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| Aufgabe | Es gibt viele Paar die sich besonders einen Jungen wollen, und deshalb so viele Kinder bekommen bis sie einen Jungen bekommen. Sie wollen allerdings maximal 5 Kinder.
Zeichne ein Baumdiagramm. Wie lautet der Erwartungswert und die Standartabweichung für die Anzahl der Kinder, die ein Paar bekommt?
Hinweis: Wahrscheinlichkeit für Junge ist 1/2 |
Hallo,
ich komme bei der Aufgabe nicht weiter. Das Baumdiagramm habe ich gezeichnet. Allerdings hab ich allgemein nicht so ganz verstanden was der Erwartungswert ist und wie man ihn berechnet.
Es ahndelt sich bei dem Ewartungswert um den Mittelwert oder?
[mm] \overline{x}\bruch{x1+x2+x3+x4+x5}{n} [/mm] ist die Formel die in meinem Buch steht. Aber was ist dabei x1 und x2 und so weiter?
Wäre nett, wenn mir das Jemand erklären könnte.
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Hallo.
Der Erwartungswert wird auch hin und wieder Mittelwert genannt, das ist richtig.
Er gibt im Endeffekt an welchen Mittelwert die Ergebnisse haben.
Der für x einzusetzende Wert ist jeweils die Anzahl der Kinder bei einem Ergebnis und n wäre wieviele mögliche Ergebnisse es gibt.
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Hi, BlackSalad,
die Formel ist echt nicht ganz eindeutig.
Vermutlich ist es so gemeint:
x1 ist die Anzahl der Kinder aus den Ein-Kind-Familien,
...
x5 ist die Anzahl der Kinder aus den Fünf-Kind-Familien.
n ist die Anzahl der betrachteten Familien.
Beispiel: Nehmen wir an, es wurden 100 Familien aufgelistet,
die den gegebenen Voraussetzungen entsprechen. (n=100)
Tabelle:
Familien mit 1 Kind 2 Kindern 3 K. 4 K. 5 K.
Anzahl 25 30 20 15 10
Dann ist der Mittelwert:
[mm] \overline{x} [/mm] = [mm] \bruch{1*25 + 2*30 + 3*15 + 4*15 + 5*10}{100} [/mm] = 2,4
mfG!
Zwerglein
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Hallo,
danke für die ausführliche Antwort.
Allerdings ist in der Aufgabenstellung nicht gegeben wieveile Familien es mit 1 Kind, 2 Kinder usw. gibt.
Da ist da nur die Wahrscheinlichkeit 1/2.
Bedeutet das , dass Familien mit
-2Kindern: p= 1/4
-3Kindern p=1/8
-4 Kinder p=1/16
-5 Kinder p=1/28
ist?
Und was mache ich dann mit den Wahrscheinlichkeiten?
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Hallo!
> Hallo,
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> danke für die ausführliche Antwort.
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> Allerdings ist in der Aufgabenstellung nicht gegeben
> wieveile Familien es mit 1 Kind, 2 Kinder usw. gibt.
>
> Da ist da nur die Wahrscheinlichkeit 1/2.
>
> Bedeutet das , dass Familien mit
> -2Kindern: p= 1/4
> -3Kindern p=1/8
> -4 Kinder p=1/16
> -5 Kinder p=1/28
Das stimmt nicht ganz bei den 5 Kindern: [mm] (1/2)^{5} [/mm] = 1/32.
> ist?
>
> Und was mache ich dann mit den Wahrscheinlichkeiten?
Der Erwartungswert kann grundsätzlich eigentlich nur von Zufallsvariablen angegeben werden.
Einfaches Beispiel: Würfeln.
Sei X die Zufallsvariable, die angibt, welche Augenzahl gewürfelt wurde.
Dann kann X die Werte von 1 bis 6 annehmen.
Der Erwartungswert ist nun:
$E(X) = P(X=1)*1 + P(X=2)*2 + P(X=3)*3 + P(X=4)*4 + P(X=5)*5 + P(X=6)*6$
(D.h. immer: Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen bestimmten Wert annimmt, mal den Wert selbst, das für alle Werte ausrechnen und dann aufeinander addieren).
Du solltest dir klar machen, dass obige Formel durchaus auch sehr intuitiv ist: Die Zufallsvariable nimmt bestimmte Werte an, und mit den Wahrscheinlichkeiten "gewichtet" man gewissermaßen diese einzelnen Werte. Wenn also eine Wahrscheinlichkeit, zum Beispiel P(X=3) sehr hoch wäre, dann würde auch "3" sehr stark in den Erwartungswert eingehen und der Erwartungswert läge nahe "3".
