Erwartungswert v. Zufallgrößen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Beim Roulette fällt eine Kugel in eines mit den zahlen 0 bis 36 gekennzeichneten Felder. Ein spieler kann auf versch. viele Zahlen setzen. Ist die Gewinnzahl
a) die gesetzte Zahl, so erhält er seinen 35 fachen Einsatz als Reingewinn zurück
b) unter den gesetzten viel Zahlen, so erhält er den 8fachen Einsatz als Reingewinn zurück
c) den gesetzten 16 Zahlen, so erhält er den doppelten Einsatz als Reingewinn zurück. |
Beim ersten würde ich rechnen:
E(x)=1/37*35+36/37*(-1)=-1/37, da wir davon ausgehen dürfen, dass 1 Euro egsetzt wird. Aber bei dem Rest scheitert es am Ansatz.
Ich hoffe mir kann jemand dabei helfen, da ich die Aufgaben bis morgen brauche und auf keine rechten Ansätze komme.
Tut mir Leid für die mehreren Threads, aber ich soll ja je nur eine Aufgabe eingeben.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:58 Do 07.06.2007 | | Autor: | Englein89 |
Wow, schön, dass mir jemand geantwortet hat. Ich hatte nach mehreren Rechnungen auch immer -1/37 heraus, aber das kam mir falsch vor.
Gut, dass ich jetzt aber eine Bestätigung hab und tut mir Leid für die Tippfehler, aber mich macht es immer wütend, wenn ich den Ansatz nicht finde.
Wäre es wohl möglich vor allem die Aufgabe mit dem Würfel nochmal zu erklären bzw mir da einen Ansatz oder sogar ein Ergebnis zu bekommen? Ich rechne mich da gerade dumm und dämlich.
Aber vielen, vielen Dank!
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Stelle dir vor, du würdest 10 mal würfeln und wolltest die W. für "mindestens eine 6" berechnen. Die Situation ist völlig verworren: Du könntest z.B. nur im 7. Wurf eine 6 würfeln, oder aber im 1., 7. und 9. Wurf usw.
Einen Ausweg findest du auf folgende Weise: Du fragst, wie hoch die W. ist, in 10 Wurf gar keine (!) 6 zu würfeln. Das lässt sich ganz einfach berechnen (s.u.). In allen anderen Fällen hast du dann mindestens eine 6 gewürfelt (z.B. sogar 10 mal), wenn du also dein Ergebnis von 1 abziehst, hast du alle anderen chaotischen Möglichkeiten auf einen Streich erfasst.
Merke: Immer wenn ein Ereignis sich aus einer Vielzahl von Einzelereignissen zusammensetzt und das Gegenereignis nur aus einem Fall, geht man rechnerisch auf das Gegenereignis über.
Frage: Wie hoch ist die W., in 10 Wurf keine 6 zu würfeln?
Du bildest nun einen Pfad mit 10 Ereignissen, die jedes Mal "keine 6" heißen. An jede Verbindungslinie schreibst du die W. 5/6. Somit ist die W. insgesamt [mm] (\bruch{5}{6})^{10}. [/mm] Die W. für mindestens eine 6 ist dann [mm] 1-(\bruch{5}{6})^{10}.
[/mm]
Nun soll die entsprechende W. aber mindestens 90 % betragen. Die Rechnung machen wir für genau 90 %. Was nun anders ist, ist die Unkenntnis der Wurfanzahl: Es sind nicht 10, sondern x Würfe. Durch die selben Überlegungen wie oben kommst du nun darauf, dass [mm] 1-(\bruch{5}{6})^x [/mm] = 0,9 sein soll. Umstellen dieser Gleichung gibt [mm] (\bruch{5}{6})^x= [/mm] 0,1.
Nun kannst du mit Hilfe deines Taschenrechners so lange [mm] (\bruch{5}{6}) [/mm] mit sich selbst multiplizieren, bis 0,1 erreicht oder überschritten wird. Es geht auch anders:
Wenn man nach einem Exponenten auflösen will, muss man logarithmieren:log [mm] (\bruch{5}{6})^x [/mm] = log 0,1 oder
[mm] x*log(\bruch{5}{6})=log [/mm] 0,1 (Logarithmusregel) oder
x = [mm] log(0,1)/log(\bruch{5}{6}) \approx [/mm] 12,6. Dabei ist es egal, welchen log du nimmst, es muss nur beide Male der selbe sein.
Ab x = 13 liegt man somit über 90 % (weil die Potenz unter 0,1 liegt).
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