Erwartungswert und Varianz < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:45 So 26.06.2005 | | Autor: | Ninka |
Hallo!
Bei der folgenden Aufgabe weiss ich nicht, wie ich anfangen soll.
Gegeben sind U1,...,Un stu und identisch verteilte ZV mit Ui [mm] \sim [/mm] R (0,1).
Eine neue ZV Sn ist
Sn = [mm] \wurzel{\bruch{12}{n}} \summe_{i=1}^{n} [/mm] Ui- [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Von Sn soll nun der Erwartungswert und Varianz berechnet werden.
Kann mir jemand einen Tipp geben?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:45 So 26.06.2005 | | Autor: | Astrid |
Hallo Ninka,
> Gegeben sind U1,...,Un stu und identisch verteilte ZV mit
> Ui [mm]\sim[/mm] R (0,1).
Ganz kurze Nachfrage: Was soll denn stu sein? Ist das eine Abkürzung, die ich nicht kenne? ![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]")
Oder sind die Zufallsvariablen unabhängig identisch verteilt?
Viele Grüße
Astrid
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:26 So 26.06.2005 | | Autor: | Ninka |
Hallo, Astrid!
stu ist eine Abkürzung für stochastisch unabhängig. So schreibt es immer mein Prof an die Tafel und es wird auch oft von Übungsleitern und Kommilitonen "stu" ausgesprochen :) um sich nicht mit langem stochast....... abzumühen. In "Stochastik" von Gerhard Hübner ist auch immer eine Abkürzung - st. u. - na ja, etwas leichter erkennbar als stu. Jedenfalls dachte ich, auch die stu wäre überall üblich.
Ninka
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:46 Mo 27.06.2005 | | Autor: | Astrid |
Hallo Ninka,
hmm, die Abkürzung war mir noch gar nicht geläufig. Aber vermutet, dass sowas da stehen muss, habe ich ja schon. Ich kenne eher
i.i.d. (independent identically distributed)
oder u.i.v. (unabhängig identisch verteilt)
Siehst du, auch beim Antworten lernt man hier immer wieder dazu. ![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]")
Viele Grüße
Astrid
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:15 So 26.06.2005 | | Autor: | Ninka |
Hallo, Stefan!
Na jetzt sieht das furchtauslösende Sn ja richtig harmlos aus! Wenn ich mich nicht verrechnet habe, dann ist die Varianz
Var (Sn) = Var [mm] (\wurzel{\bruch{12}{n}} \summe_{i=1}^{n} [/mm] Ui - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ) =
= [mm] \bruch{12}{n} \summe_{i=1}^{n} [/mm] Var (Ui) = [mm] \bruch{12}{n} [/mm] * n * [mm] \bruch{1}{12} [/mm] = 1
Bei dem Erwartungswert hab' ich mich etwas schwerer getan,die Konstante [mm] \bruch{1}{2} [/mm] hat micht gestört, aber ich fand schnell bei Hübner "Stochastik" E(a + bX) = a + bE(X). Dann ging es wieder kinderleicht.
E ( [mm] \wurzel{\bruch{12}{n}} \summe_{i=1}^{n} [/mm] Ui - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ) =
= [mm] \wurzel{\bruch{12}{n}} \summe_{i=1}^{n} [/mm] E (Ui - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ) =
= [mm] \wurzel{\bruch{12}{n}} \summe_{i=1}^{n} [/mm] E (Ui) - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] =
= [mm] \wurzel{\bruch{12}{n}} [/mm] * n * [mm] (\bruch{1}{2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}) [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{12}{n}}
[/mm]
Stimmt's ?
