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| Aufgabe | eine Zufallsgröße hat die Dichte f mit
[mm] f(x)=8x^{-3}, [/mm] für [mm] x\ge [/mm] a, sonst 0
dabei ist a>0.
Bestimmen sie a. Die Verteilungsfkt. F und den Erwartungswert E[X] |
Hallo alle zusammen ich habe die aufgabe fast fertig ich find nur den Erwartungswert von mir komisch....
Ich habe mir gedacht, dass ich a so bestimmen muss, so dass
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{f(x) dx}=1
[/mm]
gelten muss sonst wäre später F keine Verteilungsfkt.
[mm] \integral{f(x) dx}=-4x^{-2} [/mm]
dann hab ich [mm] 4x^{-2}=1 [/mm] aufgelöst und 2 rausbekommen...
also a=2.
Sei nun [mm] \Omega =(-\infty [/mm] ,2) und k>2
für die Verteilungsfkt. hab ich dann
[mm] \integral_{-\infty}^{k}{f(x) dx}=\integral_{\Omega}{f(x) dx}+\integral_{2}^{k}{f(x) dx}=1-4k^{-2} [/mm] rausbekommen
also [mm] F(x)=1-4x^{-2} [/mm] für [mm] x\ge [/mm] a, sonst 0.
Nun zu E[x]...
[mm] E[x]=\integral_{-\infty}^{\infty}{x*f(x) dx}=\integral_{\Omega}{xf(x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{2}^{\infty}{f(x) dx}=1
[/mm]
Ist das so richtig? Weil 1 als Erwartungswert kommt mir spanisch vor.
Vielen dank im vorraus.
Gruß Barney
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Huhu,
> Ich habe mir gedacht, dass ich a so bestimmen muss, so
> dass
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{f(x) dx}=1[/mm]
> gelten muss sonst
> wäre später F keine Verteilungsfkt.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]\integral{f(x) dx}=-4x^{-2}[/mm]
> dann hab ich [mm]4x^{-2}=1[/mm] aufgelöst und 2 rausbekommen...
Du solltest vielleicht noch aufschreiben, wie du auf [mm] $4x^{-2} [/mm] = 1 $ kommst.
Insbesondere kommst du eben nicht auf [mm] $4x^{-2} [/mm] = 1$ sondern korrekt aufgeschrieben auf [mm] $4a^{-2} [/mm] = 1$.
Und eine kleine Anmerkung, dass $a > 0$ gelten soll, wär hier auch der Form halber angebracht 
> also a=2.
> Sei nun [mm]\Omega =(-\infty[/mm] ,2) und k>2
> für die Verteilungsfkt. hab ich dann
> [mm]\integral_{-\infty}^{k}{f(x) dx}=\integral_{\Omega}{f(x) dx}+\integral_{2}^{k}{f(x) dx}=1-4k^{-2}[/mm]
> rausbekommen
Auch hier eine Anmerkung: Wozu definierst du dir [mm] \Omega [/mm] ?
Zerleg dein Integral doch direkt in 2 Riemann-Integrale, insbesondere umgehst du dann die unschöne Vermischung der Lebesgue und Riemann-Schreibweisen (denn was ist denn [mm] \integral_{\Omega}{f(x) dx}? [/mm] Für Riemann fehlen die Grenzen, für Lebesgue das Maß...)
Dann wär ein Zwischenschritt schön, wo du f(x) einsetzt ins jeweilige Integral.
> also [mm]F(x)=1-4x^{-2}[/mm] für [mm]x\ge[/mm] a, sonst 0.
Schön geschrieben:
[mm] $F(x)=\begin{cases}1-4x^{-2}, & \mbox{für } x\ge a \\ 0, & \mbox{sonst }\end{cases}$
[/mm]
bzw. noch schöner, da wir ja kennen:
[mm] $F(x)=\begin{cases}1-4x^{-2}, & \mbox{für } x\ge 2 \\ 0, & \mbox{sonst }\end{cases}$
[/mm]
> Nun zu E[x]...
> [mm]E[x]=\integral_{-\infty}^{\infty}{x*f(x) dx}=\integral_{\Omega}{xf(x) dx}[/mm] + [mm]\integral_{2}^{\infty}{f(x) dx}=1[/mm]
> 1 als Erwartungswert kommt mir spanisch vor.
Stimmt. Hier hast du inbesondere im zweiten Integral ein x unterschlagen.
Versuchs damit mal nochmal
MFG,
Gono.
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Erst einmal danke für deine schnelle antwort :)...
Das mit dem vergessenen $x$ im zweiten integral war natürlich dumm.Ich glaube die schreibweise solle nun richtig sein ;)...
$ [mm] E[x]=\integral_{-\infty}^{\infty}{x\cdot{}f(x) dx}=\limes_{l\rightarrow 2^{-}}\integral_{-\infty}^{l}{xf(x) dx} [/mm] $ + $ [mm] \integral_{2}^{\infty}{xf(x) dx}= \integral_{2}^{\infty}{xf(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{2}^{\infty}{x*8x^{-3} dx}= \integral_{2}^{\infty}{8x^{-2} dx}=[-8x^{-1}]_{2}^{\infty}=4 [/mm] $
Ich glaub der Erwartungswert ist schon realistischer ;) ist der auch richtig?
Nochmals vielen dank
Barney
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:22 So 11.07.2010 | | Autor: | luis52 |
> Ich glaub der Erwartungswert ist schon realistischer ;) ist
> der auch richtig?
>
>
vg Luis
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Eine Anmerkung noch: Wieso du da den Limes benutzt, ist mir schleierhaft.
Es ist zwar nicht falsch, aber macht an der Stelle auch irgendwie keinen Sinn......
MFG,
Gono.
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ja ist mir auch schleierhaft.... ich habe gedacht wenn ich 2 als obere Grenze des ersten Integrals angebe dann würde ich ein anderes ergebnis bekommen
Aber das stimmt nicht ganz ;), so bin ich auf nummer sicher gegangen.
Schönen Sonntag noch
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