Erzeugendensystem und Basis < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Wir betrachten folgende Teilmengen des [mm] \IR^{3}:
[/mm]
$ U:= [mm] \left\{ \vektor{1 \\ 1 \\ 1}, \vektor{0 \\ 1 \\ 1}, \vektor{1 \\ 0 \\ 0} \right\}$
[/mm]
$ V:= [mm] \left\{ \vektor{1 \\ 1 \\ 1}, \vektor{0 \\ 1 \\ 1}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1} \right\}$
[/mm]
$ W:= [mm] \left\{ \vektor{1 \\ 1 \\ 1}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 1}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1} \right\}$
[/mm]
Welche dieser Mengen bilden ein Erzeugendensystem und welche eine Basis des [mm] \IR^{3} [/mm] |
hallo erstmal,
es soll eigentlich ganz einfach sein,
doch habe ich probleme mir das erzeugendensystem und die basis vorzustellen, bzw. sind unsere definitionen dafür sehr dürftig,
könnte mir mal jemand zumindest an einer menge zeigen wie das geht,
danke
mfg
wulfstone
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Hallo wulfstone!
> Wir betrachten folgende Teilmengen des [mm]\IR^{3}:[/mm]
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> [mm]U:= \left\{ \vektor{1 \\ 1 \\ 1}, \vektor{0 \\ 1 \\ 1}, \vektor{1 \\ 0 \\ 0} \right\}[/mm]
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> [mm]V:= \left\{ \vektor{1 \\ 1 \\ 1}, \vektor{0 \\ 1 \\ 1}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1} \right\}[/mm]
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> [mm]W:= \left\{ \vektor{1 \\ 1 \\ 1}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 1}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1} \right\}[/mm]
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> Welche dieser Mengen bilden ein Erzeugendensystem und
> welche eine Basis des [mm]\IR^{3}[/mm]
> hallo erstmal,
> es soll eigentlich ganz einfach sein,
> doch habe ich probleme mir das erzeugendensystem und die
> basis vorzustellen, bzw. sind unsere definitionen dafür
> sehr dürftig,
Naja, aber Definitionen kann man doch nachlesen. Und gerade so elementare Definitionen finden sich in jedem passenden Mathebuch, und auch in Wikipedia und sonst im Internet.
Für ein Erzeugendensystem musst du jeden Vektor des Vektorraums erzeugen können. In deinem Fall hast du den [mm] \IR^3, [/mm] das heißt, du musst in jeder Komponente etwas erzeugen können, bzw. auch jede reelle Zahl erzeugen können. Hättest du also z. B. drei Vektoren: [mm] \vektor{0\\1\\0}, \vektor{0\\0\\0} [/mm] und [mm] \vektor{0\\0\\1}, [/mm] so könntest du für die zweite und dritte Komponente jede relle Zahl erzeugen (mit reellen Koeffizienten in einer Linearkombination), aber egal, welchen Koeffizienten du wählst, du wirst nie eine Zahl außer 0 in der ersten Komponenten erzeugt bekommen. Demnach wäre dies kein Erzeugendensystem, weil eben nur Elemente der Form [mm] \vektor{0\\a\\b} [/mm] für [mm] a,b\in\IR [/mm] erzeugt werden können.
Jede Basis ist auch ein Erzeugendensystem (aber nicht umgekehrt), oder jedes linear unabhängige Erzeugendensystem ist auch eine Basis. Wenn du also etwas hast, was kein Erzeugendensystem ist, kann es auch keine Basis sein. Wenn du ein Erzeugendensystem hast, musst du überprüfen, ob die Vektoren linear unabhängig sind, wenn ja, hast du eine Basis, wenn nein, ist es bloß ein Erzeugendensystem.
In deinem Fall kannst du nun auch noch überlegen, dass alle Basen zu einem Vektorraum genauso viele Elemente haben. Sollten also U oder V eine Basis sein, kann W keine sein, weil W eine Dimension mehr hat. Außerdem kannst du wissen, dass eine Basis des [mm] \IR^3 [/mm] genau 3 Basisvektoren hat, demnach kann W sowieso schon keine Basis sein.
Es gibt da noch einiges anderes, was man sich überlegen kann, ist aber hier vielleicht nicht nötig. Und das kannst du bei Gelegenheit in Bücher oder im Netz lesen.
Viele Grüße
Bastiane
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