Erwartungswert stetige ZV < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei X eine nichtnegative, stetig verteilte Zufallsvariable mit Wahrscheinlichkeitsdichte f und Verteilungsfunktion F. Zeigen Sie, dass
$E(X) = [mm] \integral_{0}^{\infty}(1-F(x))dx$
[/mm]
gilt. (E(X) Erwartungswert) |
Hallo!
Ich habe enorme Probleme, den Beweis zu führen.
Wir haben Erwartungswert von stetigen von stetigen Zufallsvariablen mit Wahrscheinlichkeitsdichte f(x) definiert als: $E(X) = [mm] \integral_{-\infty}^{\infty} [/mm] x*f(x)\ dx$.
Die Verteilungsfunktion lautet $F(x) = [mm] \integral_{-\infty}^{x}f(y)\ [/mm] dy$.
Nun habe ich mir gedacht:
$E(X) = [mm] \integral_{-\infty}^{\infty} [/mm] x*f(x)\ dx = [mm] \left[x*\integral_{0}^{x}f(y)\ dy\right]_{-\infty}^{\infty}-\integral_{-\infty}^{\infty}1*\integral_{0}^{x}f(y)\ [/mm] dy\ dx$
Das würde ich mir selbst ja sogar noch abkaufen. Aber schon ab dem nächsten Schritt bin ich mir unsicher:
Es ist [mm] $\integral_{0}^{x}f(y)\ [/mm] dy = [mm] \integral_{-\infty}^{x}f(y)dy [/mm] - [mm] \integral_{-\infty}^{0}f(y)\ [/mm] dy = F(x) - F(0)$, also:
[mm] $=\left[x*(F(x)-F(0))\right]_{-\infty}^{\infty}-\integral_{-\infty}^{\infty}(F(x)-F(0))\ [/mm] dx$
Und ab jetzt komme ich nicht mehr weiter... Bitte um einen Denkanstoß.
Danke und viele Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:10 So 15.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Stefan!
> Sei X eine nichtnegative, stetig verteilte Zufallsvariable
> mit Wahrscheinlichkeitsdichte f und Verteilungsfunktion F.
> Zeigen Sie, dass
>
> [mm]E(X) = \integral_{0}^{\infty}(1-F(x))dx[/mm]
>
> gilt. (E(X) Erwartungswert)
>
> Ich habe enorme Probleme, den Beweis zu führen.
>
> Wir haben Erwartungswert von stetigen von stetigen
> Zufallsvariablen mit Wahrscheinlichkeitsdichte f(x)
> definiert als: [mm]E(X) = \integral_{-\infty}^{\infty} x*f(x)\ dx[/mm].
>
> Die Verteilungsfunktion lautet [mm]F(x) = \integral_{-\infty}^{x}f(y)\ dy[/mm].
>
> Nun habe ich mir gedacht:
>
> [mm]E(X) = \integral_{-\infty}^{\infty} x*f(x)\ dx = \left[x*\integral_{0}^{x}f(y)\ dy\right]_{-\infty}^{\infty}-\integral_{-\infty}^{\infty}1*\integral_{0}^{x}f(y)\ dy\ dx[/mm]
Hier hast du ein Problem: der Ausdruck [mm] $\left[x*\integral_{0}^{x}f(y)\ dy\right]_{-\infty}^{\infty}$ [/mm] ist unendlich: es ist ja $x [mm] \int_0^x [/mm] f(y) dy = x F(x)$, und $F(x) = 0$ fuer $x < 0$ und [mm] $\lim_{x\to\infty} [/mm] F(x) = 1$.
Der ganze Ausdruck macht also keinen Sinn.
Versuch doch mal stattdessen den Satz von Fubini zu verwenden.
Es ist ja $1 - F(x) = [mm] \int_x^\infty [/mm] f(y) dy$. Das setz doch mal in [mm] $\int_0^\infty [/mm] 1 - F(x) dx$ ein und versuche die Integrationsreihenfolge zu vertauschen.
