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| Aufgabe | Es wird mit zwei fairen Tetraeder jeweils einmal geworfen. Die Zufallsvariable X gebe das Ergebnis des ersten Wurfes, Y das Ergebnis des zweiten Wurfs an.Wie üblich sei [mm] $\IP^{(X,Y)}$ [/mm] die Laplace-Verteilung über [mm] $\{1,...,4\}^2$. [/mm] Berechnen Sie für Z = max(X,Y) den Korrelationskoeffizienten [mm] $\rho_{X,Y}$.
[/mm]
Hinweis: berechnen Sie zunächst $E(X), [mm] \\ E(X^2), \\ [/mm] E(Z), [mm] \\ E(Z^2), \\ [/mm] Cov(X,Z)$, sowie die Standardabweichungen von X und Z. |
Hallo zusammen,
ich habe mich mal an der Aufgabe versucht, bin mir aber sicher, dass das falsch ist. Wäre lieb, wenn mal jemand drüberschauen könnte und vielleicht meinen Fehler findet.
$E(X) = [mm] \summe_{\omega \in \Omega} X(\omega) \cdot P(\{\omega\})$
[/mm]
$= 1/4 + 2/4 + 3/4 + 4/4 = 2,5$
[mm] $E(X^2) [/mm] = 1/4 + 4/4 + 9/4 + 16/4 = 7,5$
Nun zu $Z = max(X,Y)$: Hier habe ich zuerst folgende Tabelle aufgestellt,um zu sehen, welche Ergebnisse Z überhaupt haben kann, und welche Wahrscheinlichkeiten diese haben.
[mm] \begin{matrix}
Y/X & 1 & 2 & 3 & 4 \\
1 & 1 & 2 & 3 & 4 \\
2 & 2 & 2 & 3 & 4 \\
3 & 3 & 3 & 3 & 4 \\
4 & 4 & 4 & 4 & 4
\end{matrix}
[/mm]
P(Z=1)= 1/16, P(Z=2)= 3/16, P(Z=3)= 5/16, P(Z=4)= 7/16
Daher folgt:
$E(Z) = 1/16 + 6/16 + 15/16 + 28/16 = 3,25$
[mm] $E(Z^2) [/mm] = 1/16 + 12/16 + 45/16 + 112/16 = 10,625$
Weiter gilt:
$Cov(X,Z)= E(XZ)-E(X)E(Z)$
Auch für XZ habe ich eine Tabelle angelegt:
[mm] \begin{matrix}
Z/X & 1 & 2 & 3 & 4 \\
1 & 1 & unmöglich & unmöglich & unmöglich \\
2 & 2 & 4 & unmöglich & unmöglich \\
3 & 3 & 6 & 9 & unmöglich \\
4 & 4 & 8 & 12 & 16
\end{matrix}
[/mm]
P(XZ=1)= 1/10, P(XZ=2)= 1/10, P(XZ=3)= 1/10, P(XZ=4)= 2/10, P(XZ=6)= 1/10, P(XZ=8)= 1/10, P(XZ=9)= 1/10, P(XZ=12)= 1/10, P(XZ=16)= 1/10
Daher folgt:
$Cov(X,Z)= E(XZ)-E(X)E(Z)$
$=1/10 + 2/10 + 3/10 + 4/10 + 4/10 + 6/10 + 8/10 + 9/10 + 12/10 + 16/10 - 8,125 = -1,625$
Kommen wir zu [mm] $\rho_{X,Y}$:
[/mm]
[mm] $\rho_{X,Y} [/mm] = [mm] \bruch{Cov(X,Z)}{\sigma_X \cdot \sigma_Z}$
[/mm]
[mm] $\sigma_X [/mm] = [mm] \wurzel{Var(X)} [/mm] = [mm] \wurzel{E(X^2)-(E(X))^2} [/mm] $
$= [mm] \wurzel{7,5 - 6,25} [/mm] = [mm] \wurzel{1,25}$
[/mm]
[mm] $\sigma_Z [/mm] = [mm] \wurzel{Var(Z)} [/mm] = [mm] \wurzel{E(Z^2)-(E(Z))^2} [/mm] $
$= [mm] \wurzel{10,625 - 10,562} [/mm] = [mm] \wurzel{0,0625} [/mm] = 0,25$
Insgesamt also:
[mm] $\rho_{X,Y} [/mm] = [mm] \bruch{Cov(X,Z)}{\sigma_X \cdot \sigma_Z} [/mm] = [mm] \bruch{-1,625}{\wurzel{1,25} \cdot 0,25} \approx [/mm] -5,81$
Dieses Ergebnis kann ja nun schlecht sein, da der Korrelationskoeffizient zwischen -1und 1 liegen muss...
LG fagottator
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Hiho,
deine Verteilung von $X*Z$ stimmt nicht.
Bei dir ist ja $P(XZ = 1) = [mm] \bruch{1}{10}$, [/mm] es ist doch aber:
$P(XZ = 1) = P(X=1, Z=1) = P(Z=1) = [mm] \bruch{1}{16}$
[/mm]
Berechne die Verteilung von $X*Z$ mal nicht über eine Tabelle, sondern "von Hand", in dem du alle Fälle explizit hinschreibst, in denen das Ergebnis vorkommen kann. Dann kannst du es recht leicht ausrechnen. Nötigenfalls breche die Darstellung soweit runter, dass du nur noch eine Darstellung hast, die von X und Y abhängt, davon kennst du ja das Ergebnis.
Eine andere Herangehensweise wäre noch folgende: Welche Möglichkeit kennst du denn, um Erwartungswerte der Form E[f(X,Y)] zu berechnen, wenn du die gemeinsame Verteilung von X und Y kennst?
MFG,
Gono.
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