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| Aufgabe | Ein Hellseher wirbt mit folgender Aussage: "Sage werdenden Eltern das Geschlecht ihres Kindes voraus. Bei Nichteintreffen Geld zurück!"
Die Vorhersage kostet 100EUR, der Hellseher wirft eine Münze. Die Wahrscheinlichkeit einer Mädchengeburt sei 0.465. Berechnen Sie das mittlere Jahreseinkommen des Hellsehers, wenn 100 Anfragen je Monat eintreffen. Mit welcher Strategie kann er sein Jahreseinkommen (bei gleichem Tarif) verbessen?
Hinweis: Stellen Sie eine Zufallsvariable "Gewinn" auf und berechnen Sie ihren Erwartungswert. |
Hier ist wieder mal eine schöne Aufgabe zu meinem "Lieblingsthemengebiet". Mein erster Ansatz war einen zweistufigen Wahrscheinlichkeitsbaum aufzustellen. Die erste Stufe ist das Ergebnis des Münzwurfes. Also "Kopf", oder "Zahl" mit jeweils einer Wahrsch. von 0.5 und die zweite Stufe des Baumes Mädchengeburt mit Wahrsch. 0.465 und Jungengeburt mit 0.535.
Dann habe ich die Ereignisse, Aussage des Hellseher triff und Aussage trifft nicht zu. Dazu habe ich dann die passenden Pfade aus dem Baum herausgesucht und die Wahrscheinlichkeiten addiert.
Aber irgendwie bringt mich das nicht weiter. Ist der Ansatz komplett falsch? Wenn nicht, wie geht es dann weiter?
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Hi,
dein Ansatz ist schon mal ganz gut. Du machst den Baum mit zwei Stufen.
{m,w} ist das Ergebnis des Münzwurfs, {M,W} ist das Ergebnis der Geburt.
Du hast dann alle Ereignisse {(m,M),(m,W),(w,M),(w,W)}. mit den Wahrscheinlichkeiten
{ [mm] \bruch{1}{2}*p,\bruch{1}{2}*q,\bruch{1}{2}*p,\bruch{1}{2}*q [/mm] }. Wobei p hier die WK für einen Sohn, und q die für die Tochter ist.
Nun mußt die jedoch nicht die WKen addieren, sondern den Erwartungswert für den Hellseher berechnen:
[mm] E=\summe_{A}P(A)*Betrag(A), [/mm] über alle Ereignisse [mm] A\in [/mm] {(m,M),(m,W),(w,M),(w,W)} und mit
[mm] Betrag(A)=\begin{cases} 100, & \mbox{für eine korrekte Vorhersage} \\ 0, & \mbox{für eine falsche Vorhersage} \end{cases}.
[/mm]
Dann erhälst du [mm] E=\bruch{1}{2}*p*100+\bruch{1}{2}*q*0+\bruch{1}{2}*p*0+\bruch{1}{2}*q*100=50p+50q=50(p+q)=50.
[/mm]
Seine erwarteten Einnahmen bei einem Münzwurf sind also 50.
Würde er stattdessen ohne Münzwurf das Geschlecht vorhersagen, so würde er einfach immer einen Jungen ankündigen.
Dann ist sein Erwartungswert E=p*100+q*0=53,50.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:51 Fr 08.06.2007 | | Autor: | magic1980 |
Hey Super, Danke für die Antwort.
Eine andere Möglichkeit wäre, dass er eine gezinkte Münze wirft, die häufiger "voraussagt", dass ein Junge geboren wird. 
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