Erzeugendensysteme aus Polynom < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:48 Mi 25.11.2009 | | Autor: | JayDee |
| Aufgabe | | Wählen Sie aus den gegebenen Polynomen, Teilmengen so aus, dass diese ein Erzeugendensystem für den jeweiligen Teilraum des [mm] R_{\le3 }[x]-Vektorraumes [/mm] bilden. |
Hier die gegebenen Teilaufgaben mit dem jeweiligen Teilraum:
a) {p|p [mm] \in R_{\le3}[x], [/mm] p(0) = 0}
b) [mm] R_{\le2}[x]
[/mm]
c) {p|p [mm] \in R_{\le3 }[x], [/mm] p´(0) = 0}
d) {p|p [mm] \in R_{\le3 }[x], [/mm] p´´(0) = 0}
und die folgende Liste der Polynomen ist mir gegeben:
[mm] -3x^{3}+3
[/mm]
[mm] -5x^{2}
[/mm]
[mm] -5x^{3}-5
[/mm]
-5x(x+1)
x+1
[mm] 2x^{3}+3x^{2}+2x
[/mm]
[mm] 2(x-1)^{3}
[/mm]
-5x+1
5x+5
Und so sieht mein erster Versuch aus:
a)
[mm] 2x^{3}+3x^{2}+2x
[/mm]
[mm] -5x^{2}
[/mm]
-5x+1
-5x(x+1)
b)
-5x(x+1)
[mm] -5x^{2}
[/mm]
5x+5
c)
[mm] 2x^{3}+3x^{2}+2x
[/mm]
-5x(x+1)
[mm] -5x^{2}
[/mm]
[mm] 2(x-1)^{3}
[/mm]
d)
[mm] 2x^{3}+3x^{2}+2x
[/mm]
-5x(x+1)
[mm] -5x^{2}
[/mm]
[mm] 2(x-1)^{3}
[/mm]
Bitte um Korrektur – dafür im Voraus ein riesengroßes DANKESCHÖN!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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> Wählen Sie aus den gegebenen Polynomen, Teilmengen so aus,
> dass diese ein Erzeugendensystem für den jeweiligen
> Teilraum des [mm]R_{\le3 }[x]-Vektorraumes[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
bilden.
> Hier die gegebenen Teilaufgaben mit dem jeweiligen
> Teilraum:
> a) {p|p [mm]\in R_{\le3}[x],[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
p(0) = 0}
> b) [mm]R_{\le2}[x][/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> c) {p|p [mm]\in R_{\le3 }[x],[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
p´(0) = 0}
> d) {p|p [mm]\in R_{\le3 }[x],[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
p´´(0) = 0}
>
> und die folgende Liste der Polynomen ist mir gegeben:
> [mm]-3x^{3}+3[/mm]
> [mm]-5x^{2}[/mm]
> [mm]-5x^{3}-5[/mm]
> -5x(x+1)
> x+1
> [mm]2x^{3}+3x^{2}+2x[/mm]
> [mm]2(x-1)^{3}[/mm]
> -5x+1
> 5x+5
>
> Und so sieht mein erster Versuch aus:
> a)
> [mm]2x^{3}+3x^{2}+2x[/mm]
> [mm]-5x^{2}[/mm]
> -5x+1
> -5x(x+1)
Hallo,
das kann nicht richtig sein, denn das Polynom -5x+1 erfüllt ja gar nicht die Bedingung p(0)=0.
>
> b)
> -5x(x+1)
> [mm]-5x^{2}[/mm]
> 5x+5
Richtig.
>
> c)
> [mm]2x^{3}+3x^{2}+2x[/mm]
> -5x(x+1)
> [mm]-5x^{2}[/mm]
> [mm]2(x-1)^{3}[/mm]
Auch das kann nicht stimmen, da schon bei Deinen erzeugenden Vektoren nicht überall p'(0)=0 ist.
