Erweiterungskörper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:19 Mo 13.03.2006 | | Autor: | cycilia |
| Aufgabe | | Warum liegt [mm] \wurzel[4]{5} [/mm] nicht in [mm] \IQ [/mm] ( [mm] \wurzel[6]{15} [/mm] ) ? |
Schon klar, dass das der Fall ist.... aber wie beweist man sowas?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:33 Mo 13.03.2006 | | Autor: | statler |
> Warum liegt [mm]\wurzel[4]{5}[/mm] nicht in [mm]\IQ[/mm] ( [mm]\wurzel[6]{15}[/mm]
> ) ?
> Schon klar, dass das der Fall ist.... aber wie beweist man
> sowas?
Wegen des Gradmultiplikationssatzes zum Beispiel. Ein Körper vom Grad 4 kann nicht Zwischenkörper eines Körpers vom Grad 6 sein. Allerdings müßte man vorher noch zeigen, daß die erzeugten Körper diese Grade haben, oder ist das klar? Sonst Minimalpolynome untersuchen, man kommt da vom Stöckchen aufs Hölzchen...
LG
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:08 Mo 13.03.2006 | | Autor: | cycilia |
Ja, aber müsste die Frage dann nicht lauten, warum ist [mm] \IQ [/mm] ( [mm] \wurzel[4]{5}) [/mm] nicht in [mm] \IQ [/mm] ( [mm] \wurzel[6]{15}) [/mm] enthalten? Warum kann ich das über den Gradsatz zeigen? Das war auch mein erster Ansatz, aber da ich es ja anscheinend nicht verstehe....
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:19 Mo 13.03.2006 | | Autor: | statler |
> Ja, aber müsste die Frage dann nicht lauten, warum ist [mm]\IQ[/mm]
> ( [mm]\wurzel[4]{5})[/mm] nicht in [mm]\IQ[/mm] ( [mm]\wurzel[6]{15})[/mm] enthalten?
...so lautet die Frage doch.
Denn wenn ( [mm]\wurzel[4]{5})[/mm] in [mm]\IQ[/mm] ( [mm]\wurzel[6]{15})[/mm] enthalten wäre, dann doch auch der davon erzeugte Körper.
> Warum kann ich das über den Gradsatz zeigen? Das war auch
> mein erster Ansatz, aber da ich es ja anscheinend nicht
> verstehe....
Die Körpergrade sind immer ganze Zahlen, und es müßte 4 * [mm] g_{2} [/mm] = 6 sein.
Jetzt besser?
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:28 Mo 13.03.2006 | | Autor: | cycilia |
Okay, also wenn ein Element in einem Körper enthalten ist, dann auch der Körper über dieses Element.... eigentlich logisch...
ich habe in Algebra leider nur eine sehr schlechte Vorlesung - wo sehr viel ausgefallen ist - mit einer nur teilweise hilfreichen Übungsgruppe besucht und habe massive Probleme mir alles mit Büchern anzueignen. Daher auch sehr viele Fragen, die eigentlich nicht sein dürften. Sorry!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:44 Mo 13.03.2006 | | Autor: | cycilia |
Zu obiger Frage habe ich dann also:
Angenommen:
[mm] \IQ \subset \IQ [/mm] ( [mm] \wurzel[4]{5}) \subset \IQ [/mm] ( [mm] \wurzel[6]{15})
[/mm]
Dann würde mit dem Gradsatz gelten:
[ [mm] \IQ [/mm] ( [mm] \wurzel[6]{15}): \IQ] [/mm] = [ [mm] \IQ [/mm] ( [mm] \wurzel[4]{5}): \IQ] [/mm] *
[ [mm] \IQ [/mm] ( [mm] \wurzel[6]{15}): \IQ [/mm] ( [mm] \wurzel[4]{5})]
[/mm]
dh.: 6 = 4* [ [mm] \IQ [/mm] ( [mm] \wurzel[6]{15}): \IQ [/mm] ( [mm] \wurzel[4]{5})]
[/mm]
Widerspruch, da Zwischenkörper als Grad nur Teiler von 6 sein können, bzw. weil der Grad so nicht ganzzahlig wäre.
Warum liegt [mm] \IQ [/mm] ( [mm] \wurzel[4]{5}) [/mm] nicht in [mm] \IQ [/mm] ( [mm] \wurzel[25]{1}) [/mm] ?
Das geht jetzt genauso so leicht? Ich gehe doch richitg in der Annahme, dass hier die 25-ten Einheitswurzeln zu [mm] \IQ [/mm] hinzuadjungiert werden. Also wäre der Grad [ [mm] \IQ [/mm] ( [mm] \wurzel[25]{1}): \IQ] [/mm] = 25
Es gilt wie gehabt: [ [mm] \IQ [/mm] ( [mm] \wurzel[4]{5}): \IQ [/mm] ] = 4
4 ist kein Teiler von 25, also passt es nicht, richig?
|
|
|
| |
|
> Zu obiger Frage habe ich dann also:
>
> Angenommen:
> [mm]\IQ \subset \IQ[/mm] ( [mm]\wurzel[4]{5}) \subset \IQ[/mm] (
> [mm]\wurzel[6]{15})[/mm]
>
> Dann würde mit dem Gradsatz gelten:
>
> [ [mm]\IQ[/mm] ( [mm]\wurzel[6]{15}): \IQ][/mm] = [ [mm]\IQ[/mm] ( [mm]\wurzel[4]{5}): \IQ][/mm]
> *
> [ [mm]\IQ[/mm] ( [mm]\wurzel[6]{15}): \IQ[/mm] ( [mm]\wurzel[4]{5})][/mm]
>
> dh.: 6 = 4* [ [mm]\IQ[/mm] ( [mm]\wurzel[6]{15}): \IQ[/mm] ( [mm]\wurzel[4]{5})][/mm]
>
> Widerspruch, da Zwischenkörper als Grad nur Teiler von 6
> sein können, bzw. weil der Grad so nicht ganzzahlig wäre.