LG Felix
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Hallo Felix,
zunächst vielen Dank für deine Antwort. Damit bin ich schon einen Schritt weitergekommen, aber noch nicht am Ende (das ich den Sazu von Fubini anwenden muss, darauf wäre ich nie gekommen!):
Also, ich beginne auf der rechten Seite, und wegen $1-F(x) = [mm] \integral_{x}^{\infty}f(y)\ [/mm] dy$ erhalte ich eingesetzt:
[mm] $\integral_{0}^{\infty}(1-F(x))\ [/mm] dx = [mm] \integral_{0}^{\infty}\left(\integral_{x}^{\infty}f(y)\ dy\right)\ [/mm] dx = [mm] \integral_{0}^{\infty}\left(\integral_{0}^{y}f(x)\ dx\right)\ [/mm] dy$
So. Darauf komme ich mit dem Satz von Fubini. Glaube ich zumindest, denn jetzt komme ich schon wieder nicht weiter. Irgendwie muss ich da jetzt ja ein
[mm] $\integral_{-\infty}^{\infty}{x*f(x) dx}$
[/mm]
hinzaubern...
Ich habe mir noch gedacht, ich könnte das obige Integral so umschreiben:
[mm] $\integral_{0}^{\infty}\left(\integral_{0}^{y}f(x)\ dx\right)\ [/mm] dy = [mm] \integral_{0}^{\infty}\left(\integral_{-\infty}^{y}f(x)\ dx - \integral_{-\infty}^{0}f(x)\ dx\right)\ [/mm] dy = [mm] \integral_{0}^{\infty}\left(F(y)-F(0)\right)\ [/mm] dy$
Aber das ist ja Murks... Da komme ich dann darauf, dass das Ausgangsintegral unendlich sein muss. Habe ich falsch "fubiniert"?
Grüße und danke für Eure Hilfe,
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:40 So 15.11.2009 | | Autor: | vivo |
Hallo,
[mm]E(X)=\int_0^{\infty}xf(x)dx=\int_0^{\infty}(\int_0^{\infty} 1_{(0,x)}(y)dy) f(x)dx=\int_0^{\infty}(\int_0^{\infty} 1_{(0,x)}(y)f(x)dx) dy = \int_0^{\infty}1-F(X) dy[/mm]
gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:53 So 15.11.2009 | | Autor: | vivo |
aus irgendwelchen gründen stürzt mein browser immer ab wenn ich versuche die antwort zu bearbeiten deshalb auf diesem wege:
es muss ganz rechts natürlich F(y) heißen und nicht F(X)
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Hallo vivo,
zunächst danke für deine Antwort.
Leider blicke ich noch nicht ganz durch...
1. Schritt:
[mm] $E(X)=\int_0^{\infty}xf(x)dx=\int_0^{\infty}(\int_0^{\infty}1_{(0,x)}(y)dy) [/mm] f(x)dx$
Das verstehe ich. Allerdings haben wir den Erwartungswert beginnnend bei [mm] -\infty [/mm] definiert ... ?
2. Schritt:
[mm] $\int_0^{\infty}(\int_0^{\infty}1_{(0,x)}(y)dy) [/mm] f(x)dx [mm] =\int_0^{\infty}(\int_0^{\infty} 1_{(0,x)}(y)f(x)dx) [/mm] dy$
Diesen Schritt verstehe ich nicht so ganz.
Hast du erst f(x) in das innere Integral gezogen?
[mm] $\int_0^{\infty}(\int_0^{\infty}1_{(0,x)}(y)dy) [/mm] f(x)dx = [mm] \int_0^{\infty}\left(\int_0^{\infty}1_{(0,x)}(y)*f(x) dy\right) [/mm] dx$
Und dann den Satz von Fubini angewandt, bei dem sich die Grenzen jetzt ja nicht verändern?
[mm] $\int_0^{\infty}\left(\int_0^{\infty}1_{(0,x)}(y)*f(x) dy\right) [/mm] dx = [mm] \int_0^{\infty}\left(\int_0^{\infty} 1_{(0,x)}(y)f(x)dx\right) [/mm] dy$
?
3. Schritt:
[mm] $\int_0^{\infty}\left(\int_0^{\infty} 1_{(0,x)}(y)f(x)dx\right) [/mm] dy = [mm] \int_0^{\infty}1-F(y) [/mm] dy$
Das verstehe ich leider überhaupt nicht. Wie kommst du darauf?
Danke für erneute Hilfe und Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:18 So 15.11.2009 | | Autor: | vivo |
Hallo,
1. die ZV hat nur positive werte desahalb brauchst du über die negativen nicht integrieren (Nullmengen).
