Erzeuger und Relationen < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei G die Gruppe, welche durch x und y erzeugt wird und durch die Relationen
[mm] x^{4}=1 [/mm] , [mm] x^{2}=y^{2} [/mm] , [mm] xyx^{-1}=y^{-1}
[/mm]
gegeben ist.
Bestimmen Sie die Ordnung von G und alle Untergruppen. Geben Sie jeweils an, ob es sich um einen Normalteiler handelt, oder nicht. |
Hallo!
Bei mir hängt es hier schon an der Ordnung von G.
Diese ist ja als die Anzahl ihrer Elemente definiert.
Das heißt, alle Elemente, die durch x und y gebildet werden können, oder?
Also bspw. 1, x, [mm] x^{2}, x^{3}, x^{4} [/mm] (was weg fällt, da es als =1 definiert ist) usw.
Auch alle Kombinationen von x und y, also bspw. xy, [mm] xy^{-1}, x^{2}y^{-1}, [/mm] xxyx....
Hier muss man dann die Relationen anwenden und schauen, welche weg fallen, weil sie schon angegeben sind.
Aber: Muss ich jetzt ALLE Kombinationen durchgehen? Das dauert ja Ewigkeiten! Gibt es da keinen anderen Weg?
Und noch eine Frage: Ist die Reihenfolge der Verknüpfungen egal? Also, ob ich [mm] xy^{-1} [/mm] oder [mm] y^{-1}x [/mm] schreibe? Vermutlich nicht, oder? Dann werden es ja NOCH mehr!!
Kann mir bitte jemand helfen?
Das wäre super!
Grüßle, Lily
|
|
| |
|
Die letzte Identität [mm]xyx^{-1}=y^{-1} \iff xy=y^{-1}x[/mm] sagt dir, dass du [mm]x[/mm] und [mm]y[/mm] vertauschen darfst, solange du [mm]y[/mm] invertierst.
Damit kannst du jedes Element so schreiben, dass du vorne alle [mm]y[/mm]'s sammelst und hinten alle [mm]x[/mm]'s
Beispiel:
[mm]xy=y^{-1}x[/mm]
[mm](xy)^2=xyxy=y^{-1}xxy=y^{-1}xy^{-1}x=y^{-1}yxx[/mm]
...
Was ist
[mm](xy)^4=?[/mm]
Betrachte
[mm] $(xy)^3=\ldots=?$
[/mm]
Was sagt dir das über
[mm] $(x^2)$ [/mm] genau?
|
|
|
| |
|
> Die letzte Identität [mm]xyx^{-1}=y^{-1} \iff xy=y^{-1}x[/mm] sagt
> dir, dass du [mm]x[/mm] und [mm]y[/mm] vertauschen darfst, solange du [mm]y[/mm]
> invertierst.
achso!! Danke! 
>
> Damit kannst du jedes Element so schreiben, dass du vorne
> alle [mm]y[/mm]'s sammelst und hinten alle [mm]x[/mm]'s
>
> Beispiel:
>
> [mm]xy=y^{-1}x[/mm]
> [mm](xy)^2=xyxy=y^{-1}xxy=y^{-1}xy^{-1}x=y^{-1}yxx[/mm]
> ...
>
> Was ist
>
> [mm](xy)^4=?[/mm]
[mm] =x^{4}=1
[/mm]
--> alle geraden Potenzen von xy sind gleich [mm] x^{2} [/mm] oder 1
>
> Betrachte
> [mm](xy)^3=\ldots=?[/mm]
[mm] =x^{3}y
[/mm]
[mm] (xy)^{5}=xy
[/mm]
--> alle ungeraden Potenzen von xy sind gleich [mm] x^{3}y [/mm] oder xy
stimmt das so weit?
>
> Was sagt dir das über
> [mm](x^2)[/mm] genau?
hm... das ich oben geschrieben habe: [mm] x^2=(xy)^n [/mm] mit n durch 2, aber nicht durch 4 teilbar
?