Ja, das ist richtig ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
>
>
> Warum liegt [mm]\IQ[/mm] ( [mm]\wurzel[4]{5})[/mm] nicht in [mm]\IQ[/mm] (
> [mm]\wurzel[25]{1})[/mm] ?
>
> Das geht jetzt genauso so leicht? Ich gehe doch richitg in
> der Annahme, dass hier die 25-ten Einheitswurzeln zu [mm]\IQ[/mm]
> hinzuadjungiert werden. Also wäre der Grad [ [mm]\IQ[/mm] (
> [mm]\wurzel[25]{1}): \IQ][/mm] = 25
Wie sieht man das denn? Minimalpolynom könnte sein [mm] x^{25}-1, [/mm] aber ist das irreduzibel? Mit Eisenstein sieht man das nicht sofort. Man könnte substituieren [mm] (x+1)^{25}+1 [/mm] und das untersuchen!
> Es gilt wie gehabt: [ [mm]\IQ[/mm] ( [mm]\wurzel[4]{5}): \IQ[/mm] ] = 4
>
> 4 ist kein Teiler von 25, also passt es nicht, richig?
Ja, wenn der Grad der Körpererweiterung oben stimmt!
Viele Grüße
Daniel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:11 Mo 13.03.2006 | | Autor: | felixf |
> > Das geht jetzt genauso so leicht? Ich gehe doch richitg in
> > der Annahme, dass hier die 25-ten Einheitswurzeln zu [mm]\IQ[/mm]
> > hinzuadjungiert werden. Also wäre der Grad [ [mm]\IQ[/mm] (
> > [mm]\wurzel[25]{1}): \IQ][/mm] = 25
>
> Wie sieht man das denn? Minimalpolynom könnte sein
> [mm]x^{25}-1,[/mm] aber ist das irreduzibel?
Nein, es hat die Nullstelle $1$.
Schaut mal ![[]](/images/popup.gif) hier, da steht was zum Minimalpolynom. Uebrigens: [mm] $\phi(25) [/mm] = [mm] \phi(5^2) [/mm] = 5 [mm] \cdot [/mm] 4 = 20$, womit [mm] $[\Q(\sqrt[25]{1}) [/mm] : [mm] \Q] [/mm] = 20$ ist. Das Gradsatzargument geht hier also nicht!
Wie man das Problen nu angehen kann faellt mir grad nicht ein, wenn mir was einfaellt melde ich mich...
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:07 Mo 13.03.2006 | | Autor: | statler |
Hallo,
ich vermute inzwischen fast, daß der eine Körper im andern enthalten ist. Kann man das evtl mit Gaußschen Summen zeigen? Also ganz explizit?
Ich überlege mir das heute abend etwas genauer.
Gruß
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:29 Mo 13.03.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Dieter,
> ich vermute inzwischen fast, daß der eine Körper im andern
> enthalten ist.
das ist er nicht: Laut folgendem MAGMA-Programm zerfaellt [mm] $x^4 [/mm] - 5$ ueber [mm] $\Q(\sqrt[25]{1})$ [/mm] in zwei quadratische Faktoren, womit [mm] $\sqrt[4]{5}$ [/mm] nicht in [mm] $\Q(\sqrt[25]{1})$ [/mm] enthalten ist:
| 1: | R := PolynomialRing(Rationals());
| | 2: | f := R ! CyclotomicPolynomial(25);
| | 3: | I := ideal<R | f>;
| | 4: | S<x> := PolynomialRing(R/I);
| | 5: | g := x^4 - 5;
| | 6: | Factorization(g); |
Ausgabe:
| 1: | [
| | 2: | <x^2 - 2*$.1^15 - 2*$.1^10 - 1, 1>,
| | 3: | <x^2 + 2*$.1^15 + 2*$.1^10 + 1, 1>
| | 4: | ] |
(Dabei ist $.1 eine Nullstelle von $f$, also gleich [mm] $\sqrt[25]{1}$. [/mm] Das Polynom $f$ ist uebrigens [mm] $t^{20} [/mm] + [mm] t^{15} [/mm] + [mm] t^{10} [/mm] + [mm] t^5 [/mm] + 1$.)
> Kann man das evtl mit Gaußschen Summen zeigen? Also ganz explizit?
Damit kenn ich mich leider nicht aus...
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:01 Mo 13.03.2006 | | Autor: | statler |
Hallo,
hier ist Vorsicht geboten. Die p-ten Einheitswurzeln (p prim) haben Grad p-1, also die 5ten Grad 4, und die sind Zwischenkörper.
Mehr Zeit habe ich jetzt nicht, vllt später
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:06 Mo 13.03.2006 | | Autor: | cycilia |
Hmm,... eigentlich kann man ja per Polynomdivision x-1 herausdividieren aus x^25-1. Die Nullstellen des resultierenden Polynomes müssten ja immer nch die 25-ten Einheitswurzeln sein.... Also wäre der Grad schonmal
[mm] \le [/mm] 24.
|
|
|
|
