Erzeugendensystem < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:25 Do 24.02.2011 | | Autor: | David90 |
| Aufgabe | | Gegeben ist die Matrix [mm] A:=\pmat{ 1 & 2 \\ 4 & 7 }. [/mm] Bilden die Spalten von A eine Basis des [mm] \IR^2? [/mm] |
Hi Leute,
ich übe grad für die klausur und hab die obige Aufgabe im Hefter gefunden. Also um zu überprüfen ob die Spalten eine Basis bilden, muss man überprüfen ob lineare Unabhängigkeit vorliegt (was ohne Zweifel der Fall ist) und ob es sich bei den Spalten um ein Erzeugendensystem handelt. Da liegt aber das Problem, weil ich das nie so richtig verstanden habe, wie man das überprüft. Also ich weiß noch, dass man das irgendwie mit einem allgemeinen Vektor [mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2}} [/mm] machen muss. Aber wie man das genau macht ist mir ein Rätsel. Kann mir das mal bitte jemand erklären?^^
Danke schon mal
Gruß David
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:35 Do 24.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben ist die Matrix [mm]A:=\pmat{ 1 & 2 \\ 4 & 7 }.[/mm] Bilden
> die Spalten von A eine Basis des [mm]\IR^2?[/mm]
> Hi Leute,
> ich übe grad für die klausur und hab die obige Aufgabe
> im Hefter gefunden. Also um zu überprüfen ob die Spalten
> eine Basis bilden, muss man überprüfen ob lineare
> Unabhängigkeit vorliegt (was ohne Zweifel der Fall ist)
Stimmt
> und ob es sich bei den Spalten um ein Erzeugendensystem
> handelt.
Das mußt Du in obigem Fall nicht mehr nachprüfen, denn 2 l.u. Vektoren im [mm] \IR^2 [/mm] bilden eine Basis des [mm] \IR^2 [/mm] !!
> Da liegt aber das Problem, weil ich das nie so
> richtig verstanden habe, wie man das überprüft. Also ich
> weiß noch, dass man das irgendwie mit einem allgemeinen
> Vektor [mm]\vektor{x_{1} \\ x_{2}}[/mm] machen muss. Aber wie man
> das genau macht ist mir ein Rätsel. Kann mir das mal bitte
> jemand erklären?^^
Ist V ein Vektorraum über dem Körper K und sind [mm] x_1,..., x_m \in [/mm] V, so heißt
[mm] $\{x_1,...,x_m \}$
[/mm]
ein Erzeugendensystem von V, wenn es zu jedem x [mm] \in [/mm] V Skalare [mm] k_1,...,k_m \in [/mm] K gibt mit:
[mm] $x=k_1*x_1+...+k_m*x_m$
[/mm]
FRED
> Danke schon mal
> Gruß David
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:57 Do 24.02.2011 | | Autor: | David90 |
also 2 lineare unabhängige Vektoren im [mm] \IR^2 [/mm] bilden immer eine Basis des [mm] \IR^2 [/mm] ja? Und wieso muss man dann immer zeigen, dass es ein Erzeugendensystem ist? Lineare Unabhängigkeit reicht dann doch...
Gruß David
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Hallo David,
> also 2 lineare unabhängige Vektoren im [mm]\IR^2[/mm] bilden immer
> eine Basis des [mm]\IR^2[/mm] ja? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Und wieso muss man dann immer
> zeigen, dass es ein Erzeugendensystem ist? Lineare
> Unabhängigkeit reicht dann doch...
Das stimmt in diesem Fall aus Dimensionsgründen.
Denn: der [mm]\IR^2[/mm] ist 2-dimensional, jede Basis des [mm]\IR^2[/mm] besteht also aus genau 2 linear unabh. Vektoren und umgekehrt bilden je zwei linear unabh. Vektoren des [mm]\IR^2[/mm] eine Basis des [mm]\IR^2[/mm].
Du kannst es aber der Übung halber mal explizit nachrechnen.
Nimm dir einen bel. Vektor [mm]\vektor{x\\
y}\in\IR^2[/mm] her und stelle ihn als LK der Basisvektoren dar.
[mm]\vektor{x\\
y}=\lambda\cdot{}\vektor{1\\
4}+\mu\cdot{}\vektor{2\\
7}[/mm]
Löse das nach [mm]\lambda[/mm] und [mm]\mu[/mm]
> Gruß David
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:14 Do 24.02.2011 | | Autor: | David90 |
Dann komm ich auf [mm] \lambda=\bruch{7}{3}x-\bruch{1}{3}y [/mm] und [mm] \mu=-\bruch{4}{3}x+\bruch{1}{3}y [/mm] Und jetzt?:)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:18 Do 24.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> Dann komm ich auf [mm]\lambda=\bruch{7}{3}x-\bruch{1}{3}y[/mm] und
> [mm]\mu=-\bruch{4}{3}x+\bruch{1}{3}y[/mm] Und jetzt?:)
Das stimmt nicht. Da hast Du Dich verrechnet
Wenn Du [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu [/mm] richtig hast, so hast Du sie so bestimmt, dass
$ [mm] \vektor{x\\ y}=\lambda\cdot{}\vektor{1\\ 4}+\mu\cdot{}\vektor{2\\ 7} [/mm] $
gilt. Das war doch Sinn und Zweck der Rechnerei
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:26 Fr 25.02.2011 | | Autor: | David90 |
Ja hast Recht...ich komme auf [mm] \mu=4x-y [/mm] und [mm] \lambda=-7x+2y [/mm] :) So und wenn ich das jetzt wieder einsetze stimmt das auch und damit habe ich bewiesen, dass es sich um ein Erzeugendensystem handelt oder was?
