Erwartungswert < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:14 Do 22.05.2008 | | Autor: | Thorsten |
| Aufgabe | | Zwei Schützen können sich nach einem Wettschiessen auf einem Kirchweihfest nicht einigen, welcher der bessere war. A trifft erfahrungsgemäß mit 85%-iger Sicherheit. Er hat 20 Schüsse abgegeben und 16 Treffer erzielt. B trifft mit 75%-iger Sicherheit. Er hat 10 Schüsse abgegeben und 7 Treffer erzielt. Welcher Schütze war der bessere, gemessen an seinen bisherigen Leistungen? |
Hallo!
Beide Schützen weichen ja 5 % von ihrer angenommenen Leistungsstärke ab (Trefferquote A: 17 von 20 [mm] \Rightarrow [/mm] 80%; Trefferquote B: 7 von 10 [mm] \Rightarrow [/mm] 70%)!
Reicht es nun aus den Erwartungswert zu berechnen?
Bei A: 20 * 0,85 = 17 und bei B: 10*0,75 = 7,5
Somit müsste B besser sein, weil er sein Soll um 0,5 verfehlt hat. A hingegen um 1.
Oder muss ich hier noch Varianz bzw. Standartabweichung einsetzen?
Wenn ja, wie?
Vielen Dank für euere Hilfe und schönes restliches Wochenende!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:01 Do 22.05.2008 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Thorsten,
also: bei mir sind solche Aufgaben schon eine Weile her,
aber ich erinnere mich trotzdem,
dass hier die
Abweichung vom Erwartungswert relativ zur Standardabweichung
als Vergleichsmaßstab genommen wird!
mfG!
Zwerglein
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:13 Do 22.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Thorsten!
Auch ich würde hier einfach die vorhandene Trefferquote durch die erwartete (bzw. bisherige) Trefferquote teilen.
Beispiel Schütze A:
[mm] $$q_A [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\text{vorhandene Trefferquote}}{\text{erwartete Trefferquote}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\bruch{16}{20}}{0.85} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{0.80}{0.85} [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ 0.941$$
Analog beim Schützen B und vergleichen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:10 Do 22.05.2008 | | Autor: | Thorsten |
Vielen Dank für euere Reaktion!
Habe mir beide Antworten (Zwerglein & Loddar) genau angesehen.
Bei dem Lösungsvorschlag von Loddar komme ich zu folgenden Ergebnissen:
Schütze A ca. 0,941 und bei Schütze B ca. 0,93
Zwergleins schrieb ja die tatsächliche Abweichung vom Erwartungswert im Verhältnis zur Standartabweichung:
Schütze A: [mm] \bruch{1}{\wurzel{20*0,85*0,15}} \approx [/mm] 0,626
Schütze B: [mm] \bruch{0,5}{\wurzel{10*0,75*0,25}} \approx [/mm] 1,633
Hm, bei Loddar ist der Wert von Schütze A höher bei Zwerglein der von Schütze B?! Was nun? Welcher Schütze ist denn nun besser?
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Meines Erachtens ist die Aufgabe sehr schwammig gestellt.
Wie ist denn "Besserer Schütze" definiert ???
Beispiel:
Schüler A hat in Mathe im Durchschnitt eine ZWEI. In einer speziellen Klausur schriebt er dagegen eine DREI.
Sein Mitschüler B, der normalerweise immer FÜNFEN schreibt, hatte in dieser Klausur jedoch eine VIER.
Wer von den beiden hatte denn nun in dieser speziellen Klausur besser abgeschnitten?
Das kommt doch wohl darauf an, womit man das Abschneiden vergleicht.
Entweder vergleicht Schüler A mit Schüler B - dann ist A besser
Oder man vergleicht bei jedem Schüler, ob er sich gegenüber früheren Leistungen verbessert/verschlechtert hat. Dann ist B besser
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:45 Fr 23.05.2008 | | Autor: | Thorsten |
Hi!
Die Definition erfolgt doch durch die abschließende Frage "Welcher Schütze war der bessere, gemessen an seinen bisherigen Leistungen?".
Also vergleicht man wohl die aktuelle Leistung (A [mm] \Rightarrow [/mm] 20 Schuss, 16 Treffer; bei B [mm] \Rightarrow [/mm] 10 Schuss, 7 Treffer) )mit dem Leistungsstand (A [mm] \Rightarrow [/mm] 85% Trefferquote; B [mm] \Rightarrow [/mm] 75% Trefferquote), den jeder Schütze ansonsten erbracht hat.
