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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:40 Mi 26.01.2011 | | Autor: | cahoona |
| Aufgabe | Bilden die Vektoren [mm] a_{1}=\vektor{2 \\ 3} [/mm] und [mm] a_{2}=\vektor{1 \\ 3} [/mm] des [mm] \IR^2 [/mm] ein Erzeugendensystem? Wenn ja, wie lassen sich beliebige Vektoren [mm] \vektor{a \\ b} \in \IR^2 [/mm] mit a,b [mm] \in \IR [/mm] als Linearkombination darstellen?
Bilden die Vektoren auch eine Basis? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zunächst einmal,
Die erste Frage lässt sich ja eindeutig mit ja beanntworten, da die beiden Vektoren linear unabhängig sind. Die Dimension beträgt 2 also liegt hier auch eine Basis vor.
Meine Frage kommt jetzt zum Mittelteil der Aufgabe. Ich komme einfach nicht weiter bei dem Versuch den Vektor [mm] \vektor{a \\ b} [/mm] als Linearkombination darzustellen.
Danke schon einmal für eure Denkanstöße. Wahrscheinlich ist es trivial, wie man so schön sagt...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:51 Mi 26.01.2011 | | Autor: | notinX |
Hi,
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> Hallo zunächst einmal,
> Die erste Frage lässt sich ja eindeutig mit ja
> beanntworten, da die beiden Vektoren linear unabhängig
> sind. Die Dimension beträgt 2 also liegt hier auch eine
> Basis vor.
ja, das stimmt.
> Meine Frage kommt jetzt zum Mittelteil der Aufgabe. Ich
> komme einfach nicht weiter bei dem Versuch den Vektor
> [mm]\vektor{a \\ b}[/mm] als Linearkombination darzustellen.
> Danke schon einmal für eure Denkanstöße. Wahrscheinlich
> ist es trivial, wie man so schön sagt...
Eine Linearkombination bedeutet immer eine Summe. Wenn Du mit dieser Summe was darstellen möchstest wird daraus eine Gleichung und da es sich um Vektoren (mit mehreren Komponenten) handelt wird aus dem Ganzen ein Gleichungssystem.
reicht das schon als Denkanstoß?
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:29 Mi 26.01.2011 | | Autor: | cahoona |
Scheinbar hat es leider nicht gereicht...
Setze: [mm] a_{1}=x, a_{2}=y [/mm] zur Besseren Übersicht.
Folgendes Gleichungssystem hatte ich gebildet:
2x+y = a
3x+3y= b
dies habe ich dann in richtung [mm] a_{1} [/mm] respektive [mm] a_{2} [/mm] umgeformt und kam zu folgendem Ergebnis:
[mm] x=\bruch{b}{3}-y
[/mm]
y=a-2x
Das ganze in einander eingesetzt führte dann zwar zu Ergebnissen für x und y, diese liessen sich aber durch einsetzen in die Ausgangsgleichung leider Widerlegen. Jetzt weiss ich nicht wo mein Denkfehler ist. Die Aufgabe zielt ja denke ich darauf hin, die Skalare so zu wählen, dass jeder Vektor erzielt werden kann?
Welcher Schritt fehlt mir also?
Vielen Dank für die schnelle Antwort.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:44 Mi 26.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Scheinbar hat es leider nicht gereicht...
> Setze: [mm]a_{1}=x, a_{2}=y[/mm] zur Bbesseren Übersicht.
kapiere ich nicht. [mm] $a_1$ [/mm] war ein Vektor, und [mm] $a_2$ [/mm] war ein Vektor des [mm] $\IR^2\,.$ [/mm] Logischerweise hast Du nun
[mm] $$x*a_1+y*a_2=\vektor{a\\b}$$
[/mm]
nach [mm] $x,y\,$ [/mm] aufzulösen (dabei sind $x [mm] \in \IR$ [/mm] und $y [mm] \in \IR$ [/mm] und man kann daher auch sagen: man sucht Lösungspaare $(x,y) [mm] \in \IR^2$). [/mm]
Dadurch folgt wegen [mm] $a_1=\vektor{2\\3}$ [/mm] und [mm] $a_2=\vektor{1\\3}$ [/mm] dann die Gleichung(en) (wenn man sie zeilenweise liest!)
[mm] $$x*\vektor{2\\3}+y*\vektor{1\\3}=\vektor{a\\b}\,.$$
[/mm]
> Folgendes Gleichungssystem hatte ich gebildet:
> 2x+y = a
> 3x+3y= b
Das passt dann, komischerweise, zu dem von mir in Spaltenvektor-Schreibweise aufgestellten Gleichungssystem. Ist Dir aber klar, dass Dein [mm] $a_1=x\,$ [/mm] setzen was anderes ist und nicht dazu passt (alleine schon, weil [mm] $a_1 \in \IR^2\,,$ [/mm] aber $x [mm] \in \IR$ [/mm] sein sollte)?
> dies habe ich dann in richtung [mm]a_{1}[/mm] respektive [mm]a_{2}[/mm]
> umgeformt und kam zu folgendem Ergebnis:
> [mm]x=\bruch{b}{3}-y[/mm]
> y=a-2x
>
> Das ganze in einander eingesetzt führte dann zwar zu
> Ergebnissen für x und y, diese liessen sich aber durch
> einsetzen in die Ausgangsgleichung leider Widerlegen.
Dann hast Du aller Wahrscheinlichkeit Dich nach dem Einsetzen einfach verrechnet.
> Jetzt
> weiss ich nicht wo mein Denkfehler ist. Die Aufgabe zielt
> ja denke ich darauf hin, die Skalare so zu wählen, dass
> jeder Vektor erzielt werden kann?
>
> Welcher Schritt fehlt mir also?
Eine Kontrolle Deiner Rechnung fehlt. Da Du sie aber nicht gepostet hast:
In [mm] $y=a-2x\,$ [/mm] nun [mm] $x=(b/3)-y\,$ [/mm] eingesetzt liefert
[mm] $$y=a-\frac{2}{3}b+2y$$
[/mm]
(1. Hinweis: Steht bei Dir rechterhand auch [mm] $\red{+}2y$?)
[/mm]
Damit ist
[mm] $$y=\frac{2}{3}b-a$$
[/mm]
und damit
[mm] $$x=\frac{b}{3}-\frac{2}{3}b+a=a-\frac{b}{3}\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:56 Mi 26.01.2011 | | Autor: | cahoona |
Vielen Dank für die Ausführliche Antwort. Das Gleichsetzen von x mit a1 usw. war natürlich absoluter Blödsinn. Das war ein gewaltiger Denkfehler von mir, den ich nachträglich leider reingebracht habe.....
Jetzt bin ich aber langsam auf dem Weg der Besserung.
Vielen Dank!
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