Aber muss ich nicht noch solche Kombinationen wie [mm] x^{2}y [/mm] und [mm] x^{-1}y^2 [/mm] betrachten?
Ich habe dies mal für folgende Kombinationen gemacht:
1. [mm] xy^{n} [/mm] mit [mm] n\in\IN [/mm] --> ist gleich xy oder [mm] x^{3}y
[/mm]
2. [mm] y^{n}x [/mm] mit [mm] n\in\IN [/mm] --> ist gleich yx oder [mm] yx^{3}
[/mm]
3. [mm] yx^{n} [/mm] mit [mm] n\in\IN [/mm] --> ist gleich [mm] y^3 [/mm] , [mm] x^{3}y [/mm] , y oder xy
4. [mm] x^{n}y [/mm] mit [mm] n\in\IN [/mm] --> ist gleich [mm] y^3 [/mm] , [mm] y^{3}x [/mm] , y oder yx
So weit, so gut, aber muss ich auch so weiter machen, also mit [mm] x^{n}y^{m} [/mm] mit [mm] n,m\in\IN?
[/mm]
Und dann genauso mit den Inversen?
Oder geht das irgendwie kürzer?
Kann mir jemand weiter helfen?
Grüßle, Lily
|
|
|
| |
|
Hi,
du musst natürlich nicht bis in alle Ewigkeiten Elemente durchgehen 
Du weißt [mm] $x^4=1$ [/mm] und somit etwas über die Ordnung von $y$ nach der Aufgabe. Deine Gruppe besteht nur aus Elementen
[mm] $$x^ay^b,\qquad 0\le a\le 4$,0\le b\le [/mm] ??$$
Warum musst du nicht [mm] $x^{-1}y^c$ [/mm] betrachten?
Naja du weißt ja explizit was [mm] $x^{-1}$ [/mm] und [mm] $y^{-1}$ [/mm] sind. Nämlich .... ?
> Oder geht das irgendwie kürzer?
Indem man weiß, wann man aufhören muss. So viele sind es gar nicht. Es sind nur 16 Elemente.
|
|
|
| |
|
> Hi,
>
> du musst natürlich nicht bis in alle Ewigkeiten Elemente
> durchgehen
na, ein glück ^^
>
> Du weißt [mm]x^4=1[/mm] und somit etwas über die Ordnung von [mm]y[/mm]
> nach der Aufgabe. Deine Gruppe besteht nur aus Elementen
> [mm]x^ay^b,\qquad 0\le a\le 4$,0\le b\le ??[/mm]
naja, [mm] y^{2}=x^{2} [/mm] --> [mm] y^{4}=x^{4}=1 [/mm] --> Dann müsste die Ordnung von y gleich der Ordnung von x sein, oder?
Aber warum nicht 3? Weil [mm] x^{4}=x^{0}=1, [/mm] müsste man dann nicht [mm] 0\le a\le [/mm] 3 machen?
Und warum muss man nur [mm] x^ay^b [/mm] betrachten?
Weil man durch die dritte Relation x und y so vertauschen kann, dass man aus allen [mm] (xy)^{n} [/mm] die Form [mm] x^{a}y^b [/mm] bilden kann?
>
>
> Warum musst du nicht [mm]x^{-1}y^c[/mm] betrachten?
> Naja du weißt ja explizit was [mm]x^{-1}[/mm] und [mm]y^{-1}[/mm] sind.
> Nämlich .... ?
hm... ich weiß nicht genau, wie ich [mm] x^{-1} [/mm] explizit angeben kann, bzw. was genau du damit meinst?
> > Oder geht das irgendwie kürzer?
> Indem man weiß, wann man aufhören muss. So viele sind es
> gar nicht. Es sind nur 16 Elemente.
Warum 16 Elemente?