Ninka
P.S. Wie ist es mit approximativer Verteilung von Sn, kann man es auf den ersten Blick feststellen oder ist eine längere Rechnung nötig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:03 Mo 27.06.2005 | | Autor: | Astrid |
Hallo Ninka,
> Var (Sn) = Var [mm](\wurzel{\bruch{12}{n}} \summe_{i=1}^{n}[/mm] Ui
> - [mm]\bruch{1}{2}[/mm] ) =
> = [mm]\bruch{12}{n} \summe_{i=1}^{n}[/mm] Var (Ui) = [mm]\bruch{12}{n}[/mm]
> * n * [mm]\bruch{1}{12}[/mm] = 1
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Bei dem Erwartungswert hab' ich mich etwas schwerer
> getan,die Konstante [mm]\bruch{1}{2}[/mm] hat micht gestört, aber
> ich fand schnell bei Hübner "Stochastik" E(a + bX) = a +
> bE(X). Dann ging es wieder kinderleicht.
> [mm]E ( \wurzel{\bruch{12}{n}} \summe_{i=1}^{n}Ui-\bruch{1}{2})=[/mm]
> [mm]\wurzel{\bruch{12}{n}} \summe_{i=1}^{n}E (Ui -\bruch{1}{2})=[/mm]
Wieso ist denn die [mm] $\bruch{1}{2}$ [/mm] auf einmal in der Klammer (also in der Summe) gelandet. Meiner Meinung nach geht es so weiter:
[mm]= E(\wurzel{\bruch{12}{n}} \summe_{i=1}^{n} U_i- \bruch{1}{2})=\\
\wurzel{\bruch{12}{n}} \cdot n \cdot E(U_1)- \bruch{1}{2}=...[/mm]
Als Ergebnis habe ich dann [mm]\bruch{1}{2} \cdot (\wurzel{12 n}-1)[/mm]
Viele Grüße
Astrid
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:35 Mo 27.06.2005 | | Autor: | Ninka |
Hallo, Astrid!
Ich bin mir auch nicht sicher, ob das [mm] \bruch{1}{2} [/mm] zu der Summe gehört. Falls das tatsächlich eigenständig ist, dann müsste ich das so ausrechnen wie du. Ich frag` mal meine Übungsleiter nach, wie sie das verstanden haben wollen.
Danke für die Korrektur!
Viele Grüsse
Ninka
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Hallo an alle! 
> E ( [mm]\wurzel{\bruch{12}{n}} \summe_{i=1}^{n}[/mm] Ui -
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] ) =
> = [mm]\wurzel{\bruch{12}{n}} \summe_{i=1}^{n}[/mm] E (Ui -
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] ) =
> = [mm]\wurzel{\bruch{12}{n}} \summe_{i=1}^{n}[/mm] E (Ui) -
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] =
> = [mm]\wurzel{\bruch{12}{n}}[/mm] * n * [mm](\bruch{1}{2}[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{2})[/mm] = [mm]\wurzel{\bruch{12}{n}}[/mm]
Was ist denn hier im letzten Schritt passiert?
[mm] $\wurzel{\bruch{12}{n}}\cdot 0=\wurzel{\bruch{12}{n}}$???
[/mm]
Ich denke, Du hast das schon richtig interpretiert (auch wenn Astrid recht hat, dass Klammern um [mm] $U_i-\frac{1}{2}$ [/mm] fehlen. Der Grund dafür ist, dass Dein Ergebnis doch 0 lautet und man somit Erwartungswert 0 und Varianz 1 erhält (erinnert Dich das an etwas?)
> P.S. Wie ist es mit approximativer Verteilung von Sn, kann
> man es auf den ersten Blick feststellen oder ist eine
> längere Rechnung nötig?
Nein, der zentrale Grenzwertsatz verrät doch sofort die Verteilung von langen Summen unabhängiger Zufallsvariablen, und den Erwartungswert [mm] ($\mu$) [/mm] sowie die Varianz [mm] ($\sigma^2$) [/mm] hast Du ja oben bereits bestimmt.
Die angegebene Zufallsvariable verwendete man früher öfter zur Erzeugung von standardnormalverteilten Zufallsvariablen; heute gibt es da bessere Ansätze.
Liebe Grüße
Brigitte
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