>
> d)
> [mm]2x^{3}+3x^{2}+2x[/mm]
> -5x(x+1)
> [mm]-5x^{2}[/mm]
> [mm]2(x-1)^{3}[/mm]
Auch hier: schon bei Deinen erzeugenden Vektoren ist nicht p''(0)=0
Gruß v. Angela
>
> Bitte um Korrektur – dafür im Voraus ein riesengroßes
> DANKESCHÖN!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:54 Fr 27.11.2009 | | Autor: | JayDee |
Hallo,
ok...danke - was p(0) = 0 bedeutet weiß ich glaube ich ... aber was bedeutet p´(0) = 0
bzw. p´´(0)=0 ?
Ich kann mit den ´ leider nicht so viel anfangen.
Und stimmt bei den Teilaufgaben a), c), d) wenigstens die Anzahl der Polynome?
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:33 Fr 27.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
p(0)=0 heisst Nullstelle bei x=0
p'(0)=0 1. Ableitung ist 0 bei 0
p''(0)=0 2. Ableitung ist 0 bei x=0
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:56 Sa 28.11.2009 | | Autor: | JayDee |
Dann sieht mein zweiter Versuch folgendermaßen aus:
a)
[mm] 2x^{3}+3x^{2}+2x
[/mm]
[mm] -5x^{2}
[/mm]
-5x(x+1)
[mm] 2(x-1)^{3}
[/mm]
b)
-5x(x+1)
[mm] -5x^{2} [/mm]
5x+5
c)
[mm] -5x^{2}
[/mm]
5x(x+1)
[mm] -5x^{2}
[/mm]
[mm] -3x^{3}+3
[/mm]
d)
x+1
5x+5
-5x+1
-5x(x+1)
Bitte um erneute Korrektur – dafür im Voraus wieder ein riesengroßes DANKESCHÖN!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:12 Sa 28.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
c und d haben noch Fehler: c nicht alle p'(0)=0
d) [mm] x^3 [/mm] mit p''(0)=0 wird nicht erreicht. nicht alle p''(0)=0
Du musst ausser dass die Eigenschaften erfüllt sind, ja auch alle fkt mit der Eigenschaft erreichen können.
Das hab ich nicht bei allen überprüft.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:30 Sa 28.11.2009 | | Autor: | JayDee |
Hallo,
ist Aufgabe a) komplett richtig? Also, kann ich mit den Polynomen, die ich ausgewählt habe auch Teilräume erzeugen, die die geforderte Eigenschaft erfüllen?
Zu c) und d) schildere ich einfach mal, wie ich vorgegangen bin: Ich habe alle gegebenen Polynome 1 und 2 mal abgeleitet und überlegt, ob da 0 rauskommt, wenn ich 0 einsetze; ist das soweit richtig gedacht?
Aber diesen Satz verstehe ich nicht "Du musst ausser dass die Eigenschaften erfüllt sind, ja auch alle fkt mit der Eigenschaft erreichen können. " - kanst du mir das vielleicht nochmal einfacher erklären? ^^
Danke,
mfg
Jeshurun
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> Hallo,
> ist Aufgabe a) komplett richtig? Also, kann ich mit den
> Polynomen, die ich ausgewählt habe auch Teilräume
> erzeugen, die die geforderte Eigenschaft erfüllen?
Hallo,
mit a) meinst Du dies?
a)
[mm] p_1:=$ 2x^{3}+3x^{2}+2x [/mm] $
[mm] p_2:=$ -5x^{2} [/mm] $
[mm] p_3:=-5x(x+1)
[/mm]
[mm] p_4:=$ 2(x-1)^{3} [/mm] $
Teilräume? Du sollst in a) den Teilraum [mm] U_1:= \{p|p \in R_{\le3}[x], p(0) = 0\} [/mm] erzeugen,
also den Unterraum des [mm] \IR[x]_{\le 3}, [/mm] der die Polynome mit p(x)=0 enthält.
Das kann mit Deiner Menge nicht klappen, denn für [mm] p_4 [/mm] gilt: [mm] p_4(0)=-2.
[/mm]
Der ist also gar nicht in dem Unterraum, den er erzeugen soll!
Überlegen wir doch erstmal, wie die Vektoren aussehen, die in [mm] U_1 [/mm] sind:
sie haben die Gestalt [mm] p=a_3x^3+a_2x^2+a_3x [/mm] mit [mm] a_i\in \IR.