2. in der klammer integrier ich doch über y da kann ich doch f(x) einfach reinschreiben, dann fubini
3. dass in den klammern ist quasi der Erwartungswert von [mm] 1_{(0,x)}(y) [/mm] also der Zufallsvariable die 1 ist wenn x > y ist also die W.-keit P(X > y) also 1-F(y)
gruß
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Hallo!
Wieder vielen Dank für deine Antwort!
> 1. die ZV hat nur positive werte desahalb brauchst du über
> die negativen nicht integrieren (Nullmengen).
Wieso? Eine Zufallsvariable kann doch auch negative Werte annehmen, oder?
Ich verstehe das immer noch nicht.
> 2. in der klammer integrier ich doch über y da kann ich
> doch f(x) einfach reinschreiben, dann fubini
Das hab ich verstanden.
> 3. dass in den klammern ist quasi der Erwartungswert von
> [mm]1_{(0,x)}(y)[/mm] also der Zufallsvariable die 1 ist wenn x > y
> ist also die W.-keit P(X > y) also 1-F(y)
Könnte ich auch schreiben:
[mm] $\integral_{0}^{\infty}{1_{(0,x)}(y)f(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{x}^{\infty}{f(x) dx}$ [/mm] ?
?
Dann wäre es mir klar, warum das gilt was du geschrieben hast.
Danke und Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:10 So 15.11.2009 | | Autor: | vivo |
Hallo,
gerne! Schau doch mal in deine Aufgabenformulierung in deinem ersten beitrag da steht "sei X eine nichtnegative ZV".
.-)
natürlich kann eine ZV im allgemeinen auch negative werte annehmen.
[mm]\integral_{0}^{\infty}{1_{(0,x)}(y)f(x) dx} = \integral_{x}^{\infty}{f(x) dx}[/mm]
nein, denn:
[mm]\integral_{0}^{\infty}{1_{(0,x)}(y)f(x) dx} = \integral_{0}^{x}{f(x) dx}[/mm]
denn sonst würde die gleichung die wir oben haben ja auch keinen sinn machen denn wenn wir von einem integral auf zwei umformen nutzen wir ja genau aus, dass das innere integral an jeder stelle über die wir integrieren genau der wert ist denn das intgral über 1 von 0 bis x ist hal [mm] [z]_0^x= [/mm] x
aber der erwartungswert ist doch
[mm]\int xf(x)dx[/mm] also ist doch der erwartungswert über die funktion [mm] 1_{(0,x)}(y)
[/mm]
[mm]\int 1_{(0,x)}(y)f(x)dx[/mm] und der erwartungswert über eine indikatorfunktion ist gleich der Wahrscheinlickeit der Indikatormenge (wie du dir überlegen oder nachlesen kannst)
die Indikatormenge ist in diesem fall dass y < x ist also P(X > y) = 1- F(y)
viele grüße
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Hallo vivo,
so langsam komme ich dahinter  - danke dafür!
> gerne! Schau doch mal in deine Aufgabenformulierung in
> deinem ersten beitrag da steht "sei X eine nichtnegative
> ZV".
>
> .-)
Oh je, wo habe ich bloß meine Augen gelassen! Ok, das ist jetzt klar.
Zumindest fast: nichtnegative ZV heißt also, dass die ZV nur einen Wertebereich von 0 bis unendlich hat (Abbildung [mm] X:\Omega \to \IR_{+}) [/mm] sozusagen)? Und demzufolge [mm] X^{-1}(negative\ [/mm] Zahl) eigentlich gar nicht definiert ist bzw. eben gerade die leere Menge erzeugt?
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{1_{(0,x)}(y)f(x) dx} = \integral_{x}^{\infty}{f(x) dx}[/mm]
>
> nein, denn:
>
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{1_{(0,x)}(y)f(x) dx} = \integral_{0}^{x}{f(x) dx}[/mm]
Also diese Gleichung ist jetzt richtig? Eigentlich wollte ich auch diese Gleichung schreiben (wirklich! ), aber ich habe mal wieder rumgeschludert.
Aber: Müsste es nicht [mm] \integral_{0}^{y}{f(x) dx} [/mm] sein?
