Erweiterte Mersenne-Folgen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Wir betrachten die Folge [mm] (2^n-1)^2-2.
[/mm]
Dabei werden die Mersenne-Nummern [mm] (2^n-1) [/mm] quadriert und 2 subtrahiert.
Anbei die ersten 20 Glieder dieser Folge. Davon sind 11 prim.
status n digits number
P 2 1 7 = 7
P 3 2 47 = 47
P 4 3 223 = 223
FF 5 3 959 = 7 · 137
P 6 4 3967 = 3967
P 7 5 16127 = 16127
FF 8 5 65023 = [mm] 7^2 [/mm] · 1327
FF 9 6 261119 = 23 · 11353
P 10 7 1046527 = 1046527
FF 11 7 4190207 = 7 · 71 · 8431
P 12 8 16769023 = 16769023
FF 13 8 67092479 = 3761 · 17839
FF 14 9 268402687 = 7 · 41 · 935201
P 15 10 1073676287<10> = 1073676287<10>
FF 16 10 4294836223<10> = 41 · 104752103
FF 17 11 17179607039<11> = 7 · 239 · 569 · 18047
P 18 11 68718952447<11> = 68718952447<11>
P 19 12 274876858367<12> = 274876858367<12>
FF 20 13 1099509530623<13> = 7 · 23 · 6829251743<10>
P 21 13 4398042316799<13> = 4398042316799<13>
Meine Frage:
Gibt es dazu passende Lucas-Folgen, um für diese Zahlen einen LL-ähnlichen Primzahltest zu erstellen? Im Gegensatz zu den Mersenne-Primzahlen liefern hier auch nicht-prime Exponenten n neue Primzahlen! Ich habe diesbezüglich in der Literatur nichts gefunden.
Vielen Dank! |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:51 Mi 07.01.2015 | | Autor: | searcher62 |
Die Zahlenfolge [mm] (2^n-1)^2-2 [/mm] ist für folgende n prim.
2, 3, 4, 6, 7, 10, 12, 15, 18, 19, 21, 25, 27, 55, 129, 132, 159, 171, 175, 315, 324, 358, 393, 435, 786, 1459, 1707, 2923, .....
wobei Index 2923 eine PRP (probably prime = wahrscheinlich prim) liefert!
Also 28 Primzahlen bis zum Index 3000! Soweit habe ich es auf factordb.com überprüft!
O.g. Zahlenfolge scheint dichter mit Primzahlen belegt zu sein, als die Mersenne-Nummern, jedoch müsste dies mit einem Primzahltest auch verifiziert werden.> Wir betrachten die Folge [mm](2^n-1)^2-2.[/mm]
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> Dabei werden die Mersenne-Nummern [mm](2^n-1)[/mm] quadriert und 2
> subtrahiert.
> Anbei die ersten 20 Glieder dieser Folge. Davon sind 11
> prim.
>
> status n digits number
> P 2 1 7 = 7
> P 3 2 47 = 47
> P 4 3 223 = 223
> FF 5 3 959 = 7 · 137
> P 6 4 3967 = 3967
> P 7 5 16127 = 16127
> FF 8 5 65023 = [mm]7^2[/mm] · 1327
> FF 9 6 261119 = 23 · 11353
> P 10 7 1046527 = 1046527
> FF 11 7 4190207 = 7 · 71 · 8431
> P 12 8 16769023 = 16769023
> FF 13 8 67092479 = 3761 · 17839
> FF 14 9 268402687 = 7 · 41 · 935201
> P 15 10 1073676287<10> = 1073676287<10>
> FF 16 10 4294836223<10> = 41 · 104752103
> FF 17 11 17179607039<11> = 7 · 239 · 569
> · 18047
> P 18 11 68718952447<11> = 68718952447<11>
> P 19 12 274876858367<12> =
> 274876858367<12>
> FF 20 13 1099509530623<13> = 7 · 23 ·
> 6829251743<10>
> P 21 13 4398042316799<13> =
> 4398042316799<13>
>
> Meine Frage:
>
> Gibt es dazu passende Lucas-Folgen, um für diese Zahlen
> einen LL-ähnlichen Primzahltest zu erstellen? Im Gegensatz
> zu den Mersenne-Primzahlen liefern hier auch nicht-prime
> Exponenten n neue Primzahlen! Ich habe diesbezüglich in
> der Literatur nichts gefunden.
>
> Vielen Dank!
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:10 Do 08.01.2015 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Die Zahlenfolge [mm](2^n-1)^2-2[/mm] ist für folgende n prim.
>
> 2, 3, 4, 6, 7, 10, 12, 15, 18, 19, 21, 25, 27, 55, 129,
> 132, 159, 171, 175, 315, 324, 358, 393, 435, 786, 1459,
> 1707, 2923, .....
Es geht noch weiter: 6462, 14289, 39012, 51637, 100224, 108127, 110953, 175749, 185580, 226749, 248949, 253987
> wobei Index 2923 eine PRP (probably prime = wahrscheinlich
> prim) liefert!
>
> Also 28 Primzahlen bis zum Index 3000! Soweit habe ich es
> auf factordb.com überprüft!
Wenn du so eine Sequenz von ganzen Zahlen hast, frag doch einfach die ![[]](/images/popup.gif) On-Line Encyclopedia of Integer Sequences!
Hier liefert sie A091515, natürlich inklusive Quellen. Eine davon ist eine Seite auf mathworld, wo es weiter unten um Primzahlen der Form [mm] $(2^n [/mm] - [mm] 1)^2 [/mm] - 2$ geht. Dort steht u.A.: "A total of 40 primes of this form (arbitrarily dubbed Carol primes by their original investigator in reference to a personal acquaintance) are known." Damit hast du jetzt erstmal einen Namen 
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:11 Do 08.01.2015 | | Autor: | searcher62 |
Vielen Dank, Felix!
Wie es scheint, gestaltet sich so ein Primzahltest als äusserst schwierig, sollte es ihn überhaupt geben. Wäre interessant, wie die Zahlen mit den grossen Indizes als prim festgestellt wurden.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Sa 10.01.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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