[/mm]
Du mußt nun prüfen, ob 1. die von Dir gewählten Vektoren in [mm] U_1 [/mm] liegen, und ob Du mit ihnen jedes Element der Gestalt [mm] p=a_3x^3+a_2x^2+a_3x [/mm] darstellen kannst.
Alternative zu Letzerem: überlege Dir, daß [mm] (x^3,x^2, [/mm] x) eine Basis von [mm] U_1 [/mm] ist und prüfe, ob Du jedes dieser Basiselemente mit Deinen Vektoren darstellen kannst - daraus ergibt sich dann auch, daß es ein Erzeugendensystem ist
>
> Zu c) und d) schildere ich einfach mal, wie ich vorgegangen
> bin: Ich habe alle gegebenen Polynome 1 und 2 mal
> abgeleitet und überlegt, ob da 0 rauskommt, wenn ich 0
> einsetze; ist das soweit richtig gedacht?
Kommt drauf an, was Du mit diesen Informationen machst.
Es ist bei Dir: c)
$ [mm] -5x^{2} [/mm] $
5x(x+1)
$ [mm] -5x^{2} [/mm] $
$ [mm] -3x^{3}+3 [/mm] $
Die Ableitung deines zweiten Vektors 5x(x+1) ist an der Stelle x=0 nicht =0, von daher kann das nicht richtig sein.
zu überlegen wäre, ob
[mm] p_1=$ -5x^{2} [/mm] $
[mm] p_2=$ -5x^{2} [/mm] $
[mm] p_3=$ -3x^{3}+3 [/mm] $
ein Erzeugendensystem ist.
Überlege Dir auch hier, wie die Vektoren, die in [mm] U_3:=\{p|p \in R_{\le3 }[x], p´(0) = 0\} [/mm] sind aussehen müssen:
[mm] p=a_3x^3+a_2x^2+a_4 [/mm] mit [mm] a_i\in \IR.
[/mm]
All diese Polynome mußt Du mit Deinen erzeugen können, das ist auch hier zu prügen.
Also finde ich zu [mm] a_3x^3+a_2x^2+a_4 [/mm] passende [mm] \lambda_i\in \IR [/mm] findest mit
[mm] a_3x^3+a_2x^2+a_4=\lambda_1p_1+\lambda_2p_2+\lambda_3p_3.
[/mm]
Oder halt alternativ wieder die Darstellbarkeit der Basisvektoren.
Für die d) entsprechend.
>
> Aber diesen Satz verstehe ich nicht "Du musst ausser dass
> die Eigenschaften erfüllt sind, ja auch alle fkt mit der
> Eigenschaft erreichen können. " - kanst du mir das
> vielleicht nochmal einfacher erklären? ^^
Schau Dir nochmal in Deinen Unterlagen an, was ein Erzeugendensystem ist.
Du mußt jeden Vektor des Raumes mit einer Linearkombination der erzeugenden Vektoren erreichen können.
Gruß v. Angela
>
>
> Danke,
> mfg
> Jeshurun
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:19 Sa 28.11.2009 | | Autor: | JayDee |
Danke, die Tipps haben mich schon weiter gebracht, denn ich weiß jetzt, dass die lineare Hülle meiner Polynome den gesuchten Raum ergeben muss!
Als erstes habe ich meine Liste der Polynome ergänzt, indem ich dazugeschrieben habe, wann der Funktionswert 0 "rauskommt" ... und so sieht die neue Liste aus:
[mm] -3x^{3}+3 [/mm] (0 bei p´(0) und p´´(0))
[mm] -5x^{2} [/mm] (0 bei p(0) und p´(0))
[mm] -5x^{3}-5 [/mm] (0 bei p´(0) und p´´(0))
-5x(x+1) (0 bei p(0))
x+1 (0 bei p´´(0))
[mm] 2x^{3}+3x^{2}+2x [/mm] (0 bei p(0))
[mm] 2(x-1)^{3} [/mm]
-5x+1 (0 bei p´´(0))
5x+5 (0 bei p´´(0))
So... und nun habe ich die Aufgaben erneut bearbeitet:
a)
[mm] -5x^{2} [/mm]
-5x(x+1)
[mm] 2x^{3}+3x^{2}+2x
[/mm]
…so…jetzt fehlt mir aber ein Polynom… das liegt an einem Fehler in meiner Liste, oder?