Wenn ich mir die [mm] x^{a}y^{b} [/mm] anschaue komme ich nur auf 8 Elemente:
[mm] {1,x,x^2,x^3,y,y^3,xy,x^{3}y}
[/mm]
Müssen nicht noch zu allen Elementen das Inverse in die Menge?
Wenn ich also zu jedem der oberen Elemente das Inverse berechne sind das folgende:
[mm] 1,x^{-1},x^{-3},y^{-1},y^{-3},(xy)^{-1},(x^{3}y)^{-1}
[/mm]
wobei [mm] (xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}=x^{-1}y
[/mm]
und [mm] (x^{3}y)^{-1}=x^{-3}y
[/mm]
und 1 fällt weg, weil es schon oben steht
oder?
Dann hätte ich insgesamt 15 Elemente.
--> ??? :-/
Grüßle, Lily
|
|
|
| |
|
Du hast natürlich Recht! Da die Ordnung nur 4 ist muss man die Potenzen 0,1,2,3 von x bzw. y betrachten.
Es gilt doch
[mm] $x^{-1}=x^3$
[/mm]
und deshalb musst du nur
[mm] $x^ay^b$ [/mm] für a,b=0,1,2,3
betrachten und erhälst alle Elemente.
|
|
|
| |
|
> Es gilt doch
> [mm]x^{-1}=x^3[/mm]
wegen [mm] x^{4}=1?
[/mm]
Gilt dann auch [mm] x^{2}=x^{-2} [/mm] und [mm] x=x^{-3}?
[/mm]
Und dann das gleiche bei y?
> und deshalb musst du nur
> [mm]x^ay^b[/mm] für a,b=0,1,2,3
> betrachten und erhälst alle Elemente.
Aber dann sind es doch 8 Elemente, oder? keine 16!
Grüßle, Lily
|
|
|
| |
|
> > Es gilt doch
> > [mm]x^{-1}=x^3[/mm]
> wegen [mm]x^{4}=1?[/mm]
> Gilt dann auch [mm]x^{2}=x^{-2}[/mm] und [mm]x=x^{-3}?[/mm]
> Und dann das gleiche bei y?
Ja
>
> > und deshalb musst du nur
> > [mm]x^ay^b[/mm] für a,b=0,1,2,3
> > betrachten und erhälst alle Elemente.
>
> Aber dann sind es doch 8 Elemente, oder? keine 16!
Ja. Die Gruppe ist die Quaterionengruppe.
Es ist im übrigen nützlich sich mit ![[]](/images/popup.gif) GAP auseinander zusetzen:
| 1: | gap> f:=FreeGroup("x","y");
| | 2: | <free group on the generators [ x, y ]>
| | 3: | gap> x:=f.1;y:=f.2;
| | 4: | x
| | 5: | y
| | 6: | gap> rels:=[x^4,x^2*y^(-2),x*y*x^(-1)*y];
| | 7: | [ x^4, x^2*y^-2, x*y*x^-1*y ]
| | 8: | gap> G:=f/rels;
| | 9: | <fp group on the generators [ x, y ]>
| | 10: | gap> Size(G);
| | 11: | 8
| | 12: | gap> StructureDescription(G);
| | 13: | "Q8"
| | 14: | gap> Elements(G);
| | 15: | [ <identity ...>, x, y, x^2, x*y, x^-1, y^-1, x*y^-1 ]
| | 16: | gap> IsAbelian(G);
| | 17: | false |
Natürlich nur zur Kontrolle
|
|
|
| |
|
Super! Danke
Puh, erster Teil der Aufgabe erledigt ^^
Nun zum nächsten Teil:
Da werden alle Untergruppen gesucht.
Def. einer Untergruppe H:
H [mm] \subset [/mm] G ist Teilmenge von G, sd. die Multiplikation in G aus H eine Gruppe macht.
