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Hallo zusammen,
ich muss zur Zeit den Erwartungswert der crude hazard rate berechnen.
Die crude hazard rate ist definiert als
[mm]\tilde q(t_j)=\frac{d_j}{\Delta n_j}[/mm], wobei
[mm]d_j=\sum_{i=1}^{n} 1_{X_i \in I_j, \delta_i=1} [/mm] Anzahl der Ereignisse im Intervall [mm]I_j=[\Delta(j-1),\Delta j)[/mm] und
[mm]n_j=\sum_{i=1}^{n} 1_{X_i > \Delta(j-1)} [/mm] Anzahl der Individuen unter Risiko zu Beginn von Intervall [mm]I_j[/mm] sind.
(1 ist die Indikatorfunktion)
Folgende Berechnung:
[mm]E(\tilde q(t_j)) = E(\frac{d_j}{\Delta n_j}) = \frac{1}{\Delta}E(\sum_{i=1}^{n} 1_{X_i \in I_j, \delta_i=1} / \sum_{i=1}^{n} 1_{X_i > \Delta(j-1)}) = \frac{1}{\Delta} E(n 1_{X_1 \in I_j, \delta_1=1} / \sum_{i=1}^{n} 1_{X_i > \Delta(j-1)}) = \frac{n}{\Delta} E(1_{X_1 \in I_j, \delta_1=1}) E(\frac{1}{\sum_{i=1}^{n} 1_{X_i > \Delta(j-1)}}) = \frac{n}{\Delta} P(X_1 \in I_j,\delta_1=1) E(\frac{1}{\sum_{i=1}^{n} 1_{X_i > \Delta(j-1)}}) [/mm]
[mm]= \frac{n}{\Delta} p(t_j) E(\frac{1}{\sum_{i=1}^{n} 1_{X_i > \Delta(j-1)}}) = \frac{n}{\Delta} p(t_j) E(\frac{1}{1_{X_1 > \Delta (j-1)}+\sum_{i=2}^{n} 1_{X_i > \Delta(j-1)}} | X_1)[/mm]
Folgende Frage: Darf ich den Erwartungswert des Bruches einfach in zwei Erwartungswerte umschreiben? Sprich sind Nenner und Zähler unabhängig? Und den letzten Schritt verstehen ich nicht, wie man den Erwartungswert in den bedingten Erwartungswert umformen darf?
Desweiteren muss ich auch noch die Varianz berechnen also:
[mm]E(\tilde q(t_j)^2) = E((\frac{d_j}{\Delta n_j})^2) = \frac{n}{\Delta^2}E(1_{X_1 \in I_j,\delta_1=1}/n_j^2) + \frac{n(n-1)}{\Delta^2}E(1_{X_1,X_2 \in I_j,\delta_1=\delta_2 =1}/n_j^2) [/mm]
Hier verstehe ich den letzten Schritt auch nicht.
Danke für die Hilfe ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Mo 05.03.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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