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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:54 Mo 10.12.2007 | | Autor: | Elbi |
| Aufgabe | a)Die Zufallsvariable Y sei verteilt wie [mm]p(1-p)^k , k\in\IN_0 ; p\in (0,1)[/mm]
Berechnen Sie E(Y)!
b)Die Zufallsvariablen [mm]Y_1[/mm] und [mm]Y_2[/mm] seien identisch verteilt mit der Verteilung aus a).
Berechnen sie die Verteilung von [mm]Y_1+Y_2[/mm] sowie den Erwartungswert [mm]E(Y_1+Y_2)[/mm].
c)Die Zufallsvariable X sei verteilt wie b(5,p) [mm]p\in(0,1)[/mm].
Berechnen Sie [mm][mm] P(X\le4)[7mm] [/mm] |
Hallo alle zusammen,
ich hab am Freitag ne Stochastikklausur und rechne grad alte Klausuren. Die Aufgabe war mit dabei. Also ich hab zwar in einer Tabelle stehen was der Erwartungswert von der geometrischen Verteilung ist, aber nicht die Herleitung.
Also ich muss ja:
[mm]EY=\summe_{i=0}^{\infty}kp(1-p)^k=p\summe_{i=0}^{\infty}k(1-p)^k[/mm]
Tja und da fehlt mir die Idee, ich muss ja auf [mm]\bruch{1-p}{p}[/mm] kommen. Kann mir da jemand helfen?
bei b) sind [mm]Y_1 und Y_2[/mm] identisch geometrisch verteilt, also muss ich ja nur das zusammen rechnen und wieder wie oben Erwartungswert berechnen (da brauche ich ja wieder oben den Weg). Komm da also wieder nicht weiter.
Bei c) brauche ich die Verteilungsfunktion da [mm][mm] P(X\le4)=F^X(4)[7mm]. [/mm] Aber da weiß ich nicht wie ich an komme...
Wäre echt super super nett, wenn mir jemand helfen könnte.
Ich hab noch ne Frage. Aber eher eine Verständnisfrage. Kann mir jemand kurz erklären wann ich die Binomialverteilung und wann ich die Hypergeometrische-Verteilung zu nehmen habe?
LG
Elbi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:00 Di 11.12.2007 | | Autor: | Walde |
Hi Christa,
also deine ZV Y ist anscheinend geometrisch verteilt und zählt dabei die Anzahl der Mißerfolge bis zum ersten Erfolg.Das ist wichtig, da es auch eine Variante gibt in der man die Anzahl der Versuche (insgesamt) bis zum ersten Erfolg zählt (also einen mehr) Siehe hierzu auch den ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia Eintrag.
zu a)
Um E(Y) zu berechnen ist dein Start soweit so gut, ich mache mal weiter und nenne (um Schreibarbeit zu sparen ) (1-p)=q
$ [mm] E(Y)=\summe_{k=0}^{\infty}kpq^k=p\summe_{k=0}^{\infty}kq^k$
[/mm]
der erste Summand (für k=0) ist Null,also gilt
[mm] $p\summe_{k=0}^{\infty}kq^k=p\summe_{k=1}^{\infty}kq^k$ [/mm] (der Index geht ab 1 los)
jetzt ziehe ich ein q raus,denn es gilt ja [mm] q^k=q*q^{k-1},also
[/mm]
[mm] $=pq\summe_{k=1}^{\infty}kq^{(k-1)}$ [/mm] jetzt kommt der Trick:
du siehst hoffentlich,daß [mm] q^k [/mm] abgeleitet nach q gerade kq^(k-1) ist (geschrieben:
[mm] \bruch{d}{dq}q^k=kq^{(k-1)} [/mm] und das für jeden Summanden, ausserdem kann man laut Ableitungsregeln anstatt jeden Summanden auch die Summe komplett ableiten,also
[mm] pq\summe_{k=1}^{\infty}kq^{(k-1)}=pq\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{d}{dq}q^k=pq\bruch{d}{dq}\summe_{k=1}^{\infty}q^k
[/mm]
Die Reihe ist die geometrische ohne das erste Glied.Der Grenzwert ist also [mm] (\bruch{1}{1-q}-1), [/mm] also
[mm] pq\bruch{d}{dq}\summe_{k=1}^{\infty}q^k=pq\bruch{d}{dq}(\bruch{1}{1-q}-1)
[/mm]
Jetzt musst du nur noch die Ableitung der Klammer nach q berechnen und dann q=1-p wieder einsetzen und zusammenfassen,dann stehts da.
erstmal zu c)
Ich nehme an, daß X binomialverteilt (mit n=5) sein soll? Dann benutze einfach [mm] P(X\le4)=1-P(X=5) [/mm] (Gegenereignis) und dann ganz normal die Formel einsetzen.
zu b)
Ich empfehle auf jeden Fall diesen Wikipedia Eintrag, denn die Summe von unabh. geom Vert. ZV ist negativ Binomialverteilt.
Ich nehme an,daß [mm] Y_1 [/mm] und [mm] Y_2 [/mm] unabhängig sein sollen.