Ist damit dann hier gemeint, dass eine Anzahl der Elemente aus G
(also [mm] {1,x,x^{2},x^{3},y,y^{3},xy,x^{3}y} [/mm] )
mit der normalen Multplikation und den Relationen wieder eine eigene Gruppe ist?
dafür kann ich doch bestimmt das Untergruppenkriterium aus der Linearen Algebra verwenden, oder? Also, dass H eine Untergruppe ist, falls gilt:
- H [mm] \not= \emptyset
[/mm]
- wenn h [mm] \in [/mm] H, so ist auch [mm] h^{-1} \in [/mm] H
- wenn h, g [mm] \in [/mm] H, so ist auch hg [mm] \in [/mm] H
Ich weiß, dass die Anzahl der Elemente von H die Anzahl der Elemente von G teilen muss (|G|=[H:G]|H|)
Da G 8 Elemente hat
muss H 1, 2, 4 oder 8 Elemente haben.
die trivialen Untergruppen sind dann mit der Anzahl 1 {e}, hier also 1, oder?
und mit der Anzahl 8, also G
ist das so weit richtig?
Dann fehlen "nur" noch die Untergruppen mit 2 und 4 Elementen.
mit 2 Elementen:
da immer das neutrale Element drin sein muss, muss ich das mit jedem Element einmal "verbinden" und schauen, ob diese zusammen eine Gruppe bilden
und dann das gleiche mit 4 Elementen...
aber das ist ja ganz schön viel rumrechnen. Gibt es da vielleicht eine andere Möglichkeit?
Kann mir jemand helfen und vielleicht auch mal über meine Überlegungen schauen und mir sagen, ob das so weit stimmt?
Das wäre super!
Grüßle, Lily
|
|
|
| |
|
> Super! Danke
> Puh, erster Teil der Aufgabe erledigt ^^
>
> Nun zum nächsten Teil:
> Da werden alle Untergruppen gesucht.
>
> Def. einer Untergruppe H:
> H [mm]\subset[/mm] G ist Teilmenge von G, sd. die Multiplikation in
> G aus H eine Gruppe macht.
>
> Ist damit dann hier gemeint, dass eine Anzahl der Elemente
> aus G
> (also [mm]{1,x,x^{2},x^{3},y,y^{3},xy,x^{3}y}[/mm] )
> mit der normalen Multplikation und den Relationen wieder
> eine eigene Gruppe ist?
Ja
>
> dafür kann ich doch bestimmt das Untergruppenkriterium aus
> der Linearen Algebra verwenden, oder?
Ja
> Also, dass H eine
> Untergruppe ist, falls gilt:
> - H [mm]\not= \emptyset[/mm]
> - wenn h [mm]\in[/mm] H, so ist auch [mm]h^{-1} \in[/mm]
> H
> - wenn h, g [mm]\in[/mm] H, so ist auch hg [mm]\in[/mm] H
>
> Ich weiß, dass die Anzahl der Elemente von H die Anzahl
> der Elemente von G teilen muss (|G|=[H:G]|H|)
> Da G 8 Elemente hat
> muss H 1, 2, 4 oder 8 Elemente haben.
Top!
> die trivialen Untergruppen sind dann mit der Anzahl 1 {e},
> hier also 1, oder?
> und mit der Anzahl 8, also G
>
> ist das so weit richtig?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Dann fehlen "nur" noch die Untergruppen mit 2 und 4
> Elementen.
>
> mit 2 Elementen:
> da immer das neutrale Element drin sein muss, muss ich das
> mit jedem Element einmal "verbinden" und schauen, ob diese
> zusammen eine Gruppe bilden
Exakt! Diese Untergruppen haben die Elemente [mm] $\{1,a\}$ [/mm] mit [mm] $a^2=1$, [/mm] wie du bereits festgestellt hast. Für jedes Element das selbstinvers ist, findest du somit eine Untergruppe der Ordnung 2. Wie viele selbstinverse Elemente hat also die Gruppe?
>
> und dann das gleiche mit 4 Elementen...
>
> aber das ist ja ganz schön viel rumrechnen. Gibt es da
> vielleicht eine andere Möglichkeit?