--> Damit wäre dann die Aufgabe doch auch gezeigt, oder? Also wenn ich dann noch schreibe:
$ [mm] \int_0^{\infty}\left(\int_0^{\infty} 1_{(0,x)}(y)f(x)dx\right) [/mm] dy = [mm] \int_0^{\infty}\left(\int_0^{y}f(x)dx\right) [/mm] dy$
Aber ich merke gerade, ich kriege [mm] \int_0^{y}f(x)dx [/mm] irgendwie gar nicht zu $1-F(y)$ umgeformt.
Denn es ist doch:
$1-F(y) = [mm] \int_{-\infty}^{\infty}f(x) [/mm] dx - [mm] \int_{-\infty}^{y}f(x) [/mm] dx = [mm] \int_{y}^{\infty}f(x) [/mm] dx$ und nicht [mm] $\int_{0}^{y}f(x) [/mm] dx$ - was habe ich falsch gemacht?
> aber der erwartungswert ist doch
>
> [mm]\int xf(x)dx[/mm] also ist doch der erwartungswert über die
> funktion [mm]1_{(0,x)}(y)[/mm]
>
> [mm]\int 1_{(0,x)}(y)f(x)dx[/mm] und der erwartungswert über eine
> indikatorfunktion ist gleich der Wahrscheinlickeit der
> Indikatormenge (wie du dir überlegen oder nachlesen
> kannst)
>
> die Indikatormenge ist in diesem fall dass y < x ist also
> P(X > y) = 1- F(y)
Um genau zu sein, ist die Indikatoremenge doch dass $0 < y < x$, oder?
Wir haben tatsächlich einen Satz gehabt in der Vorlesung, der sagt, dass
[mm] $E(I_{[a,b]}(X)) [/mm] = [mm] \IP^{X}([a,b])$
[/mm]
wobei [mm] \IP^{X} [/mm] die Wahrscheinlichkeitsdichte von X ist. Meinst du das? Dann verstehe ich aber noch nicht konkret, wie dieser Satz hier angewendet wird. Ich meine, ich habe doch eigentlich gar keinen Erwartungswert mehr zu berechnen, in meinem Integral steht ja nirgends E(...) .
Ich besuche erst eine Einführungsvorlesung in WA-Theorie, ich hoffe das entschuldigt meine vielleicht dumm erscheinenden Fragen...
Danke für die Erleuchtungen ,
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:57 So 15.11.2009 | | Autor: | vivo |
Hallo,
ja genau dass mit dem Erwartungswert habe ich gemeint!
und der Erwartungswert einer stetigen ZV mit W-Dichte zum lebesgue Maß ist doch:
[mm] E(X)=\int [/mm] x f(x) dx
also ist
[mm] E(1_{(0,x)(y)}=\int 1_{(0,x)}(y) [/mm] f(x) dx = P(X>y)=1-F(y)
da [mm] E(1_B)=P(B)
[/mm]
gruß
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Hallo!
Danke für deine Antwort !
> [mm]E(X)=\int[/mm] x f(x) dx
>
> also ist
>
> [mm]E(1_{(0,x)(y)}=\int 1_{(0,x)}(y)[/mm] f(x) dx = P(X>y)=1-F(y)
>
> da [mm]E(1_B)=P(B)[/mm]
Mhhh. Also mit der Formel folgere ich nur:
[mm] $E(1_{(0,x)}(X)) [/mm] = [mm] P^{X}((0,x)) [/mm] = [mm] \int_{0}^{x}f(y) [/mm] dy$
Und ich bin mir noch nicht ganz sicher wie ich das jetzt in die obige Form bringen kann, die du hingeschrieben (Tschuldigung, muss ein Knoten in meinem Gehirn sein, wenn es so offensichtlich ist!)
Gibt es da noch einen Zwischenschritt, den du vielleicht bis jetzt unterschlagen hast, weil es dann zu trivial wäre  ?