Ich frage mich nun welcher Weg zur richtigen Lösung führt?
- Loddar [mm] \Rightarrow \bruch{aktuelle Leistung}{erwartete Leistung}
[/mm]
- Zwerglein [mm] \Rightarrow \bruch{Abweichung vom Erwartunswert}{Standartabweichung}
[/mm]
- oder man setzt das Beispiel mit den Schülern von rabilein1 um:
Angewand auf die Schützen lautet die Frage: Welcher der beiden Schützen hat relativ zu seinen vorherigen Leistungen besser geschossen?
Über Varianz und daraus resultierender Abweichung erhält man für
A: (16-17)²*0,85 = 0,85 [mm] \Rightarrow \wurzel{0,85} \approx [/mm] 0,9219;
B: (7-7,5)²*0,75 [mm] \approx [/mm] 0,1875 [mm] \Rightarrow \wurzel{0,1875} \approx [/mm] 0,433
Misst man nun die Trefferabweichung von 1 (A) bzw. 0,5 (B) in Bruchteilen der jeweiligen Standartabweichung, so erhält man bei
A: [mm] \bruch{1}{0,9219} \approx [/mm] 1,085
B: [mm] \bruch{0,5}{0,433} \approx [/mm] 1,155
Jetzt hab ich insgesamt drei Rechnungen, die mathematisch vertretbar sind, aber immer noch kein Ergebnis?!... ;)
Wer ist nun besser und warum ist er das???
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Hallo Thorsten,
Vielleicht müsste man aber noch einen anderen Weg
als die bisher diskutierten erwägen. Etwa so:
Aus den bisherigen Leistungen sind für jeden
Schützen die Trefferwahrscheinlichkeiten [mm] p_A [/mm] bzw. [mm] p_B
[/mm]
für einen einzelnen Schuss bekannt.
Dann kann man diese Trefferwahrscheinlichkeiten
als "Nullhypothese" in dem neuen Wettbewerb
benutzen und ermitteln, wie die Wahrscheinlich-
keiten für die jeweiligen Ergebnisse stehen.
Ich habe nun die Rechnung mit der Binomialver-
teilung durchgeführt:
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein "Bernoulli"-Schütze
(ungerührt von aktuellen Umständen)
mit [mm] p_A [/mm] = 0.85 in 20 Schüssen höchstens 16 Treffer
erzielt, ist gleich 0.352.
Mit [mm] p_B [/mm] = 0.75 in 10 Schüssen ist die Wahrschein-
lichkeit für höchstens 7 Treffer gleich 0.474.
Man kann also dem Schützen B etwas eher
"verzeihen", dass er angesichts seines Könnens
"nur" auf 7 Treffer gekommen ist.
Ich wäre froh über ein Feedback zu dieser
Betrachtungsweise.
Gruß al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:27 Fr 23.05.2008 | | Autor: | Thorsten |
Hallo!
Deine Antwort bringt wieder eine neue Betrachtungsweise.
Deinen Gedankengang kann ich gut nachvollziehen.
Jetzt sind es vier Wege mit unterschiedlichen Ergebnissen... ;)
Evtl. wende ich mich mal per Email an den Herausgeber?!
Ihr findet die Aufgabe in:
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
Autor Klaus Stierhof
Verlag Dr. Max Gehlen, Bad Homburg vor der Höhe
6. Auflage
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O.K. , jetzt wäre es an der Zeit, eine(n) Schiedsrichter(in)
beizuziehen, der über die verschiedenen Lösungsvorschläge
urteilt.
Solche Situationen, in welchen sich sogar Koryphäen der
(damaligen) Wahrscheinlichkeitstheorie über die richtige
Interpretation von Aufgaben gestritten haben, gehören
sogar zur Entwicklungsgeschichte dieser Disziplin...
Mitarbeit weiterer Leute erwünscht !
Al-Ch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:01 Fr 23.05.2008 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Thorsten,
> Vielen Dank für euere Reaktion!
> Habe mir beide Antworten (Zwerglein & Loddar) genau
> angesehen.