Probier folgendes: Schnapp dir ein Element [mm] $g\in [/mm] G$ und bilde die Potenzen von dem Element, also [mm] $g,g^2,g^3,g^4,\ldots$ [/mm] solange bis du [mm] $g^n=1$ [/mm] hast. Damit erhälst du recht viele (zyklische) Untergruppen. Die kannst du dann auch gleich einordnen in Untergruppe der Ordnung 1,2,4 bzw. 8.
Sobald du Untergruppen suchst, die aus zwei Elementen [mm] $g,h\in [/mm] G$ generiert werden sollte dir etwas auffallen.
>
> Kann mir jemand helfen und vielleicht auch mal über meine
> Überlegungen schauen und mir sagen, ob das so weit
> stimmt?
> Das wäre super!
> Grüßle, Lily
>
>
|
|
|
| |
|
> > Dann fehlen "nur" noch die Untergruppen mit 2 und 4
> > Elementen.
> >
> > mit 2 Elementen:
> > da immer das neutrale Element drin sein muss, muss ich
> das
> > mit jedem Element einmal "verbinden" und schauen, ob
> diese
> > zusammen eine Gruppe bilden
> Exakt! Diese Untergruppen haben die Elemente [mm]\{1,a\}[/mm] mit
> [mm]a^2=1[/mm], wie du bereits festgestellt hast. Für jedes Element
> das selbstinvers ist, findest du somit eine Untergruppe der
> Ordnung 2. Wie viele selbstinverse Elemente hat also die
> Gruppe?
da habe ich nun 3 gefunden: [mm] x^{2}, [/mm] xy, [mm] x^{3}y
[/mm]
stimmt das?
> >
> > und dann das gleiche mit 4 Elementen...
> >
> > aber das ist ja ganz schön viel rumrechnen. Gibt es da
> > vielleicht eine andere Möglichkeit?
> Probier folgendes: Schnapp dir ein Element [mm]g\in G[/mm] und
> bilde die Potenzen von dem Element, also
> [mm]g,g^2,g^3,g^4,\ldots[/mm] solange bis du [mm]g^n=1[/mm] hast. Damit
> erhälst du recht viele (zyklische) Untergruppen. Die
> kannst du dann auch gleich einordnen in Untergruppe der
> Ordnung 1,2,4 bzw. 8.
naja, so viele sind das gar nicht,
es gibt die mit 1
dann diejenigen, die ich schon für die Untergruppen mit 2 elementen gefunden habe
und dann noch 2 andere:
die erste wird aus [mm] x^{3} [/mm] gebildet: [mm] 1,x^{3}, x^{6}, x^{9} [/mm] (schreibe ich das dann so oder so: [mm] 1,x,x^{2},x{3}? [/mm] )
die zweite aus y: [mm] 1,y,y^{2}=x^{2}y,y^{3}
[/mm]
eine mit 8 elementen hab ich gar nicht
mach ich irgendwas falsch?
>
> Sobald du Untergruppen suchst, die aus zwei Elementen
> [mm]g,h\in G[/mm] generiert werden sollte dir etwas auffallen.
hm... du meinst also, wenn ich bspw. x und [mm] x^{2} [/mm] miteinander multipliziere?
aber wie geht das dann weiter?
|
|
|
| |
|
> > Wie viele selbstinverse Elemente hat also die
> > Gruppe?
> da habe ich nun 3 gefunden: [mm]x^{2},[/mm] xy, [mm]x^{3}y[/mm]
> stimmt das?
Das kannst du doch austesten. Es muss ja demnach [mm](x^2)(x^2)=1, (x^3y)(x^3y)=1[/mm] und [mm](xy)(xy)=1[/mm] gelten.
> > >
> > > und dann das gleiche mit 4 Elementen...
> > >
> > > aber das ist ja ganz schön viel rumrechnen. Gibt es
> da
> > > vielleicht eine andere Möglichkeit?
