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Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume" - Erzeugendensystem Vektorraum
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Erzeugendensystem Vektorraum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:57 Di 18.11.2008
Autor: nina1

Aufgabe
Wählen Sie aus der Liste 3 Polyonome so aus, dass diese ein Erzeugendensystem des Vektorraums [mm] R_{\le1}[x] [/mm] der Polynome vom Grad höchstens gleich 1 sind.

3x + 6
2x
0
4x
-3x-6
-4x

Hallo,

wäre das dann z. B.
p1(x)=3x+6
p2(x)=2x
p3(x)=0

Da diese ja alle linear unabhängig sind.

Danke im Voraus, Grüße,

Nina

        
Bezug
Erzeugendensystem Vektorraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:23 Di 18.11.2008
Autor: Al-Chwarizmi


> Wählen Sie aus der Liste 3 Polynome so aus, dass diese ein
> Erzeugendensystem des Vektorraums [mm]R_{\le1}[x][/mm] der Polynome
> vom Grad höchstens gleich 1 sind.
>  
> 3x + 6
>  2x
>  0
>  4x
>  -3x-6
>  -4x
>  Hallo,
>  
> wäre das dann z. B.
> p1(x)=3x+6
>  p2(x)=2x
>  p3(x)=0
>  
> Da diese ja alle linear unabhängig sind.     [notok]


Eine Menge von Polynomen, welche das Nullpolynom
enthält, ist nie linear unabhängig !

Du hast aber darin recht, dass p1,p2,p3 tatsächlich
ein Erzeugendensystem bilden. Ein Erzeugenden-
system muss nämlich gar nicht zwingend linear
unabhängig sein.

Für ein linear unabhängiges Erzeugendensystem
(also eine Basis) würden hier zwei Polynome aus-
reichen, z.B. p1 und p2 oder etwa p4 und p5
(aber z.B. nicht p1 und p5), da der Vektor-
raum nur 2-dimensional ist.

Um nachzuweisen, dass schon p1 und p2 ausreichen,
um den Vektorraum zu erzeugen, müsstest du noch
nachweisen, dass jedes Polynom $\ [mm] p:x\mapsto [/mm] a*x+b$
mit [mm] a,b\in\IR [/mm] sich schreiben lässt als

       $\ [mm] p=\lambda_1*p1+\lambda_2*p2$ [/mm]

lg




Bezug
                
Bezug
Erzeugendensystem Vektorraum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:49 Di 18.11.2008
Autor: nina1

Achso ok :-) danke.

Also in der Aufgabenstellung ist unbedingt nach 3 Polynomen gesucht.

Aber wenn sie nicht linear unabhängig sein müssen, dann können ja 3x+6; 2x und 4x dann ein Erzeugendensystem bilden(oder?)

Wie ist das aber mit der Dimension, es ist hier 2-Dimensional? Aber woran erkennt man welche Dimension Polynome im Vektorraum haben? Hat das was mit dem Grad zu tun?

Viele Grüße.

Bezug
                        
Bezug
Erzeugendensystem Vektorraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:23 Di 18.11.2008
Autor: angela.h.b.


> Aber wenn sie nicht linear unabhängig sein müssen, dann
> können ja 3x+6; 2x und 4x dann ein Erzeugendensystem
> bilden(oder?)

Hallo,

ja, die sind auch ein Erzeugendensystem des [mm] \IR-Vektorraumes [/mm] der reellen Polynome vom Höchstgrad 1, [mm] \IR[x]_{\le 1}. [/mm]

>  
> Wie ist das aber mit der Dimension, es ist hier
> 2-Dimensional? Aber woran erkennt man welche Dimension
> Polynome im Vektorraum haben?

Halt! Polynome haben keine Dimension.
Eine Dimension hat der Vektorraum der Polynome.

> Hat das was mit dem Grad zu
> tun?

In dem Vektorraum, von dem hier sie Rede ist, sind alle Polynome Linearkombinationen von x und 1. x und 1 bilden zusammen ein Erzeugendensystem. Du kannst Dich davon überzeugen, daß sie linear unabhängig sind. Somit bilden sie eine Basis. Diese Basis besteht - wie jede andere Basis dieses Vektorraumes auch - aus zwei Elementen.

Also hat Dein Vektorraum die Dimension 2.

Gruß v. Angela

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