Erzeugendensysteme und Basen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:26 Di 16.11.2004 | | Autor: | iKai |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
1.)
Wir haben die Aufgabe zu bestimmen, welche der folgenden Teilmengen [mm] \IR^{3} [/mm] linear unabhängig, Erzeugendensysteme und Basen sind.
1. {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5)}
2. {(1,1,1),(0,1,2),(1,2,5)}
3. {(x,y,z) : x+y > 3z}
4. {(x,y,z) : z=2x+3y}
bei der ersten weiß ich bereits, dass sie lin. abhängig ist, die zweite ist linear unabhängig.
Allerdings weiß ich nicht recht, was ich mit der 3. anfangan soll.
Die 4. müsste eine Ebene sein, also ist auch lin. abhängig? Kann ich das irgendwie nachweisen?
So und nun hab ich noch ein Problem damit, dass ich nicht weiß, woran ich dort ein Erzeugendensystem erkennen soll bzw. überhaupt erkennen kann.
Eine Basis ist ein Erzeugendensystem deren Vektoren linear unabhängig sind, ja?
Ja, das wär's erstmal, danke :)
Kai
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 18:34 Di 16.11.2004 | | Autor: | baskolii |
hi kai!
zu 1.
lin. abhängig [mm] \Rightarrow [/mm] kein erzeugendensystem von [mm] \IR^3, [/mm] da [mm] dim\IR^3=3
[/mm]
zu 2.
lin. unabhängig [mm] \Rightarrow [/mm] basis von [mm] \IR^3 [/mm] (da [mm] dim\IR^3=3 [/mm] !)
zu 3.
lin. abhängig, da z.B. (2,2,1) und (6,6,3)=3(2,2,1) enthalten sind
kein erzeugendensystem des [mm] \IR^3, [/mm] da (0,0,0) nicht erzeugt werden kann
zu 4.
lin. abhängig, da (2x,2y,2(2x+3y))=2(x,y,2x+3y) enthalten
kein erzeugendensystem des [mm] \IR^3, [/mm] da (0,0,1) nicht erzeugt werden kann
(hoffe das stimmt, lineare algebra ist bei mir schon ne weile her)
mfg verena
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:56 Di 16.11.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Verena!
> zu 3.
> lin. abhängig, da z.B. (2,2,1) und (6,6,3)=3(2,2,1)
> enthalten sind
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> kein erzeugendensystem des [mm]\IR^3,[/mm] da (0,0,0) nicht erzeugt
> werden kann
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Bei einem Erzeugendensystem kommt es ja nicht darauf an, dass alle erzeugbaren Vektoren in dem Erzeugendensystem enthalten sind (das würde man dann ja auch (Unter-) Vektorraum nennen), sondern darauf, dass sich alle Vektoren des [mm] $\IR^3$ [/mm] als Linearkombinationen des Erzeugendensystems darstellen lassen.
Das ist hier der Fall, denn in der Menge sind sicher drei linear unabhängige Vektoren enthalten (die könnte man ja sogar konkret angegeben), die dann aus Dimensionsgründen den ganzen [mm] $\IR^3$ [/mm] erzeugen.
> zu 4.
> lin. abhängig, da (2x,2y,2(2x+3y))=2(x,y,2x+3y)
> enthalten
> kein erzeugendensystem des [mm]\IR^3,[/mm] da (0,0,1) nicht erzeugt
> werden kann
.
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:58 Di 16.11.2004 | | Autor: | baskolii |
Hi Marc!
Ja stimmt! Danke für die Korrektur.
mfg Verena
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:25 Di 16.11.2004 | | Autor: | iKai |
Erstmal Danke Verena, danke Marc!
so ganz verstehe ich allerdings nicht, was hier: (2x,2y,2(2x+3y))=2(x,y,2x+3y) gemacht wurde?!
Grüße
Kai
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Hi Kai!
{(x,y,z) : z=2x+3y} [mm] ={(x,y,2x+3y):x,y\in\IR}=:M
[/mm]
also gilt: [mm] (a,b,2a+3b)\inM [/mm] und [mm] (2a,2b,4a+6b)\inM, [/mm] für bel. [mm] a,b\in\IR
[/mm]
aber: (2a,2b,4a+6b)=2(a,b,2a+3b)
also (2a,2b,4a+6b) und (a,b,2a+3b) linear abhängig
[mm] \Rightarrow [/mm] M linear abhängig
vielleicht hattet ihr noch nicht:
vektoren [mm] v_1, [/mm] ... [mm] ,v_r [/mm] lin. unabhängig [mm] \gdw [/mm] keines der [mm] v_i, [/mm] i=1, .. ,r, kann als linearkombination der übrigen geschrieben werden
mfg Verena
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:41 Mi 17.11.2004 | | Autor: | iKai |
Danke Verena... das macht's klarer
ich hab nur immer wieder das Problem mir den Zusammenhang vor Augenzu führen, wenn ein paar Schritte fehlen.
Grüße
Kai
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