b)
-5x(x+1)
[mm] -5x^{2}
[/mm]
5x+5
c)
[mm] -5x^{3}-5 [/mm]
[mm] -3x^{3}+3
[/mm]
… auch hier fehlen mir Polynome
d)
5x+5
-5x+1
x+1
[mm] -5x^{3}-5
[/mm]
Kannst du mir bitte diesmal sagen, wo genau die Fehler sind, und was bereits richtig ist? =)
Danke^^
mfg,
Jay
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> Danke, die Tipps haben mich schon weiter gebracht, denn ich
> weiß jetzt, dass die lineare Hülle meiner Polynome den
> gesuchten Raum ergeben muss!
>
> Als erstes habe ich meine Liste der Polynome ergänzt,
> indem ich dazugeschrieben habe, wann der Funktionswert 0
> "rauskommt" ... und so sieht die neue Liste aus:
>
> [mm]-3x^{3}+3[/mm] (0 bei p´(0) und p´´(0))
> [mm]-5x^{2}[/mm] (0 bei p(0) und p´(0))
> [mm]-5x^{3}-5[/mm] (0 bei p´(0) und p´´(0))
> -5x(x+1) (0 bei p(0))
> x+1 (0 bei p´´(0))
> [mm]2x^{3}+3x^{2}+2x[/mm] (0 bei p(0))
> [mm]2(x-1)^{3}[/mm]
???
> -5x+1 (0 bei p´´(0))
> 5x+5 (0 bei p´´(0))
>
>
> So... und nun habe ich die Aufgaben erneut bearbeitet:
> a)
> [mm]-5x^{2}[/mm]
> -5x(x+1)
> [mm]2x^{3}+3x^{2}+2x[/mm]
> …so…jetzt fehlt mir aber ein Polynom… das liegt an
> einem Fehler in meiner Liste, oder?
Hallo,
wie kommst Du drauf, daß etwas fehlt?
(Es fehlt nichts, aber ich würde das Mißverständnis geren klären.)
>
> b)
> -5x(x+1)
> [mm]-5x^{2}[/mm]
> 5x+5
>
> c)
> [mm]-5x^{3}-5[/mm]
> [mm]-3x^{3}+3[/mm]
> … auch hier fehlen mir Polynome
Und wenn Du [mm] -5x^2 [/mm] dazunimmst?
>
> d)
> 5x+5
> -5x+1
> x+1
> [mm]-5x^{3}-5[/mm]
Stimmt.
Es gehört nun jedesmal der Nachweis dazu, daß es sich um ein Erzeugendensystem handelt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:31 Sa 28.11.2009 | | Autor: | JayDee |
Danke! Endlich hab ich's verstanden ^^
(und bei c) hatte ich nur'n Denkfehler, als ich die [mm] -5x^2 [/mm] vergessen hab' weil ich dachte es handelt sich um die zweite Ableitung).
Aber jetzt zu dem Missverständnis:
Außer bei der zweiten Teilaufgabe handelt es sich um Teilräume aus dem Raum der Polynome im Grad kleiner gleich 3 - also hat der Raum eine Dimension von 4. Und uns wurde beigebracht (ich hoffe, dass ich jetzt nix falsches erzähle), dass man so viele erzeugende Elemente braucht wie Dimensionen. Deswegen dachte ich, dass ich 4 Polynome finden müsste.
lg
JD
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:38 Sa 28.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
du willst ja nich V selbst erzeugen, sondern einen Unterraum. z. Bap der mit p'(0)=0
von allen Polynomen [mm] p=ax^3+bx^2+cx+d
[/mm]
sind das nur die mit c=0 welche Dimension hat der Unterraum. Welche der von p(0)=0 usw. wenn du die Dimension hast, kennst du die Mindeszahl der Erzeugenden. (Die Mindeszahl ergäbe ne Basis, ein Erzeugendensystem darf überflüssige enthalten)
du musst also etwa bei c) zeigen, dass du mit deinen Vektoren alle Polynome der Form [mm] ax^3+bx^2+d [/mm] erzeugen kannst.
Grus leduart
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