> > Probier folgendes: Schnapp dir ein Element [mm]g\in G[/mm] und
> > bilde die Potenzen von dem Element, also
> > [mm]g,g^2,g^3,g^4,\ldots[/mm] solange bis du [mm]g^n=1[/mm] hast. Damit
> > erhälst du recht viele (zyklische) Untergruppen. Die
> > kannst du dann auch gleich einordnen in Untergruppe der
> > Ordnung 1,2,4 bzw. 8.
> naja, so viele sind das gar nicht,
> es gibt die mit 1
> dann diejenigen, die ich schon für die Untergruppen mit 2
> elementen gefunden habe
> und dann noch 2 andere:
> die erste wird aus [mm]x^{3}[/mm] gebildet: [mm]1,x^{3}, x^{6}, x^{9}[/mm]
??? Es gilt doch bereits [mm]x^6=x^2[/mm], ....
> (schreibe ich das dann so oder so: [mm]1,x,x^{2},x{3}?[/mm] )
Wie kommst du auf [mm]1,x,x^2,\ldots [/mm]?
> die zweite aus y: [mm]1,y,y^{2}=x^{2}y,y^{3}[/mm]
>
> eine mit 8 elementen hab ich gar nicht
> mach ich irgendwas falsch?
Du schriebst bereits, dass die gesamte Gruppe eine Untergruppe ist. Und damit hast du eine der Ordnung 8 gefunden.
>
Wir halten fest:
Untergruppe der Ordnung 1: triviale Gruppe
Untergruppe der Ordnung 8: ganze Gruppe
Untergruppe der Ordnung 2: [mm] $\langle x^2 \rangle$,...
[/mm]
...
|
|
|
| |
|
> > > Wie viele selbstinverse Elemente hat also die
> > > Gruppe?
> > da habe ich nun 3 gefunden: [mm]x^{2},[/mm] xy, [mm]x^{3}y[/mm]
> > stimmt das?
>
> Das kannst du doch austesten. Es muss ja demnach
> [mm](x^2)(x^2)=1, (x^3y)(x^3y)=1[/mm] und [mm](xy)(xy)=1[/mm] gelten.
uuups... ich habe falsch gerechnet vorhin... wenn man xyxy rechnet kommt folgendes:
[mm] xxy^{-1}y=x^{2} \not= [/mm] 1
und das selbe bei [mm] x^{3}y
[/mm]
also ist nur [mm] x^{2} [/mm] selbstinvers
>
> > > >
> > > Probier folgendes: Schnapp dir ein Element [mm]g\in G[/mm] und
> > > bilde die Potenzen von dem Element, also
> > > [mm]g,g^2,g^3,g^4,\ldots[/mm] solange bis du [mm]g^n=1[/mm]
> hast. Damit
> > > erhälst du recht viele (zyklische) Untergruppen. Die
> > > kannst du dann auch gleich einordnen in Untergruppe
> der
> > > Ordnung 1,2,4 bzw. 8.
> > naja, so viele sind das gar nicht,
> > es gibt die mit 1
> > dann diejenigen, die ich schon für die Untergruppen mit
> 2
> > elementen gefunden habe
> > und dann noch 2 andere:
> > die erste wird aus [mm]x^{3}[/mm] gebildet: [mm]1,x^{3}, x^{6}, x^{9}[/mm]
>
> ??? Es gilt doch bereits [mm]x^6=x^2[/mm], ...
> > (schreibe ich das dann so oder so: [mm]1,x,x^{2},x{3}?[/mm] )
> Wie kommst du auf [mm]1,x,x^2,\ldots [/mm]?
ähm ja, denkfehler, bzw was in meinem chaotischen aufschrieb übersehen
> > die zweite aus y:
> [mm]1,y,y^{2}=x^{2}y,y^{3}[/mm]
> >
> Wir halten fest:
>
> Untergruppe der Ordnung 1: triviale Gruppe
> Untergruppe der Ordnung 8: ganze Gruppe
> Untergruppe der Ordnung 2: [mm]\langle x^2 \rangle[/mm],...
