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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:24 Mi 11.11.2009 | | Autor: | stffn |
| Aufgabe | Welche drei der Folgenden Polynome sind ein Erzeugendensystem des Vektorraums R(kleiner gleich 1 im index)[x] von Grad höchstens gleich 1?
3x+6,
2x,
0,
6x,
-3x-6,
-4x |
Ja meine Frage ist im Prinzip sehr allgemein, nämlich zum einen was dieses kleiner gleich 1 im Index bedeutet, und vorallem wie ich an diese Aufgabe überhaupt rangehen muss, was ist zu zeigen, welche Bedingungen müssen erfüllt sein etc.?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Welche drei der Folgenden Polynome sind ein
> Erzeugendensystem des Vektorraums R(kleiner gleich 1 im
> index)[x] von Grad höchstens gleich 1?
>
> 3x+6,
> 2x,
> 0,
> 6x,
> -3x-6,
> -4x
> Ja meine Frage ist im Prinzip sehr allgemein, nämlich zum
> einen was dieses kleiner gleich 1 im Index bedeutet, und
> vorallem wie ich an diese Aufgabe überhaupt rangehen muss,
> was ist zu zeigen, welche Bedingungen müssen erfüllt sein
> etc.?
Hallo,
der VR [mm] \IR[x]_{\le 1} [/mm] ist der Vektorraum der Polynome vom Höchstgrad 1.
Es sind also sämtliche Polynome der Gestalt [mm] p=a_1x+a_0, \quad a_0, a_1\in \IR, [/mm] drin.
Ihr hattet gewiß besprochen, daß dieser VR die Dimension 2 hat.
Du sollst nun sagen, mit welchen der drei gegebenen Polynome Du ein Erzeugendensystem dieses Raumes hast, also jedes Element durch Linearkombination erzeugen kannst.
Wenn Du gut aufgepaßt hast, weißt Du, daß jedes Erzeugendensystem eine Basis enthält.
Mit diesem Woissen können wir Deine Aufgabe erstmal verkleinern: suche aus den Vektoren zwei aus, die eine Basis des [mm] \IR[x]_{\le 1} [/mm] bilden, also linear unabhängig sind.
Diese kannst Du durch ein beliebiges der Polynome ergänen und hast damit das geforderte Erzeugendensystem mit 3 Vektoren gefunden.
Es gibt zu dieser Aufgabe nicht nur eine Lösung, sondern man kann verschiedene Erzeugendensysteme aus Deinen Polynomen zusammenstellen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:17 Do 12.11.2009 | | Autor: | stffn |
Guten Morgen!
Danke für den Tipp!
Dann ist dass wohl genau das selbe wie wenn ich anstatt der Darstellung als Polynome Vektoren hätte? Was wiederum heißt dass ich ein lineares Gleichungssystem aufstellen muss um die lineare Unabhängigkeit zu beweisen? So würde ich es machen:
2x = 0 => x=0
6x = 0 => x=0
==> linear abhängig
Jetzt noch einen beliebiges drittes Polynom dazu, weil die Dimension Dim=2 ist und ich somit nur 2 linear abhängige Polynome brauche???!!
Demnach würden folgende drei Polynome die Frage beantworten:
2x, 6x, 0
Hoffe ich habe es nicht komplett falsch verstanden, wäre über eine bestätigung, falls es richtig ist, sehr dankbar.
Liebe grüße
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> Guten Morgen!
> Danke für den Tipp!
> Dann ist dass wohl genau das selbe wie wenn ich anstatt
> der Darstellung als Polynome Vektoren hätte? Was wiederum
> heißt dass ich ein lineares Gleichungssystem aufstellen
> muss um die lineare Unabhängigkeit zu beweisen?
Hallo,
stimmt alles, aber Du hast es trotzdem falsch verstanden.
Zunächst einmal mußt Du Dich von Deiner Vorstellung, daß Vektoren Pfeile oder solche Gebilde [mm] \vektor{1\\2}, \vektor{1\\2\\3\\4\\5} [/mm] sind, trennen.
Vektoren sind Elemente eines Vektorraumes. Basta.
Und was ein vektorraum ist, sagen Dir die entsprechenden Axiome.
In der Vorlesung wurde festgestellt: die Menge der Polynome vom Höchstgrad n bildet mit den passenden Verknüpfungen einen Vektorraum.
