Erzeugendensystem Summenformel < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:23 Mo 16.11.2009 | | Autor: | r2d2 |
| Aufgabe | Es sei M ein Erzeugendensystem eines Vektorraums V.
Beweise:
M ist genau dann eine Basis von V, falls sich mindestens ein Vektor [mm]a\in V[/mm] eindeutig in der Form
[mm]\summe_{m\in M} x_m m[/mm]
darstellen lässt. |
Hallo,
ich komme einfach nicht dahinter, was diese Summenformel zu bedeuten hat.
[mm]\summe_{m\in M} x_m m[/mm]
Kann sie mir jemand erklären?
Grüße,
Daniel
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:31 Mo 16.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Es sei M ein Erzeugendensystem eines Vektorraums V.
> Beweise:
> M ist genau dann eine Basis von V, falls sich mindestens
> ein Vektor [mm]a\in V[/mm] eindeutig in der Form
> [mm]\summe_{m\in M} x_m m[/mm]
> darstellen lässt.
> Hallo,
>
> ich komme einfach nicht dahinter, was diese Summenformel zu
> bedeuten hat.
>
> [mm]\summe_{m\in M} x_m m[/mm]
die [mm] x_m [/mm] sind Elemente des zugrundeliegenden Körpers K
[mm]\summe_{m\in M} x_m m[/mm] ist eine endliche Summe !
Vereinbarungsgemäß sind in dieser Summe nur endlich viele [mm] x_m \not= [/mm] 0
Hattet Ihr das nicht ?
FRED
>
> Kann sie mir jemand erklären?
>
> Grüße,
> Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:45 Mo 16.11.2009 | | Autor: | r2d2 |
also ist damit einfach eine Linearkombination von M gemeint?
Dann verstehe ich aber nicht, wie ich das beweisen soll?
Weil nur weil ein Element sich als Linearkombination darstellen lässt, heißt das ja noch lange nicht, dass das Erzeugendensystem M auch eine Basis ist.
Ich habe den Beweis probiert und erhalte nur falsche Ergebnisse:
zu zeigen:
[mm] \exists a \in V | a= \summe_{m\in M} x_m m \Rightarrow M=Basis[/mm]
indirekt:
[mm] M\not= Basis \Rightarrow M l.a. \Rightarrow \exists a \in M,V | a= \summe_{m\in M} x_m m \Rightarrow \exists a \in V | a= \summe_{m\in M} x_m m[/mm]
also stimmt die obige Behauptung für mich nicht...
Oder habe ich die Behauptung falsch formuliert?
Grüße,
Daniel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:50 Mo 16.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> also ist damit einfach eine Linearkombination von M
> gemeint?
Ja
>
> Dann verstehe ich aber nicht, wie ich das beweisen soll?
>
> Weil nur weil ein Element sich als Linearkombination
> darstellen lässt, heißt das ja noch lange nicht, dass das
> Erzeugendensystem M auch eine Basis ist.
Da oben steht:
...... "falls sich mindestens ein Vektor $ [mm] a\in [/mm] V $ eindeutig in der Form
$ [mm] \summe_{m\in M} x_m [/mm] m $
darstellen lässt."
Genau lesen, da steht "eindeutig" !!
FRED
>
> Ich habe den Beweis probiert und erhalte nur falsche
> Ergebnisse:
>
> zu zeigen:
> [mm]\exists a \in V | a= \summe_{m\in M} x_m m \Rightarrow M=Basis[/mm]
>
> indirekt:
> [mm]M\not= Basis \Rightarrow M l.a. \Rightarrow \exists a \in M,V | a= \summe_{m\in M} x_m m \Rightarrow \exists a \in V | a= \summe_{m\in M} x_m m[/mm]
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> also stimmt die obige Behauptung für mich nicht...
>
> Oder habe ich die Behauptung falsch formuliert?
>
> Grüße,
> Daniel
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