> ...
Untergruppen der Ordnung 2: [mm] \langle x^{2} \rangle [/mm] = [mm] \{1,x^{2}\}, [/mm]
Untergruppen der Ordnung 4: [mm] \langle [/mm] x [mm] \rangle [/mm] = [mm] \{1,x,x^{2},x^{3}\}, \langle [/mm] y [mm] \rangle =\{1,y,y^{2},y^{3}\}
[/mm]
... aber ich habe noch eine, nicht-zyklische Gruppe gefunden:
[mm] \{1,x^{2},xy,x^{3}y\}
[/mm]
muss dann sowohl [mm] xy*x^{2} [/mm] als auch [mm] x^{2}*xy [/mm] (also die Multiplikation aus beiden Richtungen) in der Gruppe sein? Vermutlich ja, oder? dann ist es nämlich keine Untergruppe.
Dann sind es tatsächlich nur die 5 Gruppen, wie oben genannt, oder?
|
|
|
| |
|
> > > > Wie viele selbstinverse Elemente hat also die
> > > > Gruppe?
> > > da habe ich nun 3 gefunden: [mm]x^{2},[/mm] xy, [mm]x^{3}y[/mm]
> > > stimmt das?
> >
> > Das kannst du doch austesten. Es muss ja demnach
> > [mm](x^2)(x^2)=1, (x^3y)(x^3y)=1[/mm] und [mm](xy)(xy)=1[/mm] gelten.
>
> uuups... ich habe falsch gerechnet vorhin... wenn man xyxy
> rechnet kommt folgendes:
> [mm]xxy^{-1}y=x^{2} \not=[/mm] 1
> und das selbe bei [mm]x^{3}y[/mm]
> also ist nur [mm]x^{2}[/mm] selbstinvers
> >
> > > > >
>
> > > > Probier folgendes: Schnapp dir ein Element [mm]g\in G[/mm] und
> > > > bilde die Potenzen von dem Element, also
> > > > [mm]g,g^2,g^3,g^4,\ldots[/mm] solange bis du [mm]g^n=1[/mm]
> > hast. Damit
> > > > erhälst du recht viele (zyklische) Untergruppen.
> Die
> > > > kannst du dann auch gleich einordnen in Untergruppe
> > der
> > > > Ordnung 1,2,4 bzw. 8.
> > > naja, so viele sind das gar nicht,
> > > es gibt die mit 1
> > > dann diejenigen, die ich schon für die Untergruppen
> mit
> > 2
> > > elementen gefunden habe
> > > und dann noch 2 andere:
> > > die erste wird aus [mm]x^{3}[/mm] gebildet: [mm]1,x^{3}, x^{6}, x^{9}[/mm]
>
> >
> > ??? Es gilt doch bereits [mm]x^6=x^2[/mm], ...
> > > (schreibe ich das dann so oder so: [mm]1,x,x^{2},x{3}?[/mm] )
> > Wie kommst du auf [mm]1,x,x^2,\ldots [/mm]?
> ähm ja,
> denkfehler, bzw was in meinem chaotischen aufschrieb
> übersehen
> > > die zweite aus y:
> > [mm]1,y,y^{2}=x^{2}y,y^{3}[/mm]
> > >
>
> > Wir halten fest:
> >
> > Untergruppe der Ordnung 1: triviale Gruppe
> > Untergruppe der Ordnung 8: ganze Gruppe
> > Untergruppe der Ordnung 2: [mm]\langle x^2 \rangle[/mm],...
> >
> ...
> Untergruppen der Ordnung 2: [mm]\langle x^{2} \rangle[/mm] =
> [mm]\{1,x^{2}\},[/mm]
> Untergruppen der Ordnung 4: [mm]\langle[/mm] x [mm]\rangle[/mm] =
> [mm]\{1,x,x^{2},x^{3}\}, \langle[/mm] y [mm]\rangle =\{1,y,y^{2},y^{3}\}[/mm]
>
Super!