Also sind die Vektoren (=Elemente des Vektorraumes) in diesem Fall Polynome.
Ich zeige Dir jetzt, daß Deine beiden Vektoren [mm] v_1:=2x [/mm] und [mm] v_2=6x [/mm] nicht linear unabhängig sind.
Wären sie linear unabhängig, dann würde aus [mm] $\lambda_1v_1+\lambda_2 v_2$= [/mm] (Null im VR [mm] \IR_{\le 1}) [/mm] folgen [mm] \lambda_1=\lambda_2=0.
[/mm]
Dies ist aber nicht der Fall:
sei [mm] $\lambda_1v_1+\lambda_2 v_2$=0*x+0*1 [/mm] (Nullpolynom)
<==> [mm] $\lambda_1*2x+\lambda_2 [/mm] *6x$=0*x+0*1
[mm] <==>$(\lambda_1*2+\lambda_2 [/mm] *6)x$=0*x+0*1
==> [mm] \lambda_1*2+\lambda_2 [/mm] *6 =0.
Eine Lösung wäre [mm] \lambda_1=-3 [/mm] und [mm] \lambda_2=1.
[/mm]
Also gibt es nicht nur die triviale Lösung, dh. die beiden Vektoren sind ncht linear unabhängig.
Wenn Du bedacht hättest, daß jede Basis eines Raumes auch ein Erzeugendensystem ist, hättest Du die beiden Vektoren [mm] v_1=2x [/mm] und [mm] v_2=6x [/mm] sofort als Basis knicken können, denn mit ihnen kannst Du jewiß nicht per Linearkombination alle Polynome vom Höchstgrad 1 erzeugen.
Oder hast Du eine Idee, wie Du es mit reellen Koeffizienten z.B. hinbekommst, daß [mm] a_1*2x+ a_2*6x= [/mm] x+1?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:01 Do 12.11.2009 | | Autor: | stffn |
Ok. jetzt bin ich ehrlich gesagt einbisschen verwirrt.
Deine Argumentation war zwar noch schlüssig und logisch, aber wie soll ich das Gleichungssystem jetzt z.B. für die Polynome
3x+6 und 6x aufstellen?
wäre ja dann (l benutze ich mal für lambda, die zahl dahinter der index)
l1*(3x+6)+l2*(6x)=0*x+0*1
aber drei unbekannte??
Tut mir leid, aber irgendwie komm ich nicht drauf wie das geht.
Gehe davon aus dass diese beiden linear unabhängig sind, da die Gleichung nur =0 ist, wenn l1 und l2 Null sind. Oder?!
Danke für die Bemühungen.
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> Ok. jetzt bin ich ehrlich gesagt einbisschen verwirrt.
> Deine Argumentation war zwar noch schlüssig und logisch,
> aber wie soll ich das Gleichungssystem jetzt z.B. für die
> Polynome
> 3x+6 und 6x aufstellen?
> wäre ja dann (l benutze ich mal für lambda, die zahl
> dahinter der index)
>
> [mm] l_1*(3x+6)+l_2*(6x)=0*x+0*1
[/mm]
>
> aber drei unbekannte??
Hallo,
das ist doch schon recht nett:
==>
[mm] (3l_1+6l_2)x+6l_1=0*x+0*1.
[/mm]
Rechts ein Polynom (Nullpolynom), links ein Polynom.
Wann sind zwei Polynome gleich?
Wenn ihre Koeffizienten gleich sind.
==> [mm] 3l_1+6l_2=0 [/mm] und [mm] 6l_1=0
[/mm]
==> [mm] l_1=l_2=0.
[/mm]
Also sind die Vektoren 3x+6 und 6x linear unabhängig.
Da Du sicher aus der VL weißt, daß der Raum [mm] \IR_{\le 1} [/mm] die Dimension 2 hat, kannst Du sicher sein, eine Basis des [mm] \IR_{\le 1} [/mm] gefunden zu haben.
Ansonsten könntest Du Dich auch davon überzeugen, daß Du mit den beiden jedes Element Deines Raumes als Linearkombination schreiben kannst.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:54 Do 12.11.2009 | | Autor: | stffn |
Danke!! Langsam fang ich an yu verstehen, was dahinter steckt. Schönen tag wünsch ich noch
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