Erwartungswert < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:36 Fr 28.08.2015 | | Autor: | Stef99 |
| Aufgabe | (i) Definition des Erwartungswerts einer (reellen) Zufallsvariable angeben. Alle vorkommenden Notationen und mathematische Begriffe erläutern
(ii) Sei nun X eine nicht-negative, absolut-stetige reelle Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion [mm] F_{X}. [/mm] Zu beweisen: E(X) = [mm] \integral_{0}^{\infty}{(1-F_{X}(t)) dt} [/mm] |
Ich habe zwei Definitionen für den Erwartungswert in meinem Skript gefunden
1: [mm] (\Omega, [/mm] P) diskreter Wahrscheinlichkeitsraum und X: [mm] \Omega \to \IR [/mm] Zufallsvariable. Ist die Reihe E(X)= [mm] \summe_{\omega \in \Omega }^{}X(\omega)P(\omega) [/mm] absolut konvergent, dann heißt sie der Erwartungswert von X.
2: [mm] E(X)=\integral_{\Omega}^{}{X(t)f(t) dt} [/mm] .
Ich denke, dass die erste Definition aufgrund der zweiten Teilaufgabe nicht ausreichend ist? Zu der zweiten Defintion gab es aber gar keine weiteren Beschreibungen, sodass es mir schwer fällt, die Notationen und mathematischen Begriffe zu erläutern.
Zum zweiten Aufgabenteil habe ich folgendens gefunden:
E(X) = [mm] \integral_{0}^{\infty}{xf(x) dx}= \integral_{0}^{\infty}{(\integral_{0}^{\infty}{1_{(0,x)}(y) dy)f(x)dx}}= \integral_{0}^{\infty}{(\integral_{0}^{\infty}{1_{(0,x)}(y) f(x) dx)dy}}= \integral_{0}^{\infty}{(1-F(x)) dy}
[/mm]
Ist das eine mögliche Lösung? Wenn ja, kann mir jemand die Schritte erklären?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:53 Fr 28.08.2015 | | Autor: | gfm |
Zu ii) wenn man auf die Verwendung der Dichte verzichten möchte, könnte man schreiben:
[mm] E(X)= \limes_{a \to \infty} \integral_{0}^{a}{x dF(x)}=\limes_{a \to \infty} \left( a*F(a)-0*F(0) -\integral_{0}^{a}{F(x)dx}\right)=\limes_{a \to \infty} \left( \integral_{0}^{a}{(F(a)-F(x))dx}\right)=\integral_{0}^{\infty}{(1-F(x))dx}[/mm]
LG
gfm
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:58 Fr 28.08.2015 | | Autor: | Stef99 |
Ah okay, danke! Das verstehe ich größtenteils. Ist die Definition für den Erwartungswert mittels limes möglich?
Und könntest du mir noch erklären, wieso aus dem F(a) die 1 wird? Aus dem a wird ja im Integral unendlich. Das heißt aus dem F(a) müsste F(unendlich) werden. Mir bleibt unklar, wie daraus 1 wird...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:46 Sa 29.08.2015 | | Autor: | gfm |
[mm] F(a)=P(X \le a)[/mm]
[mm]\lim_{a \to \infty} F(a)=\lim_{a \to \infty} P(X \le a)=1[/mm]
Wenn man die Integrale durch Riemann-Stieltjes-Integrale berechnet, muss man es als Uneigentliches schreiben, weil das RS-Integral a priori nicht über unbeschränkte Argumentbereiche definiert ist.
So weit ich mich erinnere. Ist schon lange her für mich...
LG
gfm
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:57 Fr 28.08.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo!
Zu (i):
> (i) Definition des Erwartungswerts einer (reellen)
> Zufallsvariable angeben. Alle vorkommenden Notationen und
> mathematische Begriffe erläutern
Ich werde am Ende auf die Aufgabenstellung zurückkommen, aber
zunächst zu deinem Vorschlag:
> [mm](\Omega,[/mm] P) diskreter Wahrscheinlichkeitsraum
Was ist ein "diskreter Wahrscheinlichkeitsraum"? 
> und X: [mm]\Omega \to \IR[/mm] Zufallsvariable.
Was ist eine "Zufallsvariable"?
> Ist die Reihe E(X)=[mm]\summe_{\omega \in \Omega }^{}X(\omega)P(\omega)[/mm] absolut konvergent, dann heißt sie der Erwartungswert von X.
Deine Formulierung ist nicht gut. Außerdem gehst du davon aus,
dass die Zufallsvariable diskret ist. Das muss sie aber nicht.
Angenommen, sie ist diskret, dann wäre mein Vorschlag (zu dei-
nen Voraussetzungen):
Eine Zufallsvariable [mm] X\colon\Omega\to\IR [/mm] besitzt einen endlichen Erwartungs-
wert, falls die Reihe
[mm] \sum_{\omega\in\Omega}X(\omega)P(\omega)
[/mm]
absolut konvergiert. In diesem Fall setzen wir
[mm] E(X):=\sum_{\omega\in\Omega}X(\omega)P(\omega).
[/mm]
(Um den Begriff der absoluten Konvergenz zu umgehen kann man
auch die Konvergenz der Reihe [mm] $\sum |X(\omega)|P(\omega)$ [/mm] fordern.)
