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| Aufgabe | Es sei X [mm] \sim [/mm] Pois [mm] (\lambda) [/mm] eine Poisson-verteilte Zufallsvariable mit ganzzahligem Parameter [mm] \lambda \in \IN. [/mm] Zeigen Sie:
E (|X - [mm] \lambda|) [/mm] = [mm] \bruch{2\lambda^{\lambda}e^{-\lambda}}{(\lambda - 1)!} [/mm] |
Hallo zusammen,
bisher habe ich nicht viel geschafft. Es gilt ja:
[mm] E(|X-\lambda|) [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty}|k-\lambda|e^{-\lambda}\bruch{\lambda^{k}}{k!} [/mm] und nun hatte ich die Idee, das in zwei Summen auseinanderzuziehen:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}|k-\lambda|e^{-\lambda}\bruch{\lambda^{k}}{k!} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\lambda-1}(\lambda-k)e^{-\lambda}\bruch{\lambda^{k}}{k!} [/mm] + [mm] \summe_{k=0}^{\infty}ke^{-\lambda}\bruch{\lambda^{\lambda+k}}{\lambda+k)!}
[/mm]
wobei man die zweite Summe nun, glaub ich, durch Herausziehen umbauen kann zu:
[mm] \summe_{k=0}^{\lambda-1}(\lambda-k)e^{-\lambda}\bruch{\lambda^{k}}{k!} [/mm] + [mm] \bruch{\lambda^{\lambda}k!}{(\lambda+k)!} \summe_{k=0}^{\infty}ke^{-\lambda}\bruch{\lambda^{k}}{k!} [/mm]
wodurch wir haben:
[mm] \summe_{k=0}^{\lambda-1}(\lambda-k)e^{-\lambda}\bruch{\lambda^{k}}{k!} [/mm] + [mm] \bruch{\lambda^{\lambda}k!}{(\lambda+k)!} [/mm] E(X) =
[mm] \summe_{k=0}^{\lambda-1}(\lambda-k)e^{-\lambda}\bruch{\lambda^{k}}{k!} [/mm] + [mm] \bruch{\lambda^{\lambda+1}k!}{(\lambda+k)!}
[/mm]
Tja und da bin ich nun und weiß nicht weiter. Ich hab das Gefühl, der Lösung recht nah zu sein. Weiß aber nicht, wie ich die erste Summe zusammenfassen soll, bzw. woher ich die 2 im Nenner der Lösung bekommen soll. Für einen kleinen Tipp, ob der Anfang überhaupt zielführend sein könnte, wäre ich sehr dankbar. Zuerst hatte ich es per Induktion über lambda versucht, das verlief allerdings noch weniger erfolgreich.
Beste Grüße
Karl
NACHTRAG:
Sehe gerade: Auf dem selben Übungsblatt haben wir schon gezeigt, dass für X [mm] \sim [/mm] Pois [mm] (\lambda) [/mm] für alle k aus [mm] \IN [/mm] gilt:
E(X(X-1) ... (X-k+1)) = [mm] E(\produkt_{i=0}^{k-1}(X-(i)) [/mm] = [mm] \lambda^{k}
[/mm]
Vielleicht hilft das ja weiter. Andere Tipps kann ich nicht entdecken. Das bisher noch keiner etwas geantwortet hat, hat ja fast etwas tröstliches...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:02 Mo 29.04.2013 | | Autor: | luis52 |
> wobei man die zweite Summe nun, glaub ich, durch
> Herausziehen umbauen kann zu:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\lambda-1}(\lambda-k)e^{-\lambda}\bruch{\lambda^{k}}{k!}[/mm]
> + [mm]\bruch{\lambda^{\lambda}k!}{(\lambda+k)!} \summe_{k=0}^{\infty}ke^{-\lambda}\bruch{\lambda^{k}}{k!}[/mm]
Moin, wie das? $k$ ist doch ein Summationsindex!
Ich habe mal probiert [mm] $\nu=\lambda-k\iff k=\lambda-\nu$ [/mm] in der ersten
und [mm] $\nu=k-\lambda\iff k=\nu+\lambda$ [/mm] in der zweiten Summe zu setzen.
Nachdem [mm] $e^{-\lambda}$ [/mm] ausgeklammert wird lauten die Summen (ohne Gewaehr):
[mm] $\sum_{\nu=0}^\lambda\nu\frac{\lambda^{\lambda-\nu}}{(\lambda-\nu)!}+ \sum_{\nu=1}^\infty\nu\frac{\lambda^{\nu+\lambda}}{(\nu+\lambda)!}$.
[/mm]
Das wuerde schon mal den Faktor [mm] $\lambda^\lambda$ [/mm] erklaeren ...
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:36 Di 30.04.2013 | | Autor: | karlhungus |
Hallo Luis und vielen Dank für's Mitmachen. Ich hab's nicht mehr lösen können, auch nicht mit Deinem Tipp. Heute ist Besprechung - ich bin gespannt 
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