> Bei dem Lösungsvorschlag von Loddar komme ich zu folgenden
> Ergebnissen:
> Schütze A ca. 0,941 und bei Schütze B ca. 0,93
>
> Zwergleins schrieb ja die tatsächliche Abweichung vom
> Erwartungswert im Verhältnis zur Standartabweichung:
> Schütze A: [mm]\bruch{1}{\wurzel{20*0,85*0,15}} \approx[/mm] 0,626
>
> Schütze B: [mm]\bruch{0,5}{\wurzel{10*0,75*0,25}} \approx[/mm] 1,633
Zunächst:
1. Ich beziehe mich hier auf die Aufgabe vom Stierhof S.86.
2. Du musst beachten, dass hier beide Schützen UNTER ihrer bisherigen Durchschnittsleistung bleiben; d.h. dass der, der sich am wenigsten verschlechtert relativ gesehen der Bessere ist!
Nun zum Ergebnis:
Schütze A weicht um [mm] 0,626*\sigma_{A} [/mm] (nach unten!) von seinem Erwartungswert ab,
Schütze B aber um [mm] 1,633*\sigma_{B}, [/mm] was relativ gesehen sehr viel mehr ist.
Daher ist die Leistung von A höher einzuschätzen!
mfG!
Zwerglein
PS: Ich hab' die 10.Auflage des von Dir erwähnten Buches vor mir - und da ist diese Aufgabe schon gar nicht mehr drin!
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Bei dieser Aufgabe geht es weder um Standardabweichungen oder Signifikanzen, sondern nur um einen Vergleich von Leistungsveränderungen.
16/20=80% statt 85%
Verschlechterung=5/85 (Grundwert=alter Wert) = 5,88 %
7/10=70% statt 75%
Verschlechterung=5/75 = 6,67%
Der zweite hat sich mehr verschlechtert als der erste.
Dabei spielt es auch keine Rolle, dass es nur ganzzahlige Treffermöglichkeiten gibt.
Mehr an "philosophisch"-stochastischen Überlegungen gibt diese Aufgabe nicht her. Sie gehört nicht in die Oberstufe, sondern in die Klasse 6 oder 7 (Prozentrechnung).
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> Bei dieser Aufgabe geht es weder um Standardabweichungen
> oder Signifikanzen, sondern nur um einen Vergleich von
> Leistungsveränderungen.
>
> 16/20=80% statt 85%
>
> Verschlechterung=5/85 (Grundwert=alter Wert) = 5,88 %
>
> 7/10=70% statt 75%
>
> Verschlechterung=5/75 = 6,67%
>
> Der zweite hat sich mehr verschlechtert als der erste.
> Dabei spielt es auch keine Rolle, dass es nur ganzzahlige
> Treffermöglichkeiten gibt.
>
> Mehr an "philosophisch"-stochastischen Überlegungen gibt
> diese Aufgabe nicht her. Sie gehört nicht in die Oberstufe,
> sondern in die Klasse 6 oder 7 (Prozentrechnung).
Da bin ich nicht so recht einverstanden und erwarte weitere Äusserungen !
Al-Chwarizmi
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Hier scheint es ja wohl wirklich mehr um "Philosophie" als um Mathematik zu gehen.
Denken wir also mal ganz extrem:
a) Ein normalerweise hundertprozentig-sicherer Elfmeterschütze vergibt den entscheidenden Elfmeter im Champions-League-Endspiel.
(Statt 20 von 20 Mal hat er also während dieser Saison nur 19 von 20 Elfern reingeschossen)
b) Jemand, der normalerweise wenigstens einen von 20 Elfmetern reinhaut, hat in dieser Saison bereits 19 von 19 Elfer daneben geschossen, und nun vergibt er auch noch den entscheidenden Elfmeter im Champions-League-Endspiel (wieso lässt man den überhaupt antreten?),
Wer von beiden ist denn nun der größere Loser?
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Vielleicht will uns diese Aufgabe nur zeigen, wie man mit Statistiken manipulieren und lügen kann:
Man benötigt nur eine Tabelle mit genügend Werten.
Nun kann man jeden Wert mit jedem anderen ins Verhältnis setzen, und dann kommt logischerweise irgendwo immer ein größter bzw. ein kleinster Vergleichswert raus.
Und je nachdem, welches Ergebnis man haben will, wählt man die miteinander zu vergleichenden Werte aus.
Und dann kommen Aussagen zustanden wie "Das Wirtschaftswachstum steigt" und als Gegenargument "Aber es steigt weniger stark als vorher" Und als Gegengegenargument "Aber im Vergleich zur USA ist der Anstieg doch größer" Und das Gegengegengegenargument "Aber in den USA war das Wachstum auch vorher schon schwächer"...
Und am Ende haben wieder alle Recht, jeder mit seinen Vergleichszahlen.