Gesucht ist die Verteilung, also [mm] P(Y_1+Y_2=k) [/mm] wobei wieder (wichtig) die Anz. der Misserfolge bis zum den ersten beiden Erfolgen gezählt werden.
Meine Empfehlung schau dir erstmal [mm] P(Y_1+Y_2=0), P(Y_1+Y_2=1), [/mm] usw an und schau,wie du eine allgemeine Formel erkennst:
[mm] P(Y_1+Y_2=0)=P(Y_1=0)*P(Y_2=0)=p*p=p^2
[/mm]
[mm] P(Y_1+Y_2=1)=P(Y_1=0)*P(Y_2=1)+P(Y_1=1)*P(Y_2=0)=p*p*q+p*q*p=2p^2q
[/mm]
[mm] P(Y_1+Y_2=2)=P(Y_1=0)*P(Y_2=2)+P(Y_1=1)*P(Y_2=1)+P(Y_1=2)*P(Y_2=0)=p*p*q^2+p*q*q*q+p*q^2*p=3p^2q^2
[/mm]
usw.
[mm] P(Y_1+Y_2=k)=(k+1)*p^2q^k
[/mm]
Ich hoffe ihr wisst bereits dass für den Erwartungswert zweier ZV gilt [mm] E(Y_1+Y_2)=E(Y_1)+E(Y_2), [/mm] dann ist es einfach. Falls nicht wirds komplizierter,funktioniert aber hoffentlich so ähnlich wie für Teil a), aber ich geh jetzt schlafen.
Viel Erfolg,falls du noch fragen hast hilft dir bestimmt jemand,bzw ich kuck morgen nochmal rein.
Achso, die Binomialverteilung benutzt man im Urnenmodell "Ziehen mit Zurücklegen", dass heisst die W'keiten bleiben von Ziehung zu Ziehung gleich. (Eine gezogene Kugel kann erneut gezogen werden.)
Die hypergeom. Vert. benutzt man im Urnenmodell "Ziehen ohne Zurücklegen", dass heisst die W'keiten verändern sich von Ziehung zu Ziehung (Eine gezogene Kugel kann nicht nochmal gezogen werden.)
LG walde
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:32 Di 11.12.2007 | | Autor: | Elbi |
Hi :)
also ich hab die a) nochmal anchgerechnet und komm fast auf den Erwartungswert, nur anstatt [mm]\bruch{1-p}{p}[/mm] bekomme ich [mm]\bruch{p-1}{p}[/mm] heraus. Ich find' auch ehrlich gesagt nicht den Fehler. Ich meine, die Ableitung von [mm]\bruch{1}{p}-1[/mm] ist doch [mm]-p^{-2}[/mm].
Bei der c) komme ich dann auf [mm]1-p^5[/mm] :) Ich kann das machen, weil n=5 ist, also dass ich sagen kann: [mm]P(X\le4)=1-P(X=5)[/mm], richtig?
Also bei der b) ist dann die Verteilung [mm](k+1)p^2(1-p)^k[/mm] und damit kann ich jede Wahrscheinlichkeit für [mm]Y_1+Y_2[/mm] berechnen. Das [mm]E(Y_1+Y_2)=EY_2+EY_2[/mm] kenn ich. Also ist der Erwartungswert gerade:
[mm]E(Y_2+Y_2)=\bruch{2(1-p)}{9}[/mm]
Okay, ich hoffe ich hab das alles richtig verstanden?!
LG
Elbi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:13 Di 11.12.2007 | | Autor: | Walde |
> Hi :)
Hi
>
> also ich hab die a) nochmal anchgerechnet und komm fast auf
> den Erwartungswert, nur anstatt [mm]\bruch{1-p}{p}[/mm] bekomme ich
> [mm]\bruch{p-1}{p}[/mm] heraus. Ich find' auch ehrlich gesagt nicht
> den Fehler. Ich meine, die Ableitung von [mm]\bruch{1}{p}-1[/mm] ist
> doch [mm]-p^{-2}[/mm].
Stimmt zwar, aber du musst [mm] \bruch{1}{1-q}-1 [/mm] nach q ableiten. Das ist was anderes als [mm] \bruch{1}{p}-1 [/mm] nach p abgeleitet. Du solltest erst q=1-p ersetzten nachdem du die Ableitung gebildet hast.
> Bei der c) komme ich dann auf [mm]1-p^5[/mm] :) Ich kann das
> machen, weil n=5 ist, also dass ich sagen kann:
> [mm]P(X\le4)=1-P(X=5)[/mm], richtig?
ja
> Also bei der b) ist dann die Verteilung [mm](k+1)p^2(1-p)^k[/mm]
> und damit kann ich jede Wahrscheinlichkeit für [mm]Y_1+Y_2[/mm]
> berechnen.
Ja.
> Das [mm]E(Y_1+Y_2)=EY_2+EY_2[/mm] kenn ich. Also ist der
> Erwartungswert gerade:
> [mm]E(Y_2+Y_2)=\bruch{2(1-p)}{9}[/mm]
Da hast du dich etwas vertippt, aber meinst wohl das Richtige.
> Okay, ich hoffe ich hab das alles richtig verstanden?!
Bis auf das mit dem Ableiten stimmts soweit, würde ich sagen.
>
> LG
> Elbi
LG walde
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