> ... aber ich habe noch eine, nicht-zyklische Gruppe
> gefunden:
Wir hatten doch bereits gesagt, dass es eine solche nicht geben kann. Betrachte mal [mm] $\langle xy\rangle$ [/mm] als zyklische Gruppe.
> [mm]\{1,x^{2},xy,x^{3}y\}[/mm]
> muss dann sowohl [mm]xy*x^{2}[/mm] als auch [mm]x^{2}*xy[/mm] (also die
> Multiplikation aus beiden Richtungen) in der Gruppe sein?
> Vermutlich ja, oder? dann ist es nämlich keine
> Untergruppe.
> Dann sind es tatsächlich nur die 5 Gruppen, wie oben
> genannt, oder?
Es müssten 6 Untergruppen sein:
triviale Gruppe, ganze Gruppe , eine U-Gr der Ordnung 2, 3 U-Gr. der Ordnung 4.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:56 Di 12.11.2013 | | Autor: | Mathe-Lily |
> Es müssten 6 Untergruppen sein:
> triviale Gruppe, ganze Gruppe , eine U-Gr der Ordnung 2, 3
> U-Gr. der Ordnung 4.
jap, xy bzw [mm] x^{3}y [/mm] bilden nochmal eine weitere Gruppe, hatte das vorhin in die 2erGruppen eingeordnet, was ja nicht stimmte!
Danke! Hast mir richtig gut geholfen, so dass ich es auch gut verstanden hab
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:03 Di 12.11.2013 | | Autor: | wieschoo |
Man sieht schnell ein, welche Struktur die untergruppen haben müssen, da diese Ordnung 2 und 4 haben. Gruppen der Ordnung 2 sind immer zyklisch. Bei Gruppen der Ordnung 4 gibt es nur zwei im Angebot:
- zyklische Gruppe [mm] $C_4$
[/mm]
- Kleinsche Vierergruppe [mm] $C_2\times C_2$ [/mm] (müsste 3 Elemente der Ordnung 2 enthalten)
Welche der zwei angebotenen Gruppen der Ordnung 4 kommt nur in Frage?
|
|
|
| |
|
> Man sieht schnell ein, welche Struktur die untergruppen
> haben müssen, da diese Ordnung 2 und 4 haben. Gruppen der
> Ordnung 2 sind immer zyklisch. Bei Gruppen der Ordnung 4
> gibt es nur zwei im Angebot:
> - zyklische Gruppe [mm]C_4[/mm]
> - Kleinsche Vierergruppe [mm]C_2\times C_2[/mm] (müsste 3 Elemente
> der Ordnung 2 enthalten)
>
> Welche der zwei angebotenen Gruppen der Ordnung 4 kommt nur
> in Frage?
wir haben nur ein element der ordnung 2, also [mm] x^{2}, [/mm] oder?
also nur zyklische gruppen?
aber woher wissen wir das, dass es nur diese zwei möglichkeiten gibt?
|
|
|
| |
|
Normalerweise macht zeigt man mittels Struktursatz endlich erzeugter abelscher Gruppen und der Tatsache, dass Gruppen der Ordnung [mm] $p^2,p\in\mathbb{P}$ [/mm] stets abelsch sind, dass nur [mm] $C_4$ [/mm] und [mm] $C_2\times C_2$ [/mm] in Frage kommen.
Das geht hier konkret aber einfacher:
Eine Gruppe der Ordnung 4 kann nur entweder ein Element der Ordnung 4 enthalten (Gruppe [mm] $C_4$) [/mm] oder alle Elemente außer dem neutralen Element haben Ordnung 2. Und da gibt es nicht viele Möglichkeiten Gruppen. Man kommt direkt auf die kleinsche 4er gruppe [mm] $C_2\times C_2$.
[/mm]
|
|
|
|