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> Vielleicht will uns diese Aufgabe nur zeigen, wie man mit
> Statistiken manipulieren und lügen kann:
>
> Man benötigt nur eine Tabelle mit genügend Werten.
> Nun kann man jeden Wert mit jedem anderen ins Verhältnis
> setzen, und dann kommt logischerweise irgendwo immer ein
> größter bzw. ein kleinster Vergleichswert raus.
>
> Und je nachdem, welches Ergebnis man haben will, wählt man
> die miteinander zu vergleichenden Werte aus.
Hallo Ralph,
ich denke nicht, dass es bei der vorliegenden Frage um eine
solche geht, bei der man nach Belieben Argumente für die
eine oder andere Alternative vorlegen kann.
Dein früherer Einwand war besser: du hast die Frage auf-
geworfen, welches denn genau das Kriterium sein solle, das
über das besser- oder schlechter-Abschneiden entscheiden
soll. Ein solches wird in der Aufgabenstellung nicht klar
vorgegeben. Deshalb geht es schon ein Stück weit darum,
die Argumentationsweise zu begründen.
In meinem Zugang berücksichtige ich, dass das ganze
Spiel im Grunde ein Zufallselement enthält und dass es
deshalb sinnvoll sein müsste, nicht einfach prozentuale
Trefferquoten zu vergleichen, sondern die Wahrscheinlich-
keiten für die eingetretenen Abweichungen von den
erwarteten Trefferquoten.
Dass das Problem in der vorliegenden Form nicht zur Klasse
der weltbewegenden Probleme gehört, darüber müssen wir
sicher nicht diskutieren... 
Gruß al-Chwarizmi
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Die konkrete Aufgabenstellung ist: Wer von beiden - gemessen an seiner alten Leistung - hat sich am meisten verschlechtert?
Sie heißt nicht: Wer ist der schlechtere Spieler?, sie heißt nicht: Ist der eine oder andere Spieler wirklich schlechter oder war es nur ein Zufallstreffer/Ausrutscher?, sie heißt nicht: soll Spieler A oder B abgelöst werden, weil er einen Leistungseinbruch hat? usw.
Ebenso klar ist die Frage nach den Spielern im Beispiel von Rabilein:
Wer immer 20 von 20 Treffern erzielt und an einem Tag nur 19, hat sich verschlechtert. Wer nie trifft und schon 19 mal daneben geschossen hat und dies auch beim 20. Mal tut, hat sich nicht verschlechtert! Er ist und bleibt eine Pfeife und viel schlechter als der andere, aber danach wird bei der Aufgabe überhaupt nicht gefragt.
Wenn ich feststelle, dass ich das große Einmaleins vergessen habe, habe ich mich verschlechtert und wenn ich feststelle, dass mein zweijähriger Neffe es immer noch nicht kann, hat er sich nicht verschlechtert, obwohl ich besser bin als er.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:41 Fr 23.05.2008 | | Autor: | Thorsten |
Hallo zusammen!
Ist doch positiv, dass hier so rege diskutiert wird.
Ob nun per Prozentrechnung oder per Standartabweichung, man gelangt zu dem Ergebnis das A (gemessen an seinen eigenen, bisherigen Leistungen) sich weniger verschlechterte und somit der bessere Schütze war.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:28 Sa 24.05.2008 | | Autor: | rabilein1 |
> Man gelangt zu dem Ergebnis das A (gemessen an seinen eigenen,
> bisherigen Leistungen) sich weniger verschlechterte und
> somit der bessere Schütze war.
Ist das wirklich so unzweifelhaft?
Das hieße dann in der logischen Konsequenz, dass ein schlechter Schütze sich relativ stärker verschlechtert, wenn er absolut den gleichen Aussetzer hat wie ein guter Schütze.
Also noch mal das Extrem-Beispiel:
Schütze GUT trifft normalerwiese 19 von 20 Mal (er schießt normalerweise 1 Mal von 20 Mal daneben).
Schütze SCHLECHT trifft normalerwiese 2 von 20 Mal (er schießt normalerweise 18 Mal von 20 Mal daneben).
Beim diesjährigen Wettbewerb treffen beide von ihren 20 Schüssen jeweils 1 Mal weniger als sie es sonst normalerweise tun.
Und nun behauptet Ihr, dass dieser eine Fehlschuss für Schütze SCHLECHT ein wesentlich gravierend-schlechteres Ergebnis darstellt als für Schütze GUT.