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:00 So 15.11.2009 | | Autor: | vivo |
Hallo,
also nochmal langsam .-) mir geht es auch so oft so .-)
[mm]E(1_B)=P(B)[/mm]
wir haben jetzt
[mm]E(1_{(0,x)}(y))=P(X>y)=1-F(y)[/mm]
du musst aufpassen die indikatorfunktion bildet y auf 1 und 0 ab, sie gibt den wert 1 zurück wenn y < x
y ist die variable der indikatorfunktion nicht x !!!! also ist der erwartungswert über diese indikatorfunktion die w.-keit dass y < x
wir haben insgesamt also:
[mm]\int ( E(1_{(0,x)}(y)) ) dy = \int 1-F(y) dy[/mm]
gruß
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Danke vivo,
ich glaub' jetzt hab ich's verstanden
Grüße und danke für deine Geduld,
Stefan
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:32 Mo 16.11.2009 | | Autor: | horst532 |
was bedeutet eigentlcih [mm] $1_{(0,x)}(y)$ [/mm] ?
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Hallo,
> was bedeutet eigentlcih [mm]1_{(0,x)}(y)[/mm] ?
[mm] 1_{A}(y) [/mm] ist die Indikatorfunktion.
Sie ist
- 1, wenn [mm] y\in [/mm] A, und
- 0, wenn [mm] y\notin [/mm] A.
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:25 So 15.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Stefan,
> zunächst vielen Dank für deine Antwort. Damit bin ich
> schon einen Schritt weitergekommen, aber noch nicht am Ende
> (das ich den Sazu von Fubini anwenden muss, darauf wäre
> ich nie gekommen!):
das ist ein Standardtrick, wenn man die Aufgabe mal geloest hat kennt man den
> Also, ich beginne auf der rechten Seite, und wegen [mm]1-F(x) = \integral_{x}^{\infty}f(y)\ dy[/mm]
> erhalte ich eingesetzt:
>
> [mm]\integral_{0}^{\infty}(1-F(x))\ dx = \integral_{0}^{\infty}\left(\integral_{x}^{\infty}f(y)\ dy\right)\ dx = \integral_{0}^{\infty}\left(\integral_{0}^{y}f(x)\ dx\right)\ dy[/mm]
Moment. Den letzten Schritt verstehe ich nicht. Was genau hast du da gemacht?
Es ist doch [mm] $\integral_{0}^{\infty}\left(\integral_{x}^{\infty}f(y)\ dy\right)\ [/mm] dx = [mm] \underset{0 \le x \le y}{\int\int} [/mm] f(y) [mm] \; [/mm] d(x, y) = [mm] \int_0^\infty \int_0^y [/mm] f(y) [mm] \; [/mm] dx [mm] \; [/mm] dy$.
LG Felix
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Hallo!
> > Also, ich beginne auf der rechten Seite, und wegen [mm]1-F(x) = \integral_{x}^{\infty}f(y)\ dy[/mm]
> > erhalte ich eingesetzt:
> >
> > [mm]\integral_{0}^{\infty}(1-F(x))\ dx = \integral_{0}^{\infty}\left(\integral_{x}^{\infty}f(y)\ dy\right)\ dx = \integral_{0}^{\infty}\left(\integral_{0}^{y}f(x)\ dx\right)\ dy[/mm]
>
> Moment. Den letzten Schritt verstehe ich nicht. Was genau
> hast du da gemacht?
Zuviel rum-fubinit wahrscheinlich
Nein, da habe ich mich anscheinend vertan, ich verstehe jetzt auch, warum.
> Es ist doch
> [mm]\integral_{0}^{\infty}\left(\integral_{x}^{\infty}f(y)\ dy\right)\ dx = \underset{0 \le x \le y}{\int\int} f(y) \; d(x, y) = \int_0^\infty \int_0^y f(y) \; dx \; dy[/mm].
Okay, und damit ist dann:
[mm] $\int_0^\infty \int_0^y [/mm] f(y) [mm] \; [/mm] dx [mm] \; [/mm] dy = [mm] \int_0^\infty [/mm] f(y) [mm] \int_0^y [/mm] 1 [mm] \; [/mm] dx [mm] \; [/mm] dy = [mm] \int_0^\infty [/mm] f(y)*y [mm] \; [/mm] dy = [mm] \int_{-\infty}^\infty [/mm] f(y)*y [mm] \; [/mm] dy$,
weil X ja eine nichtnegative Zufallsvariable ist?
Danke für deine Hilfe!
Grüße,
Stefan
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... Dann fehlt auch hier nur noch ein Dank meinerseits an Dich!
Grüße,
Stefan
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