Weil beim Würfeln die Wahrscheinlichkeit gleich ist, dass eine 1,2,3,4,5 oder 6 kommt, beträgt die Wahrscheinlichkeit jeweils 1/6.
--> $P(X = 1) = P(X = 2) = ... = P(X = 6) = [mm] \frac{1}{6}$
[/mm]
Nun kannst du den Erwartungswert ausrechnen:
$E(X) = [mm] \frac{1}{6}*1 [/mm] + [mm] \frac{1}{6}*2 [/mm] + [mm] \frac{1}{6}*3 [/mm] + [mm] \frac{1}{6}*4 [/mm] + [mm] \frac{1}{6}*5 [/mm] + [mm] \frac{1}{6}*6 [/mm] = 3.5$
Das ist auch durchaus das, was wir erwarten: Durchschnittlich würfelt man eine "3.5" 
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Nun zu deinem Beispiel.
Karsten hat dir ja bereits erläutert, mit was für einer Zufallsvariable wir es hier zu tun haben:
X = Anzahl der Kinder eines Paares, das bis zum ersten Jungen Kinder macht, aber höchstens 5 haben will.
Dann kann X die Werte 1 bis 5 haben. (Mindestens ein Kind muss es ja sein, damit überhaupt ein Junge dabei sein kann; höchstens 5 Kinder will das Paar aber haben).
Nun ist wieder
$E(X) = P(X=1)*1 + P(X=2)*2 + P(X=3)*3 + P(X=4)*4 + P(X=5)*5$
Und nun müssen wir uns wieder daran machen, die Wahrscheinlichkeiten zu berechnen. Hier ist es aber eben nicht so wie beim Würfeln, dass jede Wahrscheinlichkeit gleichgroß ist.
Deswegen solltest du dir ja das Baumdiagramm malen.
Ich denke, mittlerweile dürften die Werte klar sein:
$P(X=1) = [mm] \frac{1}{2}$
[/mm]
(Denn entweder es ist beim ersten Kind ein Junge oder ein Mädchen)
$P(X=2) = [mm] \frac{1}{4}$
[/mm]
(Erst ist es also ein Mädchen gewesen (Wahrscheinlichkeit 1/2), und danach ein Junge (Wahrscheinlichkeit 1/2) --> Also 1/2*1/2 = 1/4, siehe auch dein Baumdiagramm!)
usw.
Nun kannst du den Erwartungswert ausrechnen!
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:54 Mo 01.02.2010 | | Autor: | karma |
Hallo und guten Tag,
nennen wir $X$ die Zufallsvariable,
die die Anzahl der Mädchen beschreibt,
bevor ein Junge geboren wird.
Die Aufgabenstellung
("Sie wollen allerdings maximal 5 Kinder.")
beschränkt den Wert von $X$ auf fünf.
Die Wahrscheinlichkeit für $X=1$ ist [mm] $\frac{1}{2}$,da
[/mm]
"Wahrscheinlichkeit für Junge ist 1/2".
Wie wahrscheinlich ist $X=2$?
$X=3$?
Usw.
Danke für die Info.
Schönen Gruß
Karsten
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also ich bin mir da nciht agnz sicher,
aber müsste nicht x=2 dann die wahrscheinlichkeit auch 1/2 sein. Weil es ja gleich wahrscheinlich ist, dass ein Junge oder ein Mädchen geboren wird?
Dann wäre für x=3 die wahrscheinlichkeit 1/4,
für x=4 1/8 und für x=5 1/16
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:21 Mo 01.02.2010 | | Autor: | karma |
Hallo und guten Tag,
$X=2$ bedeutet:
es wird erst ein Mädchen geboren und danach noch ein Mädchen geboren,
die Wahrscheinlichkeit hierfür ist ("'und' meint mal") [mm] $\frac{1}{2}\*\frac{1}{2}$.
[/mm]
Und so weiter.
Freundliche Grüße
Karsten
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Okay Danke.
Aber wenn doch ein Mädchen und danach noch ein Mädchen geboren wird, hat die Familie ja mindestens 3 Kinder, da sie ja unbedingst einen Jungen wollen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:05 Di 02.02.2010 | | Autor: | karma |
Hallo und guten Tag,
was ist übrigens die größte Anzahl von Mädchen,
die die Familie haben kann,
solange ihr Jungenwunsch unerhört bleibt?
Schönen Gruß
Karsten
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Hallo,
> 5 Stück
Genau
Aber hast du eigentlich meinen Post: hier gelesen?
