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| Aufgabe | Sei c>0 und X eine ZV mit der Verteilungsfunktion
[mm] $$F(x)=\begin{cases} 1-(\frac{c}{x})^2, & \mbox{für } x \ge c \\ 0, & \mbox{sonst.}\end{cases}
[/mm]
Sei a>c. Definiere Y:=min(X,a)
(a) Bestimme P(X=a), P(Y=a)
(b) Bestimme E(X), E(Y)
(c) Besitzen X bzw. Y Dichten? |
Hallo zusammen,
also (a) habe ich schon heraus:
$$P(X=a)=0$$
wegen der Stetigkeit von F in a.
[mm] $$P(Y=a)=P(X\ge a)=1-F(a)=(\frac{c}{x})^2$$
[/mm]
Dann hört's leider bei mir auf :(
Ich weiß, dass herauskommen muss $E(X)=2c$, [mm] $E(Y)=2c-\frac{c^2}{a}$ [/mm] und das X eine Dichte besitzen soll, Y aber nicht. Leider kann ich mir überhaupt nicht erklären warum.
Mein erstes Problem ist, dass ich keine Ahnung habe, wie man Erwartungswerte nur mit Hilfe der Verteilungsfunktionen ausrechnen kann. Dann habe ich versucht die Dichtefunktion zu X durch Ableiten von F heraus zu bekommen, aber das passt auch nicht so richtig. Für E(Y) bin ich bis zur Gleichheit:
[mm] $$E(Y)=\integral_{-\infty}^{a}{x dP_X}+a*(1-F(a))$$
[/mm]
gekommen. Weiß aber dann leider nicht, wie ich das Integral ausrechnen kann, da ich $X$ ja nicht kenne.
Kann mir da jemand weiterhelfen?
LG brain
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Ich denke ich bekomme die Erwartungswerte heraus, wenn ich die Dichtefunktion von X hätte.
Weiß jemand, wie man geschickt aus F(x) die Dichtefunktion ableitet?
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Hallo,
die Dichte einer Verteilung ist deren erste Ableitung...
Du suchst übrigens keine Eigenwerte sondern Erwartungswerte. Sollen wir mal den Titel n och entsprechend ändern?
Gruß, Diophant
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Hallo Diophant,
danke für die Antwort.
Ohja sorry, das war ein Tippfehler. Wenn man das noch ändern könnte, wäre toll.
Dann zu deiner Antwort.
So einfach die Ableitung ist es ja nicht.
Die wäre ja:
[mm] $$f(x)=\begin{cases} \frac{2c^2}{x^3}, & \mbox{für } x>=c\\ 0 & \mbox{sonst}\end{cases}$$
[/mm]
und erfüllt noch nicht die Gleichung
[mm] $$F(x)=\integral_{-\infty}^{x}{f(x) dx}$$
[/mm]
Was überseh ich da?
Außerdem bleibt noch die Frage, warum Y keine Dichtefunktion besitzt.
Das muss irgendwas damit zu tun haben, dass $P(Y=y)>0$ ist. Ich verstehe aber noch nicht warum.
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Hallo und guten Abend,
> Hallo Diophant,
> danke für die Antwort.
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> Ohja sorry, das war ein Tippfehler. Wenn man das noch
> ändern könnte, wäre toll.
>
> Dann zu deiner Antwort.
> So einfach die Ableitung ist es ja nicht.
> Die wäre ja:
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} \frac{2c^2}{x^3}, & \mbox{für } x>=c\\ 0 & \mbox{sonst}\end{cases}[/mm]
>
> und erfüllt noch nicht die Gleichung
> [mm]F(x)=\integral_{-\infty}^{x}{f(x) dx}[/mm]
Doch, das gilt, rechne dies mal nach und beachte, dass $f(x)=0$ für $x<c$
> Was überseh ich
> da?
Einfach obiges Integral ausrechnen.
>
> Außerdem bleibt noch die Frage, warum Y keine
> Dichtefunktion besitzt.
> Das muss irgendwas damit zu tun haben, dass [mm]P(Y=y)>0[/mm] ist.
> Ich verstehe aber noch nicht warum.
Versuch mal die Verteilungsfunktion von $Y$ also [mm] $P(Y\leq [/mm] t)$ auszurechnen, dann sieht man schon etwas besser, wo der Hase langläuft.
