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Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume" - Erzeuger von Vektorräumen
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Erzeuger von Vektorräumen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:38 Mo 17.12.2007
Autor: mattemonster

Aufgabe
Stellen Sie im folgenden Beispiel fest, ob die angegebenen Vektoren den Vektorraum V erzeugen. Prüfen sie auch, ob die Vektoren linear unabhängig sind:

(0,1,0), (1,1,-1), (1,1,0) im [mm] \IF_{3} [/mm] - Vekrorraum V:= [mm] \IF_{3}^{3} [/mm]

Also, wie man lineare Unabhängigkeit zeigt, weis ich....Aber wie geht das mit dem Erzeugen?? und warum gibt es den Vektor (1,1,-1) in [mm] \IF_{3}^{3} [/mm] ??? -1 ist doch kein Element von [mm] \IF_{3} [/mm] oder???

        
Bezug
Erzeuger von Vektorräumen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:05 Mo 17.12.2007
Autor: angela.h.b.


> Stellen Sie im folgenden Beispiel fest, ob die angegebenen
> Vektoren den Vektorraum V erzeugen. Prüfen sie auch, ob die
> Vektoren linear unabhängig sind:
>  
> (0,1,0), (1,1,-1), (1,1,0) im [mm]\IF_{3}[/mm] - Vekrorraum V:=
> [mm]\IF_{3}^{3}[/mm]
>  Also, wie man lineare Unabhängigkeit zeigt, weis
> ich....Aber wie geht das mit dem Erzeugen??

Hallo,

rechne vor, daß Du jeden Vektor [mm] \vektor{x \\ y\\z} \in \IF_{3}^{3} [/mm] durch Linearkombination dieser drei Vektoren erzeugen kannst.

> und warum gibt
> es den Vektor (1,1,-1) in [mm]\IF_{3}^{3}[/mm] ??? -1 ist doch kein
> Element von [mm]\IF_{3}[/mm] oder???

-1 ist das Inverse von 1 bzgl der Addition, also ist -1=2.

Gruß v. Angela

Bezug
                
Bezug
Erzeuger von Vektorräumen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:28 Mo 17.12.2007
Autor: mattemonster

Ok, danke! Aber meinst du mit "rechne vor", das ich das mit jedem einzelnen Vektor, den es in [mm] \IF_{3}^{3} [/mm] gibt zeigen muss, oder geht das auch allgemein??

Bezug
                        
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Erzeuger von Vektorräumen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:55 Mo 17.12.2007
Autor: angela.h.b.


> Ok, danke! Aber meinst du mit "rechne vor", das ich das mit
> jedem einzelnen Vektor, den es in [mm]\IF_{3}^{3}[/mm] gibt zeigen
> muss,

Es wäre ja gar nicht soooooooo aufwendig, in vergleich zu anderen ist dieser VR sehr übersichtlich - aber drum reißen würde ich mich auch nicht...

> oder geht das auch allgemein??

Ja.

Seien x, y, z [mm] \in \IF_3. [/mm]

Nun rechnest Du klammheimlich auf einem Zettelchen aus, wie a, b, c (in Abhängigkeit v. x,y,z) aussehen müssen, damit

[mm] av_1+bv_2+cv_3=\vektor{x \\ y\\ z} [/mm]  ergibt.

Du mußt also das GS nach a,b,c auflösen.


Schreiben tust Du dann:

Seien [mm] x,y,z\in \IF_3 [/mm]

Es ist

[mm] (...)v_1+(...)v_2+(...)v_3= ...=\vektor{x \\ y\\ z}, [/mm]

also ist [mm] (v_1, v_2, v_3) [/mm] ein Erzeugendensystem des [mm] \IF_{3}^{3}. [/mm]


(Mit den [mm] v_i [/mm] meine ich die drei Dir vorgegebenen Vektoren.)

Gruß v. Angela

Bezug
                                
Bezug
Erzeuger von Vektorräumen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:09 Mo 17.12.2007
Autor: mattemonster

Vielen Dank! Jetzt hab ichs kapiert ... :-)

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