Gruß David
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Hallo,
> Ja hast Recht...ich komme auf [mm]\mu=4x-y[/mm] und [mm]\lambda=-7x+2y[/mm]
Ja, sowas in der Art hatte ich gestern auch raus ...
> :) So und wenn ich das jetzt wieder einsetze stimmt das
> auch und damit habe ich bewiesen, dass es sich um ein
> Erzeugendensystem handelt oder was?
Die Frage zeigt, dass dir nicht (ganz?) klar ist, was ein EZS ist ...
Was verstehst du darunter?
Du hast dir doch einen beliebigen Vektor des [mm] $\IR^2$ [/mm] hergenommen, [mm] $\vektor{x\\y}$, [/mm] und ihn als LK der beiden Vektoren dargestellt.
Da [mm] $\vektor{x\\y}$ [/mm] bel. gewählt war, lässt sich jeder Vektor des [mm] $\IR^2$ [/mm] als LK der beiden darstellen, sie bilden also ein EZS
> Gruß David
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:58 Fr 25.02.2011 | | Autor: | David90 |
Achso verstehe...ja du hast Recht das mit dem Erzeugendensystem war mir noch nie so wirklich klar...jetz weiß ich immerhin wie man das rechnerisch untersucht. Und mit der Methode kann man das ja immer machen, nur halt wenns z.B. der [mm] \IR^3 [/mm] ist dann untersucht man halt den allgemeinen vektor [mm] \vektor{x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3}} [/mm] oder?Eine Frage hätte ich dann noch: wenn 2 lineare unabhängige Vektoren immer ein EZ im [mm] \IR^2 [/mm] bilden, dann muss man doch im [mm] \IR^2 [/mm] nur die lineare Unabhängigkeit überprüfen oder? Weil dann weiß man ja gleich dass es ein EZ ist.
Gruß David
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:16 Fr 25.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja du hast recht, im [mm] R^3 [/mm] musst du 3 lin unabh. haben usw.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:20 Fr 25.02.2011 | | Autor: | David90 |
Alles klar und meine Frage davor stimmt auch oder was? Wenn 2 lineare unabhängige Vektoren im [mm] \IR^2 [/mm] immer ein EZ bilden, dann muss man doch im [mm] \IR^2 [/mm] nur die lineare Unabhängigkeit überprüfen oder? Weil dann weiß man ja gleich dass es ein EZ ist. Das heißt die Überprüfung des EZ ist überflüssig oder?
Gruß David
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:19 Fr 25.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> Eine
> Frage hätte ich dann noch: wenn 2 lineare unabhängige
> Vektoren immer ein EZ im [mm]\IR^2[/mm] bilden, dann muss man doch
> im [mm]\IR^2[/mm] nur die lineare Unabhängigkeit überprüfen oder?
Liest Du was man Dir schreibt ?
https://matheraum.de/read?i=772991
FRED
> Weil dann weiß man ja gleich dass es ein EZ ist.
> Gruß David
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:28 Fr 25.02.2011 | | Autor: | David90 |
Ja ich wollte nur mal sicher gehen, dass das auch allgemein gilt. Also im [mm] \IR^2 [/mm] muss man nur die lineare Unabhängigkeit überprüfen. Also ist ein Nachweis des EZ nur in größeren Räumen als des [mm] \IR^2 [/mm] nötig oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:31 Fr 25.02.2011 | | Autor: | fred97 |
Nimm an, Du hast n Vektoren [mm] x_1,...,x_n \in \IR^n. [/mm] Dann gilt:
$ [mm] \{ x_1,...,x_n \}$ [/mm] ist eine Basis des [mm] \IR^n \gdw x_1,...,x_n [/mm] sind linear unabhängig
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:37 Fr 25.02.2011 | | Autor: | David90 |
Wozu braucht man denn überhaupt Erzeugendensysteme? Warum gilt für eine Basis, dass die Vektoren linear unabhängig und ein EZ bilden müssen, wenn die lineare Unabhängigkeit schon reicht :O Das versteh ich einfach nich :O
Gruß David
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:03 Fr 25.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> Wozu braucht man denn überhaupt Erzeugendensysteme? Warum
> gilt für eine Basis, dass die Vektoren linear unabhängig
> und ein EZ bilden müssen, wenn die lineare Unabhängigkeit
> schon reicht :O Das versteh ich einfach nich :O
> Gruß David
Ich versuchs mal so:
Wir bleiben im [mm] \IR^n [/mm] und geben vor: ein m [mm] \in \IN [/mm] und [mm] x_1,...,x_m \in \IR^n. [/mm] Wir setzen
[mm] $M:=\{ x_1,...,x_m \}$
[/mm]
und L sei die lineare Hülle von M. (M muß nicht linear unabh. sein !)
1.: M ist ein Erzeugendensystem des [mm] \IR^n \gdw L=\IR^n.
[/mm]
Beispiel:
[mm] \{\vektor{1 \\ 0}, \vektor{0 \\ -12}, \vektor{110 \\ 4711}, \vektor{-4 \\ 13},\vektor{0 \\ 0,123456789} \}
[/mm]
ist ein Erz. - System des [mm] \IR^2.
[/mm]
2.: für M sind die folgenden Aussagen äquivalent:
(1) M ist eine Basis der [mm] \IR^n;
[/mm]
(2) M ist linear unabhängig und [mm] L=\IR^n
[/mm]
(3) M ist linear unabh. und m=n.
FRED
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