Zurück zur Aufgabenstellung: Eine "(reelle) Zufallsvariable"
muss nicht immer diskret sein, du musst also entweder unter-
teilen oder eine allgemeine Definition liefern. Außerdem ist
zu beachten, dass "alle vorkommenden Notationen und mathema-
tische Begriffe" erläutert werden müssen.
Mein Vorschlag ist eine allgemeine Definition, wobei man hier
eigentlich genauer wissen müsste "wo" man anfangen soll.
Ist der "Wahrscheinlichkeitsraum" gegeben?
...
Ist eine "Zufallsvariable" [mm] X\colon(\Omega,F,P)\to(\overline{\IR},\mathcal{B}) [/mm] gegeben?
Eigentlich ist das hier eine typische Klausuraufgabe, wobei dann
die Studenten direkt nach den Voraussetzungen fragen, ansonsten
würde man viel zu lange brauchen um die Frage zu beantworten.
Jedenfalls wird dann der Erwartungswert als das Integral bezüglich
des Wahrscheinlichkeitsmaßes definiert.
Es kann aber durchaus sein, dass ich die Klammern bei "(reelle)
Zufallsvariable" überbewerte und es geht hier wirklich nur um
den Erwartungswert reeller Zufallsgrößen. In diesem Fall hast
du bereits den Erwartungswert einer diskreten reellen Zufalls-
variable geliefert und es fehlt nur noch der Erwartungswert
einer reellen Zufallsvariable mit einer Dichte (falls existent),
allerdings muss man auch hier unterscheiden (Lebesgue / Riemann).
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:04 Fr 28.08.2015 | | Autor: | Stef99 |
Leider ist die Aufgabenstellung genau so, wie oben geschrieben. Daher ist mir auch nicht ganz klar, wie ich bei dieser Aufgabe vorgehen soll. Was wäre denn eine allgemeine Definition?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:34 Fr 28.08.2015 | | Autor: | DieAcht |
> Leider ist die Aufgabenstellung genau so, wie oben geschrieben.
Okay, das ist komisch. Ist das wirklich "nur" eine Übungsaufgabe?
Weißt du denn vielleicht ob es für die Aufgabe (im Vergleich) zu
den anderen Aufgaben viel mehr oder viel weniger Punkte gibt?
> Was wäre denn eine allgemeine Definition?
Für eine Zufallsvariable
[mm] X\colon\underbrace{(\Omega,F,P)}_{\text{Wahrscheinlichkeitsraum}}\to(\overline{\IR},\underbrace{\mathcal{B}}_{\text{Borelsche }\sigma\text{-Algebra über }\overline{\IR}}),
[/mm]
die [mm] $P\$-integrierbar [/mm] oder [mm] $P\$-quasiintegrierbar [/mm] ist, definieren wir
[mm] $E(X)=\int_{\Omega}X\mathrm{d}P=\int_{\Omega}X(\omega)\mathrm{d}P(\omega)$.
[/mm]
(Ich denke aber weiterhin, dass ich die Klammern um "reelle"
in der Aufgabenstellung überbewerte und ihr vielleicht auch
"nur" den Erwartungswert einer diskreten reellen Zufalls-
variable und dazu den Erwartungswert einer reellen Zufalls-
variable mit Dichte (falls diese existiert) definieren sollt.)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:31 Sa 29.08.2015 | | Autor: | Stef99 |
Nein, es handelt sich nicht um eine Übungsaufgabe, sondern um eine Aufgabe aus einer alten Klausur. Da ich diese Klausur selbst nicht mitgeschrieben habe, weiß ich nicht, ob sie weniger oder mehr Punkte gibt, als eine andere Aufgabe.
Ich würde vermuten, dass das "reelle" doch schon eine Bedeutung hat, da diese für den zweiten Aufgabenteil benötigt wird, oder sehe ich das falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:40 Sa 29.08.2015 | | Autor: | DieAcht |
> Nein, es handelt sich nicht um eine Übungsaufgabe, sondern
> um eine Aufgabe aus einer alten Klausur. Da ich diese
> Klausur selbst nicht mitgeschrieben habe, weiß ich nicht,
> ob sie weniger oder mehr Punkte gibt, als eine andere
> Aufgabe.
Ich hatte diese Vermutung schon in meiner ersten Antwort.
> Ich würde vermuten, dass das "reelle" doch schon eine
> Bedeutung hat, da diese für den zweiten Aufgabenteil
> benötigt wird, oder sehe ich das falsch?
Mit diesen Voraussetzungen kann ich dir keine eindeutige Antwort
geben. Ich kann dir aber sagen, dass die Musterlösung vom Skript
des Professors abhängt.
Es gibt drei Möglichkeiten:
A)
1) Erwartungswert einer diskreten reellen Zufallsvariablen
2) Erwartungswert einer reellen Zufallsvariablen mit Dichte
B)
Allgemeine Definition
C)
A) + B)
Wichtig ist hierbei, dass man "alle vorkommenden Notationen und
mathematische Begriffe" erläutert. Wie weit man dafür "zurück-
gehen" muss, sei dahingestellt.
Wenn ich raten soll, dann würde ich auf die erste Möglichkeit,
also auf A), tippen. Im Grunde geht es dem Aufgabensteller nur
um die Wiedergabe der Definition (vom Skript).
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