Grüße,
Stefan
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aber wenn die Familie mit 2 Mädchen 3 Kinder hat; müsste es dann nicht 0,5*0,5*0,5 für die Wahrscheinlichkeit lauten? statt 0,5² ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:01 Do 04.02.2010 | | Autor: | karma |
Hallo und guten Morgen,
wenn man weiß,
daß ein Ehepaar,
das erst nach der ersten Knabengeburt den Kinderwunsch aufgegeben hatte
( ... und sich weder ein ungewolltes Kind einstellte noch Unfruchtbarkeit eintrat ),
drei Kinder hat,
wie hoch ist dann die Wahrscheinlichkeit von
- keines der drei Kinder ist ein Junge
- genau eines der drei Kinder ist ein Junge
- mehr als eines der drei Kinder ist ein Junge
- das drittgeborene Kind ist ein Junge?
Danke für die Antwort.
Schönen Gruß
Karsten
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- keines der drei Kinder ist ein Junge -> p=0
- genau eines der drei Kinder ist ein Junge ->p=0
- mehr als eines der drei Kinder ist ein Junge ->p=0
- das drittgeborene Kind ist ein Junge -> p=1
Denn Sie hören ja erst auf mit dem Kinder kriegn, wenn sie einen Jungen haben.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:07 So 07.02.2010 | | Autor: | karma |
Ein kleiner Schreibfehler:
- genau eines der drei Kinder ist ein Junge ->p=1.
Wie lautet der Erwartungswert und die Standartabweichung für die Anzahl der Kinder, die ein Paar bekommt?
Bezeichne Y die Zufallsvariable,
die die Kinderzahl ausdrückt.
Y=1 entspricht einem Jungen, [mm] $P(\{Y=1\})$?
[/mm]
Y=2 entspricht einem Mädchen gefolgt von einem Jungen, [mm] $P(\{Y=2\})$?
[/mm]
usw.
Schönen Gruß
Karsten
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Hallo,
also meinst du in Bezug auf die Frage in der Aufgabenstellung?
y=1 : p=0,5 P(Y=1)= 0,5
y=2 : p= 0,25 P(y=2)= 0,5
y=3 : P= 1/8 P(Y=3)= 3/8
Y=4 : P= 1/16 P(Y=4)= 0,25
Y=5 : P= 1/32 P(Y=5)= 5/32
Stimmt das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:08 Mo 08.02.2010 | | Autor: | karma |
Hallo und guten Morgen,
[mm] $E(Y)=1*P(\{Y=1\})+2*P(\{Y=2\})+3*P(\{Y=3\})+4*P(\{Y=4\})+5*P(\{Y=5\})$
[/mm]
Soweit, so gut.
[mm] $P(\{Y=2\})=0.5$,
[/mm]
das sehe ich nicht so,
[mm] $P(\{Y=2\})=0.5\ [/mm] *\ 0.5$.
Warum ist [mm] $P(\{Y=3\})=\frac{3}{8}$?
[/mm]
Danke für die Auskunft.
Schönen Gruß
Karsten
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Ähm...ich dachte weil
1/8 die wahrscheinlichkeit ist und weil es 3 Kinder sind, das ganze mal 3?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:53 Mo 08.02.2010 | | Autor: | karma |
Ich sehe die Sache so:
o--m--m--m--m--m
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j j j j j
1 2 3 4 5 5
Der Baum startet in 'o', 'm' bedeutet Mädchen, 'j' Junge,
die Zahlen $1,\ [mm] \dots\ [/mm] ,5$ die Wert von $Y$.
[mm] $P(\{Y=1})=0.5$, [/mm]
[mm] $P(\{Y=2})=0.5*0.5$,
[/mm]
[mm] $P(\{Y=3})=0.5*0.5*0.5$,
[/mm]
[mm] $P(\{Y=4})=0.5*0.5*0.5*0.5$,
[/mm]
[mm] $P(\{Y=5})=0.5^{5}+0.5^{5}$.
[/mm]
Insgesamt:
[mm] $P(\{Y=1\})+P(\{Y=2\})+P(\{Y=3\})+P(\{Y=4\})+P(\{Y=5\})=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{32}=
[/mm]
[mm] \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{2}{16}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{2}{8}=\frac{1}{2}+\frac{2}{4}=1$
[/mm]
Einverstanden?
Dann wird
[mm] $E(Y)=1*\frac{1}{2}+2*\frac{1}{4}+3*\frac{1}{8}+4*\frac{1}{16}+5*(\frac{1}{32}+\frac{1}{32})$
[/mm]
und
[mm] $E(Y^{2})=1*\frac{1}{2}+4*\frac{1}{4}+9*\frac{1}{8}+16*\frac{1}{16}+25*(\frac{1}{32}+\frac{1}{32})$.
[/mm]
Schönen Gruß
Karsten
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