Erwartungswert < Statistik (Anwend.) < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:03 Di 27.01.2009 | | Autor: | Nataliee |
| Aufgabe | Ein fairer Würfel wird 420 mal geworfen. Die Zufallsvariable X bezeichne die Summe aller AugenZahlen.
a)Bestimmen Sie Erwartungswert und Varianz.
a)Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit P(X > 1400) und P(1400 < X <= 1505) näherungsweise mit Hilfe der Normalapproximation ohne Stetigkeitskorrektur. |
Hallo ;),
bin mir bei der Aufgabe nicht sicher und möchte daher meine Lösung Vorstellen (für a) ).
a)
[mm] E(X)=420(\bruch{1}{6}(1+2+3+4+5+6))=1470
[/mm]
Mit Verschiebungsgesetz
[mm] Var(X)=\bruch{1}{6}(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2)-1470^2=-2 [/mm] 160 884,833
Das sieht wohl ein wenig zu hoch aus :).
Kann mir aber leider nicht erklären wie man sonst auf die Ergebnisse kommen soll.
Schönen Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:39 Di 27.01.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin Nataliee,
schreibe X in der Form [mm] $X=X_1+\dots+X_{420}$, [/mm] berechne
[mm] $\operatorname{E}[X_i]$ [/mm] und [mm] $\operatorname{Var}[X_i]$, [/mm] und benutze bekannte Rechenregeln.
vg Luis
PS: Wolltest du nicht noch eine Musterloesung zu einer Aufgabe posten?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:10 Di 27.01.2009 | | Autor: | Nataliee |
Hallo luis52,
habe damals die Aufgabe vorgerrechnet daher gab's in der Übung statt einer Mustelösung die Lösung die hier besprochen wurde und somit konnte ich dir leider keine Musterlösung schicken.
Zur Aufgabe:
> schreibe X in der Form [mm]X=X_1+\dots+X_{420}[/mm], berechne
> [mm]\operatorname{E}[X_i][/mm] und [mm]\operatorname{Var}[X_i][/mm], und
> benutze bekannte Rechenregeln.
>
a) [mm] E(X_i)=i*\bruch{1}{6}(1+2+3+4+5+6)=\bruch{7}{2}i
[/mm]
Demnach
[mm] Var(X_i)=\bruch{7}{2}i^2-(\bruch{7}{2}i)^2=\bruch{7}{2}i^2-\bruch{49}{4}i^2=-\bruch{35}{4}i^2
[/mm]
Soweit sogut?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:29 Di 27.01.2009 | | Autor: | luis52 |
>
> a) [mm]E(X_i)=i*\bruch{1}{6}(1+2+3+4+5+6)=\bruch{7}{2}i[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") i ist ein Index, kein Faktor, also
[mm] $\operatorname{E}[X_i]=\bruch{1}{6}(1+2+3+4+5+6)=\bruch{7}{2}$
[/mm]
> Demnach
> [mm]Var(X_i)=\bruch{7}{2}i^2-(\bruch{7}{2}i)^2=\bruch{7}{2}i^2-\bruch{49}{4}i^2=-\bruch{35}{4}i^2[/mm]
>
[mm] $\operatorname{Var}[X_i]=\bruch{1}{6}(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2)-\left(\bruch{7}{2}\right)^2=\bruch{35}{12}$.
[/mm]
Macht dich eine negative Varianz nicht stutzig?
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:30 Di 27.01.2009 | | Autor: | Nataliee |
Das sind doch jetzt Die Erwartungswerte für die einzelnen i=1,...,420. Man soll aber laut Aufgabenstellung "X bezeichne die Summe aller Augenzahlen" den Erwartungswert der Summe aller Würfe berechnen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:55 Di 27.01.2009 | | Autor: | steffenhst |
Hallo,
will mich nicht in Louis seine Hilfestellungen einmischen, aber es gilt doch folgendes:
setzen wir X = [mm] \summe_{i=1}^{420} X_i, [/mm] dann ist:
E(X) = [mm] E(\summe_{i=1}^{420} X_i) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{420} E(X_i) [/mm] aufgrund der Additivität des Erwartungswertes.
Das meinte er.
Grüße, Steffen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:57 Di 27.01.2009 | | Autor: | luis52 |
> setzen wir X = [mm]\summe_{i=1}^{420} X_i,[/mm] dann ist:
>
> E(X) = [mm]E(\summe_{i=1}^{420} X_i)[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{420} E(X_i)[/mm]
> aufgrund der Additivität des Erwartungswertes.
>
> Das meinte er.
> Grüße, Steffen
Genau. Und [mm]\operatornamen{Var}(\summe_{i=1}^{420} X_i)[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{420} \operatornamen{Var}(X_i)[/mm] wg Unabhaengigkeit.
vg Luis
PS: @Steffen: Es heisst "Luis", mit ohne "o".
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:46 Di 27.01.2009 | | Autor: | steffenhst |
entschuldige!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:51 Di 27.01.2009 | | Autor: | Nataliee |
Ok,
dann einigen wir uns als Antwort
a)Bestimmen Sie Erwartungswert und Varianz.
$ [mm] \operatorname{E}[X_i]=\bruch{1}{6}(1+2+3+4+5+6)=\bruch{7}{2} [/mm] $
$ [mm] \operatorname{Var}[X_i]=\bruch{1}{6}(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2)-\left(\bruch{7}{2}\right)^2=\bruch{35}{12} [/mm] $.
b)Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit P(X > 1400) und
P(1400 < X <= 1505) näherungsweise mit Hilfe der Normalapproximation ohne Stetigkeitskorrektur.
[mm] P(X>1400)=1-P(X<=1400)\cong 1-\Phi (\bruch{1400-420*\bruch{7}{2}}{\wurzel{420*\bruch{35}{12}}})=1-\Phi (-2)=1-(1-\Phi(2))=\Phi(2)\cong0.97725
[/mm]
[mm] P(1400
Müßte Stimmen Danke für die Hilfe!
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