Viele Grüße
Blasco
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Hallo blascowitz,
danke für deine Antworten.
Die Erwartungswerte habe ich mittlerweile heraus.
Du hattest völlig recht, das kommt alles hin. Manchmal muss man einfach tapfer zu Ende rechnen. ;)
Das einzige Problem ist noch zu zeigen, dass Y keine Dichte besitzt.
Ich habe versucht deinen Rat zu befolgen und erst einmal die Verteilungsfunktion von Y auszurechnen, wenn die nicht differenzierbar wäre, dann ist die Aussage ja klar.
Leider bekomme ich die gleiche Verteilungsfunktion wie für X heraus.
Da kann irgendwas nicht stimmen.
Meine Rechnung dazu:
$$P(Y [mm] \le t)=\begin{cases} F(t), & \mbox{für } t\le a\\ F(a)+P(a\le X\le t), & \mbox{für } t>a \end{cases}$$
[/mm]
Der untere Fall wäre dann $F(a)+F(t)-F(a)=F(t)$. Also hätten X und Y die gleiche Verteilungsfunktion. Kann das stimmen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Do 08.05.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo,
zur Berechnung der Erwartungswerte einer nichtnegativen (!) Zufallsvariablen $X$ (diese Situation liegt hier vor, warum?) könnte die Formel
[mm] $E(X)=\int\limits_{0}^{\infty}\left(1-F(x)\right) [/mm] dx$
zur Berechnung des Erwartungswertes hilfreich sein. Diese hat den Vorteil, dass man die Dichte der Zufallsvariablen $X$ nicht kennen muss beziehungsweise den Erwartungswert auch berechnen kann, wenn die Verteilungsfunktion der Zufallsvariable $X$ keine Dichte hat.
Viele Grüße
Blasco
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Ja danke. Diese Formel hatte ich in der Zwischenzeit auch schon gefunden.
Nur leider ist sie meiner Meinung nach nicht anwendbar, da nur gilt [mm] $X\ge [/mm] 0$ f.ü. Nach der Version dieses Satzes, die ich kenne, muss aber gelten [mm] $X\ge [/mm] 0$.
Dies bestätigt sich auch durch die Rechnung:
[mm] $$\integral_{0}^{\infty}{1-F(x) dx}=\integral_{c}^{\infty}{\frac{c^2}{x^2} dx}=[-\frac{c^2}{x}]_{c}^{\infty}=c$$
[/mm]
Man kommt also nicht auf das gleiche Ergebnis, wie bei der Rechnung mittels der Dichtefunktion von X.
Mein Problem ist leider immer noch die Nicht-Existenz einer Dichtefunktion zu Y.
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Hallo,
nein [mm] $X\geq [/mm] 0$ fast überall reicht völlig aus. Deine Rechnung ist leider verkehrt.
Um das zu korrigieren schreiben wir die Verteilungsfunktion von $X$ mal um in
[mm] $F(X)=\left(1-\frac{c^2}{x^2}\right)\cdot 1_{\left[c,\infty\right)}\left(x\right)$
[/mm]
Dabei bezeichnet [mm] $1_{A}(x)$ [/mm] die Indikatorfunktion der Menge $A$.
Jetzt berechne mal in dieser Schreibweise $1-F(x)$, als Ergebnis kommt nicht (!) [mm] $\frac{c^2}{x^2}$ [/mm] heraus, soviel kann ich verraten.
Bezüglich der Dichte von $Y$ hättest du ja in a) ausgerechnet,was [mm] $P\left(Y=a\right)$ [/mm] ist, allerdings ist dir ein kleiner Fehler bei der Rechnung unterlaufen, es kommt nicht [mm] $\frac{c^2}{x^2}$ [/mm] heraus, da irgendwo möglicherweise auch ein $a$ auftauchen sollte.
Nimm mal an, dass $Y$ eine Dichte [mm] $f_{Y}$ [/mm] besitzt, dann kann man ja schreiben
[mm] $P\left(Y \in A\right)=\int f_{Y}(x) [/mm] dx$
Wenn du jetzt $A$ geschickt wählst, kann du einen Widerspruch zur Aussage auf Teilaufgabe a) erhalten.
Viele Grüße
Blasco
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