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| Aufgabe | Sei $Y [mm] \sim [/mm] N(0, [mm] \sigma^2)$ [/mm] , zeige:
[mm] $\mathbb{E}[Y^{2n}] [/mm] = [mm] \frac{2n)!}{n!}\bigl(\frac{\sigma^2}{2}\bigl)^n$ [/mm] sowieo:
[mm] $\mathbb{E}[Y^{2n+1}] [/mm] = 0$ |
Hallo,
leider weiß ich nicht so recht wie ich das zeigen soll :(
Habt ihr eventuell einen Ansatz als Vorschlag?
Beste Grüße
Peter_123
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:28 Fr 17.10.2014 | | Autor: | Peter_123 |
pardon da steht natürlich Y
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:48 Fr 17.10.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
betrachte die Funktionen $f: [mm] \IR^+$ \to \IR$$, $f(a)=\integral_{-\infty}^{\infty}{\rho_Y(\sqrt a x) dx}$, [/mm] wo [mm] $\rho_Y(x)= \frac {1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac {x^2}{2\sigma^2}\right) [/mm] $.
Leite die Funktion n mal auf zwei Weisen ab.
Liebe Grüße
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> Hallo,
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> betrachte die Funktionen [mm]f: \IR^+[/mm] [mm]\to \IR[/mm] [mm][/mm],
> [mm]f(a)=\integral_{-\infty}^{\infty}{\rho_Y(\sqrt a x) dx}[/mm], wo
> [mm]\rho_Y(x)= \frac {1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac {x^2}{2\sigma^2}\right) [/mm].
>
> Leite die Funktion n mal auf zwei Weisen ab.
>
Hallo,
Wie meinst du auf zwei Weisen?
> Liebe Grüße
Lg Peter
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:33 Fr 17.10.2014 | | Autor: | andyv |
Man kann einmal unter dem Integral differenzieren (wieso?), ein anderes mal das Integral auswerten und dann differenzieren.
Liebe Grüße
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> Man kann einmal unter dem Integral differenzieren (wieso?),
Satz von Lebesque vermutlich.
> ein anderes mal das Integral auswerten und dann
> differenzieren.
alles klar - auswerten und dann differenzieren wird allerdings vermutlich 0 liefern?
>
> Liebe Grüße
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:44 Fr 17.10.2014 | | Autor: | andyv |
> > Man kann einmal unter dem Integral differenzieren (wieso?),
> Satz von Lebesque vermutlich.
Ja, damit kann man das begründen.
> > ein anderes mal das Integral auswerten und dann
> > differenzieren.
> alles klar - auswerten und dann differenzieren wird
> allerdings vermutlich 0 liefern?
Ich denke nicht.
> >
> > Liebe Grüße
>
>
> LG
>
Liebe Grüße
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> Hallo,
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> betrachte die Funktionen [mm]f: \IR^+[/mm] [mm]\to \IR[/mm] [mm][/mm],
> [mm]f(a)=\integral_{-\infty}^{\infty}{\rho_Y(\sqrt a x) dx}[/mm], wo
> [mm]\rho_Y(x)= \frac {1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac {x^2}{2\sigma^2}\right) [/mm].
>
> Leite die Funktion n mal auf zwei Weisen ab.
>
> Liebe Grüße
okay also du meinst:
[mm] $\integral_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma}exp(-\frac{ax^2}{2\sigma^2}) [/mm] dx$
auf zwei Weise nach x nmal differenzieren?
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:02 Fr 17.10.2014 | | Autor: | andyv |
Nach a differenzieren, x ist Integrationsvariable.
Uebrigens kannst du das auch mit vollständiger Induktion zeigen, falls dir mein Vorschlag nicht gefällt. Der Induktionsbeweis ist vermutlich auch etwas schneller, allerdings - meiner Meinung nach - nicht halb so schön.
Liebe Grüße
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hmm tut mir leid aber aus dem werde ich dennoch nicht schlau - vor allem wenn ich das n-mal differenziere komme ich doch dennoch nicht auf die Form
[mm] $\frac{(2n)!}{n!}\frac{(\sigma^2}{2})^n [/mm] $ ....
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:49 Fr 17.10.2014 | | Autor: | andyv |
Auf welche Form kommst du denn dann?
Was ist die n-te Ableitung von [mm] $f(a)=a^{-1/2}$ [/mm] bei 1?
Liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:04 Sa 18.10.2014 | | Autor: | Peter_123 |
Danke.
Hatte mich lediglich verrechnet.
Lg
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