>
> Und deine Erwartungswerte sind richtig. Wieso soll ein
> Erwartungswert von 0 nicht sein können? [mm]X-Y[/mm] nimmt doch
> Werte in [mm]\{-5,-4,\ldots,4,5\}[/mm] an.
Hm, stimmt! Toll!
Wie geht es denn dann mit E(UV)?
Das ist ja
[mm] E(UV)=E((X+Y)(X-Y))=E(X^2-Y^2)=E(X^2)-E(Y^2)=\summe_{i=1}^{6}i^2*\bruch{1}{6}-\summe_{j=1}^{6}j^2*\bruch{1}{6}=0 [/mm]
Und damit
[mm] Kov(U,V)=0-7*0=0 [/mm]
Stimmt das so?
Grüßle, Lily
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:57 So 20.07.2014 | | Autor: | hippias |
> Hallo!
> Danke für die schnelle Reaktion!
>
> > Du sollst aber zeigen, dass [mm]U[/mm] und [mm]V[/mm] NICHT unabhängig
> > sind!!
> Achso, ja das meinte ich ja ^^ Also meine Argumentation
> war auch darauf ausgelegt... oder?
> Aber wie schreibt man das formal?
Du verneinst die Aussage der Unabhaengigkeit: es existiert usw. usf.
>
> >
> > Und deine Erwartungswerte sind richtig. Wieso soll ein
> > Erwartungswert von 0 nicht sein können? [mm]X-Y[/mm] nimmt doch
> > Werte in [mm]\{-5,-4,\ldots,4,5\}[/mm] an.
>
> Hm, stimmt! Toll!
>
> Wie geht es denn dann mit E(UV)?
> Das ist ja
> [mm]E(UV)=E((X+Y)(X-Y))=E(X^2-Y^2)=E(X^2)-E(Y^2)=\summe_{i=1}^{6}i^2*\bruch{1}{6}-\summe_{j=1}^{6}j^2*\bruch{1}{6}=0[/mm]
> Und damit
> [mm]Kov(U,V)=0-7*0=0[/mm]
>
> Stimmt das so?
Ich sehe keinen Fehler. Nur der Vollstaendigkeit halber: die ganze Rechnerei mit den Erwartungswerten funktioniert hier so, weil $X$ und $Y$ unabhaengig sind.
>
> Grüßle, Lily
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Hallo!
Danke für die Hilfe!
> > Aber wie schreibt man das formal?
> Du verneinst die Aussage der Unabhaengigkeit: es existiert
> usw. usf.
Meinst du mit einem Gegenbeispiel?
Z.B. mit [mm] A=\{U=11\} [/mm] und [mm] B=\{V=0\} [/mm]
Dann gilt:
[mm] P(A)=\bruch{1}{18}, P(B)=\bruch{1}{6}, P(A,B)=0 [/mm]
Und daher:
[mm] P(A,B)=0 \not= \bruch{1}{108}=P(A)*P(B) [/mm]
Damit haben wir ein U und ein V gefunden für die die Formel
[mm] P(A,B)=P(A)P(B) [/mm]
welche für die Unabhängigkeit notwendig wäre,
nicht gilt. Daraus folgt, dass U und V nicht unabhängig sind.
Geht das so?
> >
> Ich sehe keinen Fehler. Nur der Vollstaendigkeit halber:
> die ganze Rechnerei mit den Erwartungswerten funktioniert
> hier so, weil [mm]X[/mm] und [mm]Y[/mm] unabhaengig sind.
Danke! Aber das wusste ich 
Wie würde man es denn machen, wenn sie nicht unabhängig wären?
Grüßle, Lily
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:34 So 20.07.2014 | | Autor: | Teufel |
Genau, das würde passen.
Nein, das gilt auch alles, wenn $X$ und $Y$ nicht unabhängig sind. Also $E(aX+Y)=aE(X)+E(Y)$ für alle Zufallsvarablen $X,Y$.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:24 So 20.07.2014 | | Autor: | Mathe-Lily |
Ok, vielen Dank für eure Hilfe!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:25 Mo 21.07.2014 | | Autor: | hippias |
> > Hallo!
> > Danke für die schnelle Reaktion!
> >
> > > Du sollst aber zeigen, dass [mm]U[/mm] und [mm]V[/mm] NICHT unabhängig
> > > sind!!
> > Achso, ja das meinte ich ja ^^ Also meine Argumentation
> > war auch darauf ausgelegt... oder?
> > Aber wie schreibt man das formal?
> Du verneinst die Aussage der Unabhaengigkeit: es existiert
> usw. usf.
> >
> > >
> > > Und deine Erwartungswerte sind richtig. Wieso soll ein
> > > Erwartungswert von 0 nicht sein können? [mm]X-Y[/mm] nimmt doch
> > > Werte in [mm]\{-5,-4,\ldots,4,5\}[/mm] an.
> >
> > Hm, stimmt! Toll!
> >
> > Wie geht es denn dann mit E(UV)?
> > Das ist ja
> >
> [mm]E(UV)=E((X+Y)(X-Y))=E(X^2-Y^2)=E(X^2)-E(Y^2)=\summe_{i=1}^{6}i^2*\bruch{1}{6}-\summe_{j=1}^{6}j^2*\bruch{1}{6}=0[/mm]
> > Und damit
> > [mm]Kov(U,V)=0-7*0=0[/mm]
> >
> > Stimmt das so?
> Ich sehe keinen Fehler. Nur der Vollstaendigkeit halber:
> die ganze Rechnerei mit den Erwartungswerten funktioniert
> hier so, weil [mm]X[/mm] und [mm]Y[/mm] unabhaengig sind.
Von wegen Vollstaendigkeit: diese Bemerkung kannst Du getrost streichen. Buhuu!
> >
> > Grüßle, Lily
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:56 Di 22.07.2014 | | Autor: | Mathe-Lily |
Nur der Vollstaendigkeit
> halber:
> > die ganze Rechnerei mit den Erwartungswerten funktioniert
> > hier so, weil [mm]X[/mm] und [mm]Y[/mm] unabhaengig sind.
> Von wegen Vollstaendigkeit: diese Bemerkung kannst Du
> getrost streichen. Buhuu!
Ja, diese Sachen gehen doch alle auch mit abhängigen Zufallsvariablen. Was nicht geht ist [mm] P(XY)=P(X)P(Y) [/mm]
Oder?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:25 Di 22.07.2014 | | Autor: | Teufel |
Ja, das geht nicht, vor allem weil ein Ausdruck wie $P(X)$ nicht definiert ist!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:36 Di 22.07.2014 | | Autor: | Mathe-Lily |
Ups, ja ich meinte E(X) etc
Dann stimmt es doch, oder?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:41 Di 22.07.2014 | | Autor: | Teufel |
Falls $X$ und $Y$ unabhängig sind, dann geht das, aber ansonsten nicht, da hast du Recht.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:44 Di 22.07.2014 | | Autor: | Mathe-Lily |
Danke
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