Aber WARUM??
Schütze GUT hat doppelt so oft daneben geschossen wie sonst.
Schütze SCHLECHT hat halb so oft getroffen wie sonst.
Wo ist da dieser gravierende Unterschied - der ja bei 95 % zu 10 % wesentlich stärker sein muss, als in der Aufgabe, wo es lediglich um 85% zu 75% geht?
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Autor GUT schreibt pro Monat 19 Zeitungsartikel für die Sportrubrik, Autor SCHLECHT 2. Alle Artikel haben ähnliche Qualität. In diesem Monat schreiben beide eine weniger.
GUT hat kaum nachgelassen, SCHLECHT schafft nur noch das halbe Pensum.
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Maschine A stellt pro Minute 19 Bauteile her, Maschine B nur 2 (von der selben Sorte). Wegen Störungen im Stromnetz hat Maschine A heute von den 19 Bauteilen immer 1 defektes hergestellt, Maschine B von den beiden auch immer 1 defektes.
Ist nicht klar, dass sich SCHLECHT bzw. B mehr verschlechtert hat als GUT bzw. A? (Wenn die Stromschwankungen so bleiben, kann man Maschine B doch wohl wegwerfen, A aber eingeschränkt weiter benutzen.)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:35 Sa 24.05.2008 | | Autor: | rabilein1 |
> Autor GUT schreibt pro Monat 19 Zeitungsartikel für die
> Sportrubrik, Autor SCHLECHT 2.
> Maschine A stellt pro Minute 19 Bauteile her, Maschine B
> nur 2 (von der selben Sorte).
Was du hier aber außer Acht gelassen hast, das ist die OBERGRENZE, das heißt, die möglichen SCHLECHTEN Resultate (= Fehlschüsse).
Du kannst doch immer alles von ZWEI Seiten sehen.
Bestes Beispiel: ein Diktat. Da wird nur gesagt, wie viele Fehler der Schüler gemacht hat, aber nicht, wie viele Wörter er richtig geschrieben hat. Würde man dagegen die korrekt geschriebenen Wörter zählen, dann hätte jemand mit einer EINS prozentual bestimmt nicht allzu viel mehr richtige Wörter, als jemand, der eine FÜNF hat.
Es ist also immer alles eine Frage der Betrachtung.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:39 Sa 24.05.2008 | | Autor: | aram |
> Du kannst doch immer alles von ZWEI Seiten sehen.
> Bestes Beispiel: ein Diktat. Da wird nur gesagt, wie viele
> Fehler der Schüler gemacht hat, aber nicht, wie viele
> Wörter er richtig geschrieben hat. Würde man dagegen die
> korrekt geschriebenen Wörter zählen, dann hätte jemand mit
> einer EINS prozentual bestimmt nicht allzu viel mehr
> richtige Wörter, als jemand, der eine FÜNF hat.
Also diese Aussage will ich mal ganz stark bezweifeln.
>
> Es ist also immer alles eine Frage der Betrachtung.
>
Durch eine Veränderung der Betrachtungsweise kann man manches relativieren oder verzerren. Die Tatsachen aber bleiben unverändert.
Mfg Aram
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:13 So 25.05.2008 | | Autor: | rabilein1 |
> > In einem Diktat hat jemand mit
> > einer EINS prozentual bestimmt nicht allzu viel mehr
> > richtige Wörter, als jemand, der eine FÜNF hat.
>
> Also diese Aussage will ich mal ganz stark bezweifeln.
Schüler GUT hat 2871 Wörter richtig geschrieben (eine EINS), Schüler SCHLECHT hat 2839 Wörter richtig geschrieben (eine FÜNF)
Das Diktat beinhaltete übrigens 2872 Wörter - aber das sei nur am Rand erwähnt.
Vergleicht man die beiden Schüler positiv miteinander miteinander, so kommt man auf
2839 : 2871 = 0.9889 , also 98.89 %, da fehlen also nur 1.11% an 100%.
Vergleicht man dagegen die Schüler negativ miteinander - also nicht die richtigen, sondern die falsch geschriebenen Wörter -, dann hat Schüler B 32 Mal so viele Fehler gemacht wie Schüler A.
> > Es ist also immer alles eine Frage der Betrachtung.
> Durch eine Veränderung der Betrachtungsweise kann man
> manches relativieren oder verzerren. Die Tatsachen aber
> bleiben unverändert.
Genau so ist es = siehe das Beispiel oben